暑期预习讲义（第7讲）——成比例线段与平行线分线段成比例定理（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第7讲）——成比例线段与平行线分线段成比例定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 （一）线段的比与成比例线段 2 （二）平行线分线段成比例定理（核心考点） 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】比例线段基本计算（基础必考） 3 【题型 2】判断成比例线段 4 【题型 3】利用比例中项求值 4 【题型 4】平行线分线段成比例基础应用 5 【题型 5】三角形平行线A字型模型 6 四.经典题型精析（巩固提升） 7 【题型 6】 利用平行线分线段成比例求值证明 7 【题型 7】通过构造平行线分线段成比例求值证明 8 五.同步自测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握线段的比、成比例线段的定义，熟记比例的基本性质并能简单变形。 2. 理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能准确识别对应线段。 3. 会利用比例性质、平行线定理进行线段求值、比例证明、线段计算。 预习重难点 重点：成比例线段的判定、平行线分线段成比例定理的直接应用。 难点：找准“对应线段”、复杂图形中拆分基本模型、比例式变形计算。 课本原文预习填空 请结合课本自主完成填空，夯实概念，扫清预习基础障碍。 1. 在同一单位下，两条线段的__________叫做这两条线段的比。 2. 四条线段，如果______，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3. 比例的基本性质：若（），则__________。反之也成立。 4. 若，则叫做的__________。 5. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________。 6. 推论（三角形平行线定理）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段__________。 7. 三角形平行线拓展：平行于三角形一边的直线截三角形三边，截得的三角形与原三角形的对应线段__________。 预习填空参考答案 1. 长度比 2. 3. 4. 比例中项 5. 成比例 6. 成比例 7. 成比例 二.教材知识梳理解读 （一）线段的比与成比例线段 1. 线段的比 若线段长度为，线段长度为，则。注意：求线段比必须统一单位，比值为正数，无单位。 2. 成比例线段顺序性 四条线段成比例有严格顺序： ≠ ，做题不可随意调换顺序。 3. 比例常用性质 基本性质：（交叉相乘） 合比性质： 等比性质：若，则 （二）平行线分线段成比例定理（核心考点） 1. 基本定理（三线八角模型） 一组平行线（≥3条）截两条任意直线，对应线段成比例。 口诀：上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比全等于下比全。 2. 三角形推论（A字型、8字型） ① A字型：在中，，则、； ② 8字型（倒A字）：平行线截三角形延长线，依然满足对应线段成比例。 3. 核心解题原则 找比例优先找：平行线→锁定对应线段→列比例式→代入求值。 易错点：不看对应关系、乱套比例、线段长短判断错误。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】比例线段基本计算（基础必考） 【例题1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）已知，，，是成比例线段，即，若，，，则______． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知线段a，b，c满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． 思路总结：比例求值首选设k法，通用万能，不易出错，适合所有比例变形题目。 【题型 2】判断成比例线段 【例题2】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知三条线段的长分别为2，4，6，请你写出一条线段的长，使这四条线段是成比例线段． 【变式1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【变式2】（2026九年级下·全国·专题练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则_____． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知线段是成比例线段，其中，求线段的长． 【题型 3】利用比例中项求值 【例题3】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·山东·课后作业）已知是、的比例中项，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于_____． 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 思路总结：判断成比例线段步骤：排序→计算两组比值→对比是否相等。 【题型 4】平行线分线段成比例基础应用 【例题4】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线，已知，，，___________． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且． （1）若，，，求的长； （2）点O是直线与的交点，若，，求的长． 思路总结：直接套用“上:下=上:下”对应比例，交叉相乘解方程即可。 【题型 5】三角形平行线A字型模型 【例题5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在中，点是边上的一点，以点为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点，连接并延长交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【变式3】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 思路总结：A字型核心比例：左右两段对应成比例，找准同侧线段是关键。 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】 利用平行线分线段成比例求值证明 【例题6】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在矩形中，若，求的长度． 【变式1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，若，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 【题型 7】通过构造平行线分线段成比例求值证明 【例题7】（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． （1）比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，，对角线相交于点，是内一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 【变式3】（25-26九年级上·山东·期末）如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点，，分别在，，上，，交于点D，已知与的距离为，与的距离为，求的值． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 7．（2026·陕西汉中·二模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 12．（2026九年级下·全国·专题练习）若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则_____． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是的边上一点，连接，过上的点作，交于点，过点作交于点．已知，则的长为____________． 14．（2025·河北·一模）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 16．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知，它们依次交直线于点、、和点、、．如果，那么线段的长是______． 17．（2026·湖南邵阳·三模）如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 18．（25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段a、b满足，且． （1）求a、b的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在中，点D是边上的一点，．    （1）尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 22．（本小题满分10分）（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·山东济南·阶段检测）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·重庆·期中）在学习图形的相似过程中，有这样一个问题：如图，，． （1）用直尺和圆规，作的平分线交于点．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，试说明．请根据以下思路完成填空： 证明：， ①_____ 平分， ②_____ ③_____ ④_____ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第7讲）——成比例线段与平行线分线段成比例定理（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 （一）线段的比与成比例线段 2 （二）平行线分线段成比例定理（核心考点） 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】比例线段基本计算（基础必考） 3 【题型 2】判断成比例线段 5 【题型 3】利用比例中项求值 7 【题型 4】平行线分线段成比例基础应用 9 【题型 5】三角形平行线A字型模型 12 四.经典题型精析（巩固提升） 14 【题型 6】 利用平行线分线段成比例求值证明 14 【题型 7】通过构造平行线分线段成比例求值证明 17 五.同步自测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 28 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握线段的比、成比例线段的定义，熟记比例的基本性质并能简单变形。 2. 理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能准确识别对应线段。 3. 会利用比例性质、平行线定理进行线段求值、比例证明、线段计算。 预习重难点 重点：成比例线段的判定、平行线分线段成比例定理的直接应用。 难点：找准“对应线段”、复杂图形中拆分基本模型、比例式变形计算。 课本原文预习填空 请结合课本自主完成填空，夯实概念，扫清预习基础障碍。 1. 在同一单位下，两条线段的__________叫做这两条线段的比。 2. 四条线段，如果______，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3. 比例的基本性质：若（），则__________。反之也成立。 4. 若，则叫做的__________。 5. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________。 6. 推论（三角形平行线定理）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段__________。 7. 三角形平行线拓展：平行于三角形一边的直线截三角形三边，截得的三角形与原三角形的对应线段__________。 预习填空参考答案 1. 长度比 2. 3. 4. 比例中项 5. 成比例 6. 成比例 7. 成比例 二.教材知识梳理解读 （一）线段的比与成比例线段 1. 线段的比 若线段长度为，线段长度为，则。注意：求线段比必须统一单位，比值为正数，无单位。 2. 成比例线段顺序性 四条线段成比例有严格顺序： ≠ ，做题不可随意调换顺序。 3. 比例常用性质 基本性质：（交叉相乘） 合比性质： 等比性质：若，则 （二）平行线分线段成比例定理（核心考点） 1. 基本定理（三线八角模型） 一组平行线（≥3条）截两条任意直线，对应线段成比例。 口诀：上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比全等于下比全。 2. 三角形推论（A字型、8字型） ① A字型：在中，，则、； ② 8字型（倒A字）：平行线截三角形延长线，依然满足对应线段成比例。 3. 核心解题原则 找比例优先找：平行线→锁定对应线段→列比例式→代入求值。 易错点：不看对应关系、乱套比例、线段长短判断错误。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】比例线段基本计算（基础必考） 【例题1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例的性质是解题关键． 设，依次表示出b和c，解方程求出k的值后，计算出a，b，c的值． 解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得，，即， ∴，，． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键． 根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 解：A、由得，故选项符合题意； B、由得，故选项不符合题意； C、由得，故选项不符合题意； D、由得，故选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）已知，，，是成比例线段，即，若，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，比例式成立，代入已知数值求解即可． 解：∵是成比例线段， ∴， 代入,,，得， 解得， 故答案为：6． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知线段a，b，c满足，且． （1）求a，b，c的值． （2）若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查比例，线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）设，得到，代入，求出 ，则，即可解答． （2）推导出，将代入求解即可． 解：（1）解：设， 则 ∵ ∴， 解得， ∴． （2）∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴， ∴ ∴． 思路总结：比例求值首选设k法，通用万能，不易出错，适合所有比例变形题目。 【题型 2】判断成比例线段 【例题2】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知三条线段的长分别为2，4，6，请你写出一条线段的长，使这四条线段是成比例线段． 【答案】12或3或 【分析】本题考查了成比例线段，设线段的长为d，根据题意分3种情况，分别列出比例式求解即可． 解：设线段的长为d， 根据题意，得： 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：； 所以线段的长为12或3或． 【变式1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 【变式2】（2026九年级下·全国·专题练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则_____． 【答案】8 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，列出比例式并求解即可． 解：由题意：， ∵， ∴； 故答案为：8 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知线段是成比例线段，其中，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有，那么就说这四条线段成比例．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d． 解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入， 解得：． 【题型 3】利用比例中项求值 【例题3】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． （1）求、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）解：， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 【变式1】（25-26八年级上·山东·课后作业）已知是、的比例中项，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段．根据比例中项的定义和已知条件，先求出a、b、c的值，再计算的值． 解：∵是、的比例中项， ∴， 又∵ ， ∴ ， 代入，得 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 ，， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知线段，C是线段上一点，且是与的比例中项，那么线段的长等于_____． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项和解一元二次方程，设线段的长等于，则，根据比例中项的概念列方程，并解方程即可． 解：设线段的长等于，则， ∵是与的比例中项， ∴， 解得（负根已舍去） 即线段的长等于， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】（1），，；（2）． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 解：（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 思路总结：判断成比例线段步骤：排序→计算两组比值→对比是否相等。 【题型 4】平行线分线段成比例基础应用 【例题4】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，再进一步计算求解即可． 解：∵， ∴， ∵， 解得，， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 解：∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线，已知，，，___________． 【答案】 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 解：， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且． （1）若，，，求的长； （2）点O是直线与的交点，若，，求的长． 【答案】（1）3；（2）9 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，将已知条件代入比例式即可解答． （2）先推导出，证明，则，由求出，即可解答． 解：（1）解：由题意可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 思路总结：直接套用“上:下=上:下”对应比例，交叉相乘解方程即可。 【题型 5】三角形平行线A字型模型 【例题5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 解：略 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在中，点是边上的一点，以点为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交，于点，；以点为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点，连接并延长交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图得，推出，然后利用平行线分线段成比例求解即可． 解：由作图得， ∴ ∴ ∴． 【变式2】（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 解：由作法可知，， ， ， ， ． 【变式3】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质与判定，可证明四边形是平行四边形求出的长，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数值求解即可． 解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 思路总结：A字型核心比例：左右两段对应成比例，找准同侧线段是关键。 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】 利用平行线分线段成比例求值证明 【例题6】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在矩形中，若，求的长度． 【答案】1 【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理得到，根据勾股定理求出的值，即可得到的长度． 解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，若，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵，， ∴， ∴． 【变式2】（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________． 【答案】1 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，从而求得，然后根据平行线分线段成比例可得，据此求得，进而根据线段的和差求得． 解：∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，且点为的中点，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 解：（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 【题型 7】通过构造平行线分线段成比例求值证明 【例题7】（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． （1）比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）；，证明见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质易证得，进而得到、，结合中点M的性质，从而得到，； （2）过点E作，交于点H，结合（1）中的结论易证得，进而得到，再证得，最后利用平行线分线段成比例的性质得到，从而得到结论． 解：（1）证明：；，证明过程如下： ， ， 由旋转的性质得、， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 点是中点， ， ； （2）证明：，证明过程如下： 过点E作，交于点H， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 、， ， ， ． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，，对角线相交于点，是内一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，由平行四边形的性质得，，由平行线等分线段定理得，即得是的中位线，得到，又由直角三角形的性质得，再根据线段的和差关系解答即可求解． 解：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·山东·期末）如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点，，分别在，，上，，交于点D，已知与的距离为，与的距离为，求的值． 【答案】 【分析】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．过点作于点，过点作于点，根据题意可得，，，证明得到 ，，则，由勾股定理求出，由，得到，进而求 出 ，推出，即可求解． 解：如图，过点作于点，过点作于点， 与的距离为，与的距离为， ∴ ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得出答案． 解：如图， D、E分别是边反向延长线上的点， A、若，能判定，符合题意； B、若，不能判定，不符合题意； C、若，不能判定，不符合题意； D、若，不能判定，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 解：， ，选项A成立，不符合题意； ，选项B成立，不符合题意； ，选项C成立，不符合题意； ，选项D不成立，符合题意； 故选：D． 5．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答； 解： ∵， ∴， ∵，，， ∴ ， 解得：， ∴． 6．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 解：∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 7．（2026·陕西汉中·二模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可. 解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，则， ， 即， ， ∴. 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 9．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、中位线、平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分，可知点为的中点，根据可得，可证点为的中点，从而可证是的中位线，根据中位线定理可知． 解：是的对角线， ， 为的中点， ， ， ， 即为的中点， 是的中位线， ． 10．（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 12．（2026九年级下·全国·专题练习）若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查了比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得，即， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：4． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是的边上一点，连接，过上的点作，交于点，过点作交于点．已知，则的长为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，据此代入计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（2025·河北·一模）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 解：如图，由题意，得：，，，，    ∴， ∴， ∴点M对应的数是：； 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解； 解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 16．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知，它们依次交直线于点、、和点、、．如果，那么线段的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理直接解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（2026·湖南邵阳·三模）如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 【答案】5 【分析】由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直于同一直线的两直线平行可得，根据平行线分线段成比例可判定为的中点，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 解：如图， 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ，， ，即， ， ∴， 为的中点， 在中，， ，为的中点， ． 18．（21-22九年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，，得到，根据，，得到，，最后证明即可得到答案． 解：如图，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知线段满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为 ． 【答案】（1），，；（2）8 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 解：（1）解：∵， 设，，， 又， ，即， 合并同类项，得， 系数化为，得， ，，； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 解得． 故答案为：． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段a、b满足，且． （1）求a、b的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在中，点D是边上的一点，．    （1）尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）如图所示， 直线即为所求； （2） 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例． （1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答； （2）根据平行线分线段成比例即可作答． 解：（1）略 （2）由作图可知， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 22．（本小题满分10分）（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由得到，然后代数求解； （2）由得到，然后结合得到，进而求解即可． 解：（1）解：∵， ，即， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级下·山东济南·阶段检测）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出． 解：证明：作的中点G，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·重庆·期中）在学习图形的相似过程中，有这样一个问题：如图，，． （1）用直尺和圆规，作的平分线交于点．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，试说明．请根据以下思路完成填空： 证明：， ①_____ 平分， ②_____ ③_____ ④_____ 【答案】（1）图见分析；（2）①；②；③；④ 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）根据尺规作图——角平分线的作法解答即可； （2）根据等腰三角形的性质，三角形的外角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，进行解答即可． 解：（1）解：如图所示，即为所作的角平分线， （2）证明：， 平分， 故答案为：①；②；③；． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $