3.6.2 加减消元法-课件-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“加减消元法”，系统梳理定义、步骤及技巧，通过问题引导（如观察未知数系数特点）和合作探究（如相反数系数相加消元）衔接代入消元法，搭建新旧知识过渡的学习支架。 其亮点在于分层次练习（选择、填空、解答题）结合错题分析（如小颖解题步骤纠错），融入实际应用（苹果梨单价问题），以运算能力和推理意识培养为核心，帮助学生掌握消元方法，教师可借此提升教学系统性与学生解题技能。

湘教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 3.6.2 加减消元法 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级数学3.6.2加减消元法练习题 核心知识点回顾 1. 加减消元法定义：当二元一次方程组中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程左右两边分别相减或相加，消去这个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，简称加减法。 2. 基本解题步骤：一变（统一同一未知数的系数）、二加减（系数相同相减、系数相反相加）、三解（解一元一次方程）、四回代（求另一个未知数）、五检验（验证方程组的解）。 3. 解题技巧：若未知数系数无倍数关系，找最小公倍数统一系数；优先消去系数简单、计算量小的未知数；符号是易错点，相加相减需严格区分正负。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 解方程组\(\begin{cases}2x+3y=7\\2x-y=3\end{cases}\)，适合的消元方法是（） 2. 方程组\(\begin{cases}x+2y=5\\x-2y=3\end{cases}\)，两式相加后得到的方程是（） A. \(2x=8\) B. \(2y=8\) C. \(2x=2\) D. \(2y=2\) 3. 用加减消元法解方程组\(\begin{cases}3x+y=8\\2x-y=2\end{cases}\)的解为（） A. \(\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}\) B. \(\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}\) C. \(\begin{cases}x=3\\y=-1\end{cases}\) D. \(\begin{cases}x=4\\y=-4\end{cases}\) 4. 解方程组\(\begin{cases}2x+5y=9\\3x+5y=11\end{cases}\)，正确消元方式是（） A. ①+②消\(y\) B. ①-②消\(y\) C. ①×2-②消\(x\) D. ②-①消\(y\) 5. 方程组\(\begin{cases}2x+3y=12\\3x-3y=3\end{cases}\)两式相加可直接消去未知数（） A. \(x\) B. \(y\) C. 均可 D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 解方程组\(\begin{cases}5x+2y=6\\3x-2y=10\end{cases}\)，可将两式______，直接消去\(y\)。 2. 方程组\(\begin{cases}x+3y=4\\2x+3y=5\end{cases}\)，①______②可消去\(y\)，得到一元一次方程________。 3. 解方程组\(\begin{cases}2x+y=5\\x+2y=4\end{cases}\)，若要消去\(x\)，可将第一个方程________。 4. 方程组\(\begin{cases}3x+2y=10\\3x-2y=2\end{cases}\)的解为________。 5. 已知\(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}\)，则\(x+y=\)________。 三、解答题（共60分） 1. （18分）用加减消元法解下列方程组： （1）\(\begin{cases}x+y=6\\x-y=2\end{cases}\) （2）\(\begin{cases}2x+3y=11\\2x-y=3\end{cases}\) （3）\(\begin{cases}3x+2y=16\\5x-2y=16\end{cases}\) 2. （14分）用加减消元法解方程组\(\begin{cases}2x+3y=7\\3x+2y=8\end{cases}\)，写出完整规范解题步骤。 3. （14分）已知方程组\(\begin{cases}3x+2y=13\\2x-2y=2\end{cases}\)的解满足\(x+my=5\)，求\(m\)的值。 4. （14分）列二元一次方程组解答应用题：购买3千克苹果和2千克梨共花费28元，购买2千克苹果和2千克梨共花费22元，求苹果和梨的单价。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：两个方程中\(x\)的系数均为2，系数相等，两式相减可消去\(x\)。 2. A 解析：两式相加，\(x+x=2x\)，\(2y-2y=0\)，\(5+3=8\)，得\(2x=8\)。 3. A 解析：两式相加得\(5x=10\)，解得\(x=2\)，回代得\(y=2\)。 4. D 解析：两方程\(y\)的系数相同，用②-①可直接消去\(y\)，计算简便。 5. B 解析：两方程中\(y\)的系数互为相反数，相加可直接消去\(y\)。 二、填空题 1. 相加 2. \(-\)（减）；\(-x=-1\)（或\(x=1\)） 3. 两边同时乘以2 4. \(\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}\) 5. 3 三、解答题 1. 解：（1）\(\begin{cases}x+y=6①\\x-y=2②\end{cases}\)，①+②得\(2x=8\)，\(x=4\)，代入①得\(y=2\)，解为\(\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}\)。 （2）\(\begin{cases}2x+3y=11①\\2x-y=3②\end{cases}\)，①-②得\(4y=8\)，\(y=2\)，代入②得\(x=2.5\)，解为\(\begin{cases}x=2.5\\y=2\end{cases}\)。 （3）\(\begin{cases}3x+2y=16①\\5x-2y=16②\end{cases}\)，①+②得\(8x=32\)，\(x=4\)，代入①得\(y=2\)，解为\(\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}\)。 2. 解：\(\begin{cases}2x+3y=7①\\3x+2y=8②\end{cases}\)，①×3得\(6x+9y=21③\)，②×2得\(6x+4y=16④\)，③-④得\(5y=5\)，解得\(y=1\)。将\(y=1\)代入①，得\(2x+3=7\)，解得\(x=2\)。故此方程组的解为\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\)。 3. 解：\(\begin{cases}3x+2y=13①\\2x-2y=2②\end{cases}\)，①+②得\(5x=15\)，\(x=3\)，代入②得\(y=2\)。将\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)代入\(x+my=5\)，得\(3+2m=5\)，解得\(m=1\)。 4. 解：设苹果单价为\(x\)元/千克，梨单价为\(y\)元/千克，列方程组：\(\begin{cases}3x+2y=28①\\2x+2y=22②\end{cases}\)。①-②得\(x=6\)，将\(x=6\)代入②，得\(12+2y=22\)，解得\(y=5\)。答：苹果单价6元/千克，梨单价5元/千克。 练习总结 加减消元法和代入消元法是解二元一次方程组的两大核心方法，相比于代入法，加减法更适合未知数系数相同或互为相反数的方程组。解题关键是观察系数特征，灵活通过乘倍数统一系数，再通过加减消元转化为一元一次方程。做题时重点注意方程相减、相加时的符号变化，计算后及时回代检验，熟练掌握两种消元方法，能根据题目特点选择最优解法。 用加减消元法解二元一次方程组 1 下面二元一次方程组中未知数 y 的系数有什么特点?这对解方程组有什么启发? 7x＋3y＝1， 2x－3y＝8. # 3.6.1 代入消元法（初中七年级数学） ## 一、教学过程 ### （一）情境导入（5分钟） 1. 回顾旧知：展示二元一次方程组\(\begin{cases}x + y = 30 \\ 2x + 5y = 99\end{cases}\)（源于上节课人民币问题），提问：“我们已经知道这是二元一次方程组，如何求出它的解？”引导学生回忆上节课用一元一次方程的解法，设\(x\)为2元人民币张数，\(y = 30 - x\)，代入第二个方程求解。 2. 提炼思路：“将其中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，就能把二元方程转化为一元方程”，这种方法就是本节课要学习的“代入消元法”。 3. 引出课题：明确代入消元法的核心是“消元”——消去一个未知数，将二元一次方程组转化为已学的一元一次方程求解。 ### （二）新知探究（15分钟） 1. 代入消元法的定义： - 给出定义：通过将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程，进而求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。 - 核心思想：“消元转化”——二元→一元，将未知问题转化为已知问题。 2. 代入消元法的步骤（以方程组\(\begin{cases}x + y = 30 ① \\ 2x + 5y = 99 ②\end{cases}\)为例）： - 第一步：变——用含一个未知数的式子表示另一个未知数。 选择系数简单的方程（如方程①），解出其中一个未知数（通常选系数为1或-1的）。由①得：\(x = 30 - y\) ③（将\(y\)移到右边，用含\(y\)的式子表示\(x\)）。 - 第二步：代——代入另一个方程消元。 将③代入②（注意：不能代入原方程①，否则无法消元），替换掉②中的\(x\)，得到一元一次方程：\(2(30 - y) + 5y = 99\)。 - 第三步：解——解一元一次方程。 去括号：\(60 - 2y + 5y = 99\)；合并同类项：\(3y = 39\)；化系数为1：\(y = 13\)。 - 第四步：回代——求出另一个未知数的值。 将\(y = 13\)代入③（或①），得\(x = 30 - 13 = 17\)。 - 第五步：验——检验并写出解。 检验：将\(\begin{cases}x = 17 \\ y = 13\end{cases}\)代入原方程组，①左边\(17 + 13 = 30\)（等于右边），②左边\(2×17 + 5×13 = 34 + 65 = 99\)（等于右边），因此是方程组的解。 规范表示：方程组的解记为\(\begin{cases}x = 17 \\ y = 13\end{cases}\)。 3. 步骤口诀总结：“一变二代三求解，回代检验写答案”，帮助学生记忆。 ### （三）例题讲解（12分钟） 1. 例题1：用代入法解方程组\(\begin{cases}y = 2x - 3 ① \\ 3x + 2y = 8 ②\end{cases}\) - 分析：方程①已直接用含\(x\)的式子表示\(y\)，可直接代入②。 - 解答： ① 代入②：\(3x + 2(2x - 3) = 8\)； 去括号：\(3x + 4x - 6 = 8\)； 合并同类项：\(7x = 14\)； 解得：\(x = 2\)； 回代：将\(x = 2\)代入①，得\(y = 2×2 - 3 = 1\)； 检验：代入原方程组，左右两边均相等； 结论：方程组的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。 - 小结：当方程组中有一个方程直接给出未知数的表达式时，可直接代入，步骤更简洁。 2. 例题2：用代入法解方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 ① \\ 3x - 4y = 2 ②\end{cases}\) - 分析：方程①中\(y\)的系数为1，优先解出\(y\)。 - 解答： 由①得：\(y = 5 - 2x\) ③； ③代入②：\(3x - 4(5 - 2x) = 2\)； 去括号：\(3x - 20 + 8x = 2\)； 合并同类项：\(11x = 22\)； 解得：\(x = 2\)； 回代：将\(x = 2\)代入③，得\(y = 5 - 2×2 = 1\)； 检验：代入原方程组，左右两边均相等； 结论：方程组的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。 - 小结：选择系数绝对值较小（如1或-1）的未知数进行表示，可减少计算量。 3. 例题3：用代入法解方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 19 ① \\ x - y = 4 ②\end{cases}\) - 分析：方程②中\(x\)和\(y\)的系数均为1，可解出\(x = y + 4\)或\(y = x - 4\)。 - 解答： 由②得：\(x = y + 4\) ③； ③代入①：\(3(y + 4) + 4y = 19\)； 去括号：\(3y + 12 + 4y = 19\)； 合并同类项：\(7y = 7\)； 解得：\(y = 1\)； 回代：将\(y = 1\)代入③，得\(x = 1 + 4 = 5\)； 检验：代入原方程组，①左边\(3×5 + 4×1 = 19\)，②左边\(5 - 1 = 4\)，均等于右边； 结论：方程组的解为\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 1\end{cases}\)。 - 小结：解未知数时，注意移项要变号，代入后去括号要准确，避免漏乘。 ### （四）课堂练习（8分钟） 1. 基础题： - （1）用代入法解方程组\(\begin{cases}x = 3y - 2 ① \\ 2x + y = 18 ②\end{cases}\)（答案：将①代入②得\(2(3y - 2) + y = 18\)，解得\(y = 2\)，\(x = 4\)，解为\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 2\end{cases}\)）； - （2）用代入法解方程组\(\begin{cases}3x + y = 7 ① \\ 2x - y = 3 ②\end{cases}\)（答案：由①得\(y = 7 - 3x\)，代入②得\(2x - (7 - 3x) = 3\)，解得\(x = 2\)，\(y = 1\)，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)）。 2. 中档题： - 用代入法解方程组\(\begin{cases}2x - 3y = 1 ① \\ x + 2y = 4 ②\end{cases}\)（答案：由②得\(x = 4 - 2y\)，代入①得\(2(4 - 2y) - 3y = 1\)，解得\(y = 1\)，\(x = 2\)，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)）。 3. 拓展题： - 已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 7 \\ bx + ay = 8\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)，求\(a\)和\(b\)的值（答案：代入得\(\begin{cases}2a + b = 7 \\ 2b + a = 8\end{cases}\)，由第一个方程得\(b = 7 - 2a\)，代入第二个方程解得\(a = 2\)，\(b = 3\)）。 ### （五）课堂小结（2分钟） 1. 核心方法：代入消元法的五步流程——变（表示未知数）、代（代入消元）、解（解一元方程）、回代（求另一个未知数）、验（检验写解）； 2. 关键技巧：选择系数简单（如1、-1）的方程和未知数进行表示，减少计算量；代入时要代入另一个方程，避免循环； 3. 核心思想：消元转化，将二元一次方程组转化为一元一次方程，体现“化未知为已知”的数学思想； 4. 后续衔接：下节课将学习另一种消元方法——加减消元法，进一步丰富解二元一次方程组的工具。 7x＋3y＝1， 2x－3y＝8. 合作探究 + 3y 和 –3y 互为相反数， ①+②试试！ 按照这个思路，你能消去一个未知数吗？ ① ② ①左边＋ ②左边 ＝ ①右边＋②右边 7x + 3y + 2x－3y ＝ 9 9x ＝ 9 (7x＋3y) ＋ (2x－3y) ＝ 1 ＋ 8 合作探究 解方程： 解：由 ① + ② 得 把 x 用 1 代入方程①，得 7×1 + 3y = 1， 解得 y = －2. 9x = 9， 两边都除以 9，得 x = 1. 7x＋3y＝1， 2x－3y＝8. ① ② 因此， 是原二元一次方程组的解. x = 1， y = －2 例1 解二元一次方程组： 2x＋3y＝－1， 2x－5y＝7. ① ② 解：由 ①－② 得 把 y 用 －1 代入方程①，得 3x＋3×(－1)＝－1， 解得 x＝1. 8y＝－8， 两边都除以 8，得 y＝－1. 因此， 是原二元一次方程组的解. x＝1， y＝－1 典例精析 1.同一未知数的系数互为相反数时， 把两个方程的两边分别 . 相加 2.同一未知数的系数相等时， 把两个方程的两边分别 . 相减 方法总结 议一议 例2 解二元一次方程组： 2x＋3y＝－11， 6x－5y＝9. 2x+3y＝-11, 6x-5y＝9. 6x+9y＝-33， 6x-5y＝9. 如何消去某个未知数，使其转化为一个一元一方程 14y＝-42 ① ② ①×3 ③-② ③ ② 2x+3y＝-11, 6x-5y＝9. 10x+15y＝-55, 18x-15y＝27. 28x＝-28 ① ② ③ ④ ①×5 ②×3 ③+④ 消 x 消 y 例2 解二元一次方程组： 2x＋3y＝－11， 6x－5y＝9. 解：①×3 得 (6x＋9y)－(6x－5y)＝－33－9， 解得 x＝－1. 6x＋9y＝－33 ③ ③-②，得 因此， 是原二元一次方程组的解. x＝－1， y＝－3 去括号，得 6x＋9y－6x＋5y＝－33－9， 合并同类项，得 14y＝－42， 两边都除以14，得 y＝－3， 把 y 用－3代入方程①，得 2x＋3×(－3)＝－ll， 知识点 加减消元法 1. 在解二元一次方程组 时， 若①-②可直接消去未知数，则和 满足的条件是( ) C A. B. C. D. 中考考法 9 2. 用加减消元法解方程组 下列解法正确的 是( ) C A. ①②消去 B. ①②消去 C. ①②消去 D. ①②消去 中考考法 10 3. 已知,都是有理数，观察表格，则 ___. 关于, 的运算 运算的结果 5 9 3 4. 若与互为相反数,则 ____. -1 中考考法 11 5. 下面是数学课上小颖同学解方程组 的过 程，老师在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的问题. 解：由①，得 ，③（第一步） 由②，得 ，④（第二步） ③-④，得 ，（第三步） 解得 .（第四步） 中考考法 12 把代入①，得 .（第五步） 所以原方程组的解为 （第六步）#1.6 中考考法 （1）小颖用______消元法解上述方程组（填“代入”或“加 减”）； （2）小颖的解答从第____步出现了错误； 加减 二 中考考法 14 （3）请直接写出该方程组的解. 【解】 中考考法 15 【点拨】 由①，得 ，③ 由②，得 ，④ ③-④，得，解得 . 把代入①，得 . 所以原方程组的解为 中考考法 16 6. [杭州西湖区期末] 解下列方程组： （1） 【解】原方程组整理,得 ①②，得，解得 ， 把代入①，得，解得 ， 所以原方程组的解为 中考考法 17 （2） ②①，得，解得 . 把代入①，得，解得 . 所以 中考考法 18 （3） 方程组变形，得 由①②，得 ， 把代入①,得，解得 ， 所以原方程组的解为 中考考法 19 7. 已知关于,的二元一次方程组 下列结论 中正确的是( ) C ①当这个方程组的解,的值互为相反数时， ;②当 时，方程组的解也是方程 的解；③无论 取什么数，的值等于3始终不变；④若用表示 ,则 . A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 中考考法 20 最终思想 消元——解二元一次方程组 将两个未知数变成一个未知数求解---____ 加减消元法的步骤 变形→加减→求解→ ____→写解→____ 回代 检验 消元 加减消元法的解题技巧 方程组中同一个未知数的系数的绝对值____或__________ 相等 成整数倍 课堂小结 $