第12讲 相似三角形判定定理的证明（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材北师大版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第12讲相似三角形判定定理的证明（暑假预习讲义) 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+4个题型+课后作业】 模块一知识框架 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 相似三角形判定定理的证明 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 相似三角形判定定理的证明 证明依据：平行线分线段成比例 模块二相似三角形判定定理的证明 情境导入-一力 在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 知识归纳◆ 【知识点1平行线分线段成比例】 1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例， 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 典例精讲 【题型1由平行线判断成比例的线段】 【例1】如图，在△ABC中，DE‖BC交AB于点D,交AC于点E,下列式子中，不成立的是() 第1页共8页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.AD-AE B.AB=AC C.AB=AC DB EC EC AD AE D. AD AE DB DB AC 【变式1-1】如图，AB‖CD‖EF,下列结论正确的是() A. D_BC B. BCAD D. CDAB DF CE BE DF C.CD=BC EF CE EF CD 【变式1-2】如图，直线l1l213,直线AC,DF与这组平行线依次交于点A,B,C,D,E,F,则下 列结论错误的是() A B A.BE2=AD·CF B.BC-EF AC DF C. ABDE BC EF D.AB·DF=AC·DE 【变式1-3】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点DE‖BC,点F为BC边上一点，连接 AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是() E G B 第2页共8页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4. AD_AE B. AG_AE C.BD_CE D. AG_AC AB EC GF BD AD AE GF EC 【题型2利用平行线分线段成比例求线段长或比值】 【例2】如图，已知AC‖EF‖DB,AF:BF=23,CD=15,CE=一 【变式2-1】如图，若l1|12‖13，AB=6,BC=4,DF=15,则EF的长为 AD/ E 【变式2-2】如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3,14,2,1上.若直线l112‖1314且间距相等， AG AD交直线12于点G,AB=4,BC=3,则 的值为() CD G 12 13 B 5 c.2 D. 15 15 【变式2-3】如图，在△ABC中，EF‖CD,DE‖BC. B 第3页共8页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证： AF_AD FD DB (2)已知AB=45,AD:DB=2:1,求FD的长. 【题型3利用平行证明三角形相似】 P 【例3】如图，在△ABC中，AD=2CD,CF=2BF,则 P 的值为 B 【变式3-1】如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE‖BC,若AD=2,AB=6,则 DE BC 【变式3-2】如图，在锐角三角形ABC中，边BC=6,高AD=4,矩形EFGH的顶点E,H分别在AB, AC上，F,G在BC上，AD与EH交于点N, B DG C (1)试说明：△AEH一△ABC: (2)若矩形EFGH是正方形，求EH的长； 第4页共8页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3-3】已知：如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上的一点，DE延长线交BC延长线于点 F,求证： BF_AE CF EC D E B C 【题型4利用相似三角形的判定，证明平行】 【例4】在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=4,DB=3,那么由下列条件能够判断 DEBC的是() 4. B.DE4 c 0.1 C_4 AC 3 BC7 AE 3 【变式41】已知：如图，在△ABC中，DE‖BC,点F为AD上的一点，且AD=AB·AF 求证：EF‖CD B 【变式4-2】己知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE‖AC, AFCE 求证：DF‖BC. FC EB A D 【变式4-3】如图，AD是△ABC的中线，P为AD上任意一点，连接BP并延长交AC于F,连接CP并延长 第5页共8页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交AB于E,连接EF.求证：EF‖BC 模块三课后作业 1.如图，已知l12‖13，直线l,l2,l3分别交直线l4于点A、B、C,交直线l于点D、E、F,那么下列 比例式正确的是() D八A1 BXE2 A.AC=BC DF EF B.AB=DE C.DE_EF AB BC BE AD CF BE D. DE EF 2.如图，DE‖BC,EF‖AB,则下列结论中错误的是() A. AD_AE B. ADDE c. DBF CF EF BD EC AB BC BD FC D. DE AB 3.已知直线AC、 BD相交于点O且A0=2 C03 下列式子能判断AB‖CD的是() A.AB_2 B B0-2 C. AO_2 B0_2 BD 3 AC5 D. ·CD3 BD 5 4.如图，在△ABC中，点E在BC上，EC:BE=1:3,点F在AC上，AF:CF=3:2,AE,BF相交于D, 则FD:BD=() 第6页共8页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B A.1:4 B.1:5 c.1:6 D.2:15 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点上，连接AB、CD交 CE 于点E,那么 -的值是 DE 6.已知如图，点D是△ABC边BC上一点，且BD:DC=2:3,过点C任作一条直线与AB、AD分别交于点 F和E,求证： AE5AF ED 3BF F E 7.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DEBC,AE=AF·AC. D B (I)求证：DF‖BE, 第7页共8页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若AP=3 EAE 的值。 EC 8.在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F, A A E F G B D B D 图1 图2 I)如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG|BE交AC于点G,求证：AE-号 AC 3 (2)如图2，若BD:DC=14,AF:FD=3:2,求 AC的值. 第8页共8页函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第12讲相似三角形判定定理的证明（暑假预习讲义) 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+4个题型+课后作业】 模块一知识框架 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 相似三角形判定定理的证明 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 相似三角形判定定理的证明 证明依据：平行线分线段成比例 模块二相似三角形判定定理的证明 情境导入--二 在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 知识归纳● 【知识点1平行线分线段成比例】 1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例， 典例精讲一 【题型1由平行线判断成比例的线段】 【例1】如图，在△ABC中，DE‖BC交AB于点D,交AC于点E,下列式子中，不成立的是() D 第1页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. AD_AE AB_AC C. AB_AC DB EC B. D. AD_AE DB EC AD AE DB AC 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键。 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可. 【详解】解：.DE‖BC, AD AE 亠DBC,选项A成立，不符合题意： AB_AC DB EC, 选项B成立，不符合题意： AB AC AD AE ,选项C成立，不符合题意： AD AE AE DB EC 选项D不成立，符合题意： AC 故选：D 【变式1-1】如图，AB‖CD‖EF,下列结论正确的是() A. D_BC BC_AD CD_AB DE CE B.BE DE c.E-CE D. EF CD 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键.根据平行线分线段成比例定理得到比 例线段，即可解题。 【详解】解：.AB‖CD‖EF, ·AP=BC,BC=AD DF CE'BE AF 即A选项正确，符合题意：B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A 【变式1-2】如图，直线11213，直线AC,DF与这组平行线依次交于点A,B,C,D,E,F,则下 第2页共24页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 列结论错误的是() B B. BCEF A.BE2=AD·CF AC DF c. AB_DE D.AB·DF=AC·DE BC EF 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论， 【详解】解：11213 BC_EF ,故B正确： AC DF .ABDE BC 故C正确： EE AB_DE ∴AC DF 即AB·DF=AC·DE,故D正确； A志项的BE-ADC,恶品不管合行发分线段皮比例定温，放A销灵 故选：A 【变式1-3】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点DEBC,点F为BC边上一点，连接 AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是() E B D A. DAE AGAE C. BD_CE B. D. AG_AC AB EC GF BD AD AE GF EC 【答案】C 第3页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或 两边的延长线)，所得的对应线段成比例：推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.由此逐项判断即可得出答案， 【详解】解：，在△ABC中，DE‖BC, ADAB AB AC 故选项A结论错误，不合题意： .在△AFC中，EG‖CF, AGAE GF EC .EC不一定等于BD AG=AE 不一定正确， GE BD 故选项B结论错误，不合题意； .在△ABC中，DE‖BC .AD"AE BD CE 故选项C结论正确，符合题意； .在△AFC中，EGCF, AG_AE GF EC 故选项D结论错误，不合题意： 故选：C 【题型2利用平行线分线段成比例求线段长或比值】 【例2】如图，已知AC‖EF‖DB,AF:BF=2:3,CD=15,CE= E 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可. 第4页共24页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：，AC‖EF‖DB CE AF DE BF' .AF:BF=2:3, .CE_2 'DE 3' CE CE 2 2 ∴CDCE+DE2+35 .CD=15, :CE=15×2=6. 6 故答案为：6. 【变式2-1】如图，若l1‖121，AB=6,BC=4,DF=15,则EF的长为 B 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得 AB_DE,再代入数值计算即可. BC EF 【详解】解：l1213, ..AB_DE BC EF' :AB=6,BC=4,DF=15, 普出 解得EF=6. 故答案为：6. 【变式2-2】如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3,14,12,11上.若直线l1l2‖13‖14且间距相等， AD交直线l于点G,AB=4,BC=3,则AG 的值为() CD 第5页共24页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C 12 13 B 、 B.4 c盟 15 D.15 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出CD=AB=4,AD=BC=3,根据平行线分线段成比例定理，可得 AG-TAD-3 3 ,即可求解。 【详解】解：如图，过点D作DF⊥13于点F,交l2于点E, D G 13 B ,四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=4,AD=BC=3. l213, .AG_EF 1 ∵ADFD21 AG-AD=3 2 3 8暑君 故选：A. 【变式2-3】如图，在△ABC中，EF‖CD,DE‖BC. 第6页共24页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求证： AF_AD FD DB (2)已知AB=45,AD:DB=2:1,求FD的长. 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理， (1)由EF‖CD,求得 F_AE ,由DE BC求得AD-Ag ，据此即可得到 AF_AD ED EC DB EC FD DB (2)设FD=X, AE-AD,求得AF=2X,AD=3X,再根据AD:DB=2:1可求得BD=3X,再根据 FD DB 2 AB=45,列式计算即可求解。 【详解】(1)证明：，EF‖CD, .AF-AE FD EC ,DE‖BC, .AD=AE DB EC AF_AD FD DB (2)解：设FD=X, ..AF_AD FD DB AD:DB=2:1, =2,即AF=2X, ∴.AD=3X, AD:DB=2:1, BD-x. .AB=45, 3x+3x=45,解得x=10, 2 第7页共24页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FD的长为10 【题型3利用平行证明三角形相似】 【例3】如图，在△ABC中，AD-2CD,CF=2BF,则 DP 的值为 D 【答案】 05 【分析】过点D作BC的平行线，交AF于点E,设BF=3a,由平行可判定△ADE一△ACF,则 DE_AD_2 CE AC 3 计算得DE=4a,同理△DEP-A△BFP,因此BP-BF-3 DP DE 4 【详解】解：如图，过点D作BC的平行线，交AF于点E,设BF=3a, D .AD=2CD,CF=2BF. .AD_2 A-3:CF=6a .DE BC, .△ADE一△ACF, 恕 :'.DE=2CF=4a. 3 ,DE‖BC ∴.△DEP一△BFP, 第8页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BP_BF_3a_3 DP DE 4a 4 故答案为：4 【变式3-1】如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE‖BC,若AD=2,AB=6,则 DE BC 4 E 【路案)站 【分析】首先根据DE‖BC,结合相似三角形的判定定理得出△ADE一△ABC:再根据相似三角形对应 边成比例的性质，代入已知的线段长度计算 C的值. DE 【详解】解：DE‖BC, ∴.△ADE一△ABC, DE_AD BC AB' AD=2,AB=6, .DE=2_1 BC 63 1 故答案为： 【变式3-2】如图，在锐角三角形ABC中，边BC=6,高AD=4,矩形EFGH的顶点E,H分别在AB, AC上，F,G在BC上，AD与EH交于点N. B DG C 第9页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)试说明：△AEH一△ABC: (2)若矩形EFGH是正方形，求EH的长： 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结 合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解， (1)根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明 △AEH一△ABC: (2)设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比 等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即EH的长。 【详解】(1)解：，四边形EFGH是矩形， ∴EHBC, .△AEH一△ABC (2)解：设正方形EFGH的边长为X,则EH=EF=X,AN=AD-EF=4-X. ,△AEH一△ABC 令6解得x=2 0音 2 EH的长为 5 【变式3-3】已知：如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上的一点，DE延长线交BC延长线于点 F,求证： BFAE CF EC D B C 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知 识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解， BF BD BF AD 先证明△FCM一△FBD,列出比例式： CF CM 结合中点可得 CF CM 再证明△ECM一△EAD, 第10页共24页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 列出比例式： CME能从而可得结论。 ADAE 【详解】证明：过点C作CM‖AB,交DF于点M D EM B 则△FCM一△FBD, ..BE-BD 'CF CM ,点D为AB的中点， ..BD=AD .BF=ADD. ·CFCM ,CM‖AB, ∴.△ECM一△EAD, 0@ BF AE 由①和②可知， CF EC 【题型4利用相似三角形的判定，证明平行】 【例4】在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=4,DB=3,那么由下列条件能够判断 DEBC的是() 4船手 B.DE_4 EC4 D. AE 3 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，由 可是明 △ADE一△ABC,可得∠ADE=∠B,从而可证明结论，而添加其他添加都不能证明 △ADE一△ABC,从而可排除， 【详解】解：，AD=4,BD=3, 第11页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AD-4 ∴AB7 D B 添加： EC_3 AC 7 :A坦=4 AC7 ..AD-AE_4 ABAC号，而∠A=∠A, .△ADE一△ABC, ∠ADE=∠B, DE‖BC,故C符合题意： 玻是专瓷-号E-号年不作推△ADE-△ABC 即不能推出∠ADE=∠B或∠AED=∠C,不能推出DEBC, 即选项A、B、D都不符合题意， 故选：C 【变式41】已知：如图，在△ABC中，DE‖BC,点F为AD上的一点，且AD=AB·AF. 求证：EFCD 【分新】利用平行线分线段成比例可物品一-铝。由已如条件变形可 AD AF ABAD,进而可得 AF AE AD AC 即可证明△AFE一△ADC,推出∠AFE=∠ADC,即得结论 【详解】证明：：DE‖BC, 第12页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .ADAE “ABAC AD=AB·AF, 品怨 品沿 :∠A=∠A, .△AFE一△ADC, ∴.∠AFE=∠ADC, EF‖CD 【变式42】已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE‖AC, CEE,求证：DFBC. AFCE A D 【分行】根据平行线分线税成比例院理和C。需可品证明△AD那一△AC即可得 DF‖BC; 【详解】证明：DE‖AC, .CE-AD EB DB AF_CE FC EB AF AD FC DB' ..AD-AF AB FC ∠A=∠A, .△ADE一△ABC, 第13页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADE=∠ABC, DF‖BC 【变式43】如图，AD是△ABC的中线，P为AD上任意一点，连接BP并延长交AC于F,连接CP并延长 交AB于E,连接EF.求证：EFBC. 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，正 确作出辅助线是解题的关键。 延长PD到M,使DM=PD,连接BM、CM,由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形 BPCM是平行四边形，于是BP‖MC,即PF‖MC,再根据平行线分线段成比例得出AF:AC=AP:AM, 同理AE:AB=AP:AM,等量代换得到AE:AB=AF:AC,然后证明△EAF一△BAC,得到 ∠AEF=∠ABC,即可证明EF∥BC. 【详解】证明：如图，延长PD到M,使DM=PD, B D 连接BM、CM :'AD是△ABC的中线， .'BD=CD, DM=PD, ∴.四边形BPCM是平行四边形， ∴.BPMC,即PF‖MC, ∴.AF:AC=AP:AM 第14页共24页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同理AE:AB=AP:AM, ∴.AE:AB=AF:AC, ,∠EAF=∠BAC, ∴.△EAF一△BAC, ∴.∠AEF=∠ABC .EF‖BC 模块三课后作业 1.如图，已知l‖12‖13，直线l1,12,l3分别交直线l4于点A、B、C,交直线l于点D、E、F,那么下列 比例式正确的是() F -13 4品器 B. AB_DE BE AD e開 ABBC D.DF EF 【答案】A 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的 关键.根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断 【详解】解：A.l11213 .AC_BC DF EF ,故A正确： B.根据l,山，1，无法判断AB=D ,故B错误： BE AD C.根据l11213无法判断 FE CE BE 故C错误 D.l1213 AB DE BC EF 是距，故D错误 AB BC 第15页共24页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故选：A 2.如图，DE‖BC,EF‖AB,则下列结论中错误的是() A.AD=AE ADDE e品腮 D. CF EF BD EC B.ABBC DE AB 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键， 根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质逐一检验即可， 【详解】解：A、DE‖BC, 045 BD EC' 故此选项不符合题意； B、DEBC, ∴.∠ADE=∠B 又∠A=∠A, ∴.△ADE~△ABC, AD_DE 'AB BC 故此选项不符合题意； C、DE‖BC,EF‖AB AD_AE AE_BF ·BDEC'ECFC ·AD_BF …BDFC 故此选项不符合题意： D、,EF‖AB ∴.∠EFC=∠B, 又.∠C=∠C, ∴.△EFC~△ABC, 第16页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..CE_EF CB AB' 故此选项符合题意. 故选：D 3.已知直线AC、BD相交于点O且 A0_2 CO 3 ,下列式子能判断AB‖CD的是() A.AB2 CD3 B. 阳号 C A0_2 D. B02 AC5 BD5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，若判断ABCD,则证明△AOB一△COD,根据相似三角 形的性质逐项判断即可. 【详解】解：如图： B D 若判断ABCD,则证明△AOB一△COD, A.AB_2 CD 3 :A02 C031 .AOAB ·cOCD 结合∠AOB=∠COD, 不能证明△AOB一△COD,故该选项错误； B.BO_2 BD 3 03 A0_2 .AO_BO ·COBD 不能证明△AOB一△COD,故该选项错误： 第17页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cA0_2 AC5 :03 C03 不能证明△AOB一△COD,故该选项错误： D.B0=2 ·BD5 .B0-B0 =2 ·D0BD-B05-23 :品 ,∠AOB=∠COD ∴.△AOB一△COD, ∴.∠A=∠C, ∴.AB‖CD, 故选：D 4.如图，在△ABC中，点E在BC上，EC:BE=1:3,点F在AC上，AF:CF=3:2,AE,BF相交于D, 则FD:BD=() B A.1:4 B.1:5 c.1:6 D.2:15 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点B作BG‖AC,交AF延长线于点G,利用平行线构 造相似三角形是解题的关键： 过点B作BG‖AC,交AF延长线于点G,利用BG‖AC可得△BEG一△CEA,△BDG一△FDA,再 利用相似三角形的性质求解即可 【详解】解：如图，过点B作BG‖AC,交AF的延长线于点G, 第18页共24页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 设AF=3a,CF=2a,则AC=AF+CF=5a, BG AC, ∴.△BEG~△CEA,△BDG~△FDA, △BEG-△CEA,可得BC-BE=3. ac ce ∴.BG=3AC=15a, 由△BDG-△FDA,可得D-AF=3a=L "BD BG 15a5' 即FD:BD=1:5 故选：B 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格点上，连接AB、CD交 CE 于点E,那么D 的值是 【省溪明 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知 第19页共24页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解 先证明△BCE一△ADE,再列出比例式求解即可. 【详解】解：BC‖AD, ∴.△BCE一△ADE, 是03 CE_BC_2 效浴案物导 6.已知如图，点D是△ABC边BC上一点，且BD:DC=2:3,过点C任作一条直线与AB、AD分别交于点 F和E,求证： AE5AF ED 3BF F E 【分析】过点D作DG‖AB,DH‖FC构造平行四边形DGFH,得到DG=HF,再根据平行线分线段成 比例定，得bSC5- 结合DG=HF即可得证. 【详解】证明：过D点分别作DGAB,DH‖FC, F 3a H 2 3a B D 得到四边形DGFH是平行四边形， ∴.DG=HF, .DG‖BF, 第20页共24页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·DG-DC BF BC' ..BD2 ·CD-31 CD_3 ·BC51 是 设DG=3a,则FH=DG=3a,BF=5a, .'BH=2a, .m .DG AF, AE_AF ED DG .DG=FH, 部端 之明H=距， AEAF5AF .ED 3BF 3BF, 5 喘器 7.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DE‖BC,AE2=AF·AC. (1)求证：DF‖BE: 四品 的值。 EC 第21页共24页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，同位角相等两直线平行等 知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键 (1)由平行线分线段成比例定理可得AD-A正 AB=AC,由AE=AF·AC可得AF=AB AE AC 进而可得AD=AF AB AE 再结合∠A=∠A,可证得△ADP一△ABE,于是可得∠ADF=∠ABE,由同位角相等两直线平行可 得结论： 公由可得DB此，由平行设分线度碳业制使理及能多到和品铝 ,进而可得 CFE 2 AD_AE_3 DB EC的值. 。FC设AP3a,则E2a,AE=AF+FE=5a,EC0a,由此即可求A上a 【详解】(1)证明：DE‖BC, ..AD-AE AB AC .AE2=AF·AC .AFAE AE AC AD AF ·ABAE' 又.∠A=∠A, .△ADF一△ABE, .∠ADF=∠ABE, ∴.DF‖BE: (2)解：由(1)可得：DF‖BE, 又能是 ·AD=AF=3 ·DBFE2 .DE‖BC, 铝器号 设AF=3a,则FE=2a,AE=AF+FE=5a,EC=10a, 3 第22页共24页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .:AF=3a=9 EC10a10. 3 8.在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F. A A E G D B D 图1 图2 AE 1 (1)如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DGBE交AC于点G,求证： AC 3 (2)如图2，若BD:DC=14,AF:FD=3:2,求C的值. AC 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点： (1)利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出AE=CG=EG,即可得解： (2)过点D作DHBE,利用平行线分线段成比例定理和己知得出CH=4HE,AE=3HE,代入 AE:EC计算即可得解： 【详解】(1)证明：，DG‖BE,点D是BC中点， .CD=CG=1 BD EG 1 ∴.CG=EG :点F是AD中点，DG‖BE, ..AE-AF_1 EG FD 1 ∴AE=EG ∴.AE=CG=EG, ..AE=AE =1 AC AE+EG+CG3 (2)过点D作DH‖BE交AC于点H, 第23页共24页 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E H B D .BD:DC=1:4,DH BE, 黑畏片 ∴.CH=4HE, ,AF:FD=3:2,DH‖BE, .AEAF3 HE DF 2 AE是亚， EC_CH+HE _5HE 10 ∴.ACAE+CH+HE E5E 13. 第24页共24页