暑期预习讲义（第8讲）——相似三角形的判定（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第8讲）——相似三角形的判定（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 （一）相似三角形基础概念 2 （二）三大核心判定定理（必考） 2 （三）平行线相似模型（预习重点） 3 （四）易错点总结 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】AA两角相似判定（基础必考） 3 【题型 2】SAS两边成比例夹角相等判定 4 【题型 3】SSS三边成比例判定 5 【题型 4】8字型（X型）相似模型 6 【题型 5】三角形相似综合判定 7 【题型 6】 一线三等有相似模型 8 四.同步自测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.预习目标与填空 预习目标 1. 理解相似三角形的定义、相似比概念，掌握相似三角形基本性质。 2. 熟练掌握三角形三大核心判定定理：AA、SAS、SSS相似判定。 3. 掌握直角三角形相似特殊判定，识别常见相似模型（A字、8字、斜交型）。 4. 能独立完成相似三角形证明、求值、简单几何推理题型。 预习重难点 重点：AA两角分别相等、SAS两边成比例且夹角相等、SSS三边成比例判定定理。 难点：找准对应边角、区分相似与全等条件、复杂图形中拆分相似模型。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，熟记判定依据 1. 三个角分别__________，三条边__________的两个三角形相似。 2. 相似三角形的对应角__________，对应边__________。 3. AA判定（两角型）：__________个角分别相等的两个三角形相似。 4. SAS判定（边角边型）：两组对应边_______，且_______相等的两个三角形相似。 5. SSS判定（边边边型）：三组对应边__________的两个三角形相似。 6. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形__________。 7. 直角三角形相似特殊判定：一组__________相等的两个直角三角形相似。 预习填空参考答案 1. 相等、成比例 2. 相等、成比例 3. 两 4. 成比例、夹角 5. 成比例 6. 相似 7. 锐角 二.教材知识梳理解读 （一）相似三角形基础概念 1. 定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2. 表示方法：（书写必须对应顶点对齐，防止找错边角）。 3. 相似比：对应边的比值叫做相似比，相似比有顺序，前后颠倒比值互为倒数。 4. 基础性质：对应角相等、对应边成比例；对应高线、中线、角平分线的比等于相似比。 （二）三大核心判定定理（必考） 1. 两角分别相等（AA）——最常用、优先级最高 内容：两个角分别对应相等的两个三角形相似。 优势：只需找角，无需计算边长，解题最快，中考80%基础相似题用AA。 常用隐藏等角：对顶角相等、公共角相等、平行线同位角/内错角相等、直角相等。 2. 两边成比例且夹角相等（SAS） 内容：两组对应边成比例，且两边的夹角相等，两三角形相似。 致命易错：必须是夹角！非夹角相等不能判定相似（与全等SAS区分记忆）。 3. 三边成比例（SSS） 内容：三组对应边比值全部相等，两三角形相似。 适用场景：题目只给边长、无角度条件，直接计算三组比例判断。 （三）平行线相似模型（预习重点） 1. A字型： 2. 8字型（X型）： 3. 核心逻辑：平行→等角→AA相似。 （四）易错点总结 1. 相似书写必须对应顶点对齐，否则对应边角全部找错； 2. SAS相似必须看夹角，边角边不能乱用； 3. 仅有一组角相等、仅有一组边成比例，无法判定相似； 4. 全等一定相似，相似不一定全等。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】AA两角相似判定（基础必考） 【例题1】（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，在四边形中，，与相交于点O，求证：． 【变式1】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 【变式3】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，分别是边上两点，交的延长线于点F，连接，．求证： 思路总结：平行出等角+公共角，直接AA判定，是最基础的A字型相似模型。 【题型 2】SAS两边成比例夹角相等判定 【例题2】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【变式1】（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 思路总结：先算两组边长比例，再验证夹角相等，缺一不可。 【题型 3】SSS三边成比例判定 【例题3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【变式1】（25-26九年级上·山西太原·开学考试）如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 思路总结：三边判定第一步必须排序，保证对应边匹配，再求比值。 【题型 4】8字型（X型）相似模型 【例题4】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：在与中，，．求证：． 【变式1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【变式2】（2026·福建泉州·二模）如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 【变式3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 思路总结：交叉平行线模型，固定用AA判定，是考试高频几何模型。 【题型 5】三角形相似综合判定 【例题5】（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，添加下列条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的三边长为1，，2，在下列给定条件中，与不一定相似的是（   ） A．，， B．， C．，， D．，， 【变式3】（24-25九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F． （1）若平分，则与是否垂直？________（填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有________（写出两个即可） 【题型 6】 一线三等有相似模型 【例题6】（25-26九年级上·江西赣州·期末）（1）解方程： （2）如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：． 【变式1】（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． （1）求证：． （2）添加一个条件 求证：． 【变式2】（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．菱形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）在和中，有下列条件： ①；②；③；④． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，连接，，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 7．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 8．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，不能判定和相似的条件是（　　） A． B． C． D． 年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，中，是边上一点，连接，要使，需要补充的一个条件为______． 13．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 14．（2025九年级·全国·专题练习）在和中，．要使，还需添加的一个条件是_______． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 16．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图所示，，的中垂线交于D，则下列结论：①；②平分；③是等腰三角形；④．正确的选项是________． 17．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 _____种情况． 18．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，能判定的有__________． ①；②；③；④． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，点分别在边上，连接，点为边上一点，请用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（本小题满分8分）（2025九年级上·江苏徐州·专题练习）如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， （1）如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． （2）公路与平行吗？说出你的理由． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． （1）写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． （2）若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边，上，，相交于点O，且， 求证： （1）； （2）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第8讲）——相似三角形的判定（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 （一）相似三角形基础概念 2 （二）三大核心判定定理（必考） 2 （三）平行线相似模型（预习重点） 3 （四）易错点总结 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】AA两角相似判定（基础必考） 3 【题型 2】SAS两边成比例夹角相等判定 5 【题型 3】SSS三边成比例判定 8 【题型 4】8字型（X型）相似模型 10 【题型 5】三角形相似综合判定 14 【题型 6】 一线三等有相似模型 18 四.同步自测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 35 一.预习目标与填空 预习目标 1. 理解相似三角形的定义、相似比概念，掌握相似三角形基本性质。 2. 熟练掌握三角形三大核心判定定理：AA、SAS、SSS相似判定。 3. 掌握直角三角形相似特殊判定，识别常见相似模型（A字、8字、斜交型）。 4. 能独立完成相似三角形证明、求值、简单几何推理题型。 预习重难点 重点：AA两角分别相等、SAS两边成比例且夹角相等、SSS三边成比例判定定理。 难点：找准对应边角、区分相似与全等条件、复杂图形中拆分相似模型。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，熟记判定依据 1. 三个角分别__________，三条边__________的两个三角形相似。 2. 相似三角形的对应角__________，对应边__________。 3. AA判定（两角型）：__________个角分别相等的两个三角形相似。 4. SAS判定（边角边型）：两组对应边_______，且_______相等的两个三角形相似。 5. SSS判定（边边边型）：三组对应边__________的两个三角形相似。 6. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形__________。 7. 直角三角形相似特殊判定：一组__________相等的两个直角三角形相似。 预习填空参考答案 1. 相等、成比例 2. 相等、成比例 3. 两 4. 成比例、夹角 5. 成比例 6. 相似 7. 锐角 二.教材知识梳理解读 （一）相似三角形基础概念 1. 定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2. 表示方法：（书写必须对应顶点对齐，防止找错边角）。 3. 相似比：对应边的比值叫做相似比，相似比有顺序，前后颠倒比值互为倒数。 4. 基础性质：对应角相等、对应边成比例；对应高线、中线、角平分线的比等于相似比。 （二）三大核心判定定理（必考） 1. 两角分别相等（AA）——最常用、优先级最高 内容：两个角分别对应相等的两个三角形相似。 优势：只需找角，无需计算边长，解题最快，中考80%基础相似题用AA。 常用隐藏等角：对顶角相等、公共角相等、平行线同位角/内错角相等、直角相等。 2. 两边成比例且夹角相等（SAS） 内容：两组对应边成比例，且两边的夹角相等，两三角形相似。 致命易错：必须是夹角！非夹角相等不能判定相似（与全等SAS区分记忆）。 3. 三边成比例（SSS） 内容：三组对应边比值全部相等，两三角形相似。 适用场景：题目只给边长、无角度条件，直接计算三组比例判断。 （三）平行线相似模型（预习重点） 1. A字型： 2. 8字型（X型）： 3. 核心逻辑：平行→等角→AA相似。 （四）易错点总结 1. 相似书写必须对应顶点对齐，否则对应边角全部找错； 2. SAS相似必须看夹角，边角边不能乱用； 3. 仅有一组角相等、仅有一组边成比例，无法判定相似； 4. 全等一定相似，相似不一定全等。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】AA两角相似判定（基础必考） 【例题1】（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，在四边形中，，与相交于点O，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质． 根据得到，，即可证明． 解：证明：∵， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 【变式3】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，分别是边上两点，交的延长线于点F，连接，．求证： 【答案】见分析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、等边对等角、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角得到，，利用平行线的性质得到，，再利用两角对应相等判定三角形相似即可证明． 解：证明：，， ，， ， ，， ， ． 思路总结：平行出等角+公共角，直接AA判定，是最基础的A字型相似模型。 【题型 2】SAS两边成比例夹角相等判定 【例题2】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 解：略 【变式1】（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可． 解：∵，， ∴， 故A能判定与相似，不符合题意； ∵，， ∴， 故B能判定与相似，不符合题意； ∵，条件未给出， ∴不能判定， 故C不能判定与相似，符合题意； ∵，， ∴， 故D能判定与相似，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见分析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 思路总结：先算两组边长比例，再验证夹角相等，缺一不可。 【题型 3】SSS三边成比例判定 【例题3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 解：证明：，，，，，， 则， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·山西太原·开学考试）如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 解：证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 思路总结：三边判定第一步必须排序，保证对应边匹配，再求比值。 【题型 4】8字型（X型）相似模型 【例题4】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：在与中，，．求证：． 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ． ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可； 解：略 【变式1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 【变式2】（2026·福建泉州·二模）如图，为直角斜边上的中线，过作，交于．若，，则_________． 【答案】6 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据平行线分线段成比例得，再根据勾股定理即可求出的长． 解：∵为直角斜边上的中线， ∴，． ∵， ， ， ∴， ． 【变式3】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 解：略. 思路总结：交叉平行线模型，固定用AA判定，是考试高频几何模型。 【题型 5】三角形相似综合判定 【例题5】（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，添加下列条件不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定；由图可知与已有一组公共角相等，依次根据选项判断添加的条件能否判定即可． 解：A、，加上已知公共角，由两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似，可判定，故A不符合题意； B、的对应边错误，中对应边为，对应边为，故B符合题意； C、，加上已知公共角，由两组对应角相等三角形相似，可判定，故C不符合题意； D、，加上已知公共角，由两组对应角相等三角形相似，可判定，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的三边长为1，，2，在下列给定条件中，与不一定相似的是（   ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据选项条件逐项进行判断即可． 解：如图， 设 ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B不符合题意； 如图2， ，，， 取的中点H，连接，则， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项C不符合题意； ，， 若，则， ∴此时与不相似， ∴与不一定相似， 故选项D符合题意； 故选：D 【变式3】（24-25九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F． （1）若平分，则与是否垂直？________（填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有________（写出两个即可） 【答案】 是 ， 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出． 解：（1）如图，    ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 故答案为：，． 【点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 【题型 6】 一线三等有相似模型 【例题6】（25-26九年级上·江西赣州·期末）（1）解方程： （2）如图，等边三角形中，点D在边上，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用等边三角形性质得，结合，，得出，即可证明． 解：（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， 解得； （2）证明：为等边三角形， ， ，， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． （1）求证：． （2）添加一个条件 求证：． 【答案】（1）见分析；（2）或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 解：（1）证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 【变式2】（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【答案】（1），理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2） （3）当时，最大值为 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据外角定理和等量代换可推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）设，则，根据相似三角形的性质对应线段成比例列出等式，得是关于的二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可； 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴当时，最大为， ∴当时，最大值为． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【答案】见分析 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 由得到，然后得到，即可证明． 解：证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．菱形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 【答案】D 【分析】本题考查了命题，相似多边形的判定条件，即对应角相等且对应边成比例．选项A、B、C均无法保证所有对应角相等或对应边成比例，而选项D的等腰直角三角形所有对应角都相等，且对应边成比例，因此一定相似，即可作答． 解：A、菱形的对应角不一定相等，故该选项不符合题意； B、边长相等的六边形对应角不一定相等，故该选项不符合题意； C、有一个角相等的两个等腰梯形，它们的对应角一定都相等，但对应边不一定成比例，所以不一定相似，故该选项不符合题意； D、等腰直角三角形的角均为，对应角相等，且对应边成比例，故该选项符合题意； 故选：D 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段检测）在和中，有下列条件： ①；②；③；④． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理（①有两角相等的两个三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似，③有三组对应边的比相等的两三角形相似）得出即可 解：选①②： ∵，， ∴， ∴； 选①③，无法得到； 选①④，无法得到； 选②③，无法得到； 选②④： ∵，， ∴； 选③④： ∵，， ∴． ∴能判断的共有3组． 故选：B 4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点，分别在，上，单独添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定方法是解答此题的关键．根据相似三角形的判定进行解答即可． 解：A、，， ， 故A选项不符合题意； B、，， ， 故B选项不符合题意； C、，， ， 故C选项不符合题意； D、，， 不能判定， 故D选项符合题意； 故选：D． 6．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，连接，，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有4对； 故选C． 7．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 由垂直得出，然后利用直角三角形的性质和余角性质得出，然后得出即可得出结论． 解：如图所示， ∵， ， ， 在矩形中，， 又， ， 故选：C． 8．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，不能判定和相似的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可． 解：A、由知，且， 可判断和相似，故选项A不符合题意； B、，且， 可判断和相似，故选项B不符合题意； C、，且， 可判断和相似，故选项C不符合题意； D、由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意； 故选：D． 9．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，中，是边上一点，连接，要使，需要补充的一个条件为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键； 根据相似三角形的判定方法解决问题即可． 解：在和中， ∵， ∴添加或或，， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 首先根据可推出，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定即可得到答案． 解：①添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ③添加， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 14．（2025九年级·全国·专题练习）在和中，．要使，还需添加的一个条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用两边对应成比例且夹角相等可设定条件． 已知条件中给出了两边成比例，并且是和的夹边，所以只要，则． 解：可添加的条件为：，理由如下： ∵． ∴， 又∵， ∴， 故答案为： （答案不唯一）． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是______．（只填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 16．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图所示，，的中垂线交于D，则下列结论：①；②平分；③是等腰三角形；④．正确的选项是________． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定等知识点．由等腰三角形性质及三角形内角和可确定①；由线段垂直平分线性质及等腰三角形性质可判定③与②；由相似三角形判定可判定④；熟记相关几何结论进行推理是解题关键． 解：∵， ∴； 故①正确； ∵的中垂线交于D， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴平分； 故②③正确； ∵，， ∴； 故④正确； 故答案为：①②③④ 17．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 _____种情况． 【答案】3 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断． 解：①当∠ACP=∠B， ∵∠A=∠A， ∴， ∴①符合题意； ②当∠APC=∠ACB， ∵∠A=∠A， ∴， ∴②符合题意； ③当， 即， ∵∠A=∠A ∴， ∴③符合题意； ④∵当，即， 而∠PAC=∠CAB， 以上条件不能判断△APC和△ACB相似， ∴④不符合题意； 即有①②③这三种情况可得出， 故答案为：3． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 18．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，能判定的有__________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角，①②可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，④对应边成比例但无法得到其夹角相等，即无法判断两个三角形相似， 熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键． 解：由图可得：， ， ， ①∵， ∴， ∴， 故①能判定； ②∵， ∴， ∴， 故②能判定； ③∵， ∴， 即两组对应边的比相等且相应的夹角相等， ∴， 故③能判定； ④， 对应边成比例但无法得到其夹角相等， 故④不能判定； 故答案为：①②③． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，点分别在边上，连接，点为边上一点，请用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见分析 【分析】本题考查了尺规作图、等边对等角、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 由可得，再利用尺规作，得到，则点即为所求． 解：如图，点即为所求： 20．（本小题满分8分）（2025九年级上·江苏徐州·专题练习）如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 解：略 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， （1）如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． （2）公路与平行吗？说出你的理由． 【答案】（1），理由见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别计算两三角形最长边、最短边、中长边的比，利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可； （2）由相似三角形的性质得到内错角相等，再根据内错角相等判定两直线平行． 解：（1）证明：， ， ， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】∽∽∽；证明见分析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 解：图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知． （1）写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． （2）若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）或者（答案不唯一），证明见分析； 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据三角形的外角的性质结合已知得出，进而根据两角相等的两个三角形相似，即可得证； （2）根据为线段的中点，得出，根据得出则，根据两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 解：（1）， 证明：∵， 又， ∴， ∴， （2）解：，证明如下， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 即 又∵， ∴, 同理可得，即 又∵ ∴． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边，上，，相交于点O，且， 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，②两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似． （1）根据两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似推出即可； （2）根据两三角形的相似得出，再，即可推出，得出比例式，即可得出答案． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $