暑期预习讲义（第5讲）——公式法、因式分解法与根的判别式（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第5讲）——公式法、因式分解法与根的判别式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 1. 求根公式与公式法解题步骤 3 2. 根的判别式中考核心结论（必考） 3 3. 因式分解法（最快解题技巧） 3 4. 三种解方程方法选用优先级 3 5. 易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】根的判别式判断根的情况 4 【题型 2】公式法标准解方程 4 【题型 3】因式分解法解一元二次方程 4 四.经典题型精析（巩固提升） 5 【题型 4】 根的判别式求值证明综合 5 【题型 5】 选择合适的方法解一元二次方程 5 【题型 6】 解可化为一元二次方程的分式方程 6 【题型 7】 一元二次方程与几何、函数综合 6 五.同步自测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.预习目标与填空 预习目标 1. 熟记一元二次方程求根公式，理解公式推导原理，熟练使用公式法解方程； 2. 掌握因式分解法解方程的两种核心方法，能快速求解可分解的一元二次方程； 3. 熟练运用根的判别式判断方程根的情况，掌握参数取值范围题型； 4. 能根据方程结构灵活选择最优解法，规避计算易错点，对接中考基础题型。 课本原文预习填空 1. 对于一元二次方程 ，当________时，方程有实数根，求根公式为________。 2. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做________，是解所有一元二次方程的通用方法。 3. 我们把________叫做一元二次方程的根的判别式，记作。 4. 根的判别式与根的关系： （1） ⇨ 方程有________的实数根； （2） ⇨ 方程有________的实数根； （3） ⇨ 方程________实数根。 5. 因式分解法：当一元二次方程的一边为________，另一边可以分解成两个________的积时，可将方程转化为两个一元一次方程求解。 6. 因式分解法常用两种方法：________、________。 【课本预习填空·参考答案】 1. ； 2. 公式法 3. 4. （1）两个不相等；（2）两个相等；（3）没有 5. 0；一次因式 6. 提公因式法；十字相乘法 二.教材知识梳理解读 1. 求根公式与公式法解题步骤 公式核心： 解题五步口诀：整理、定参、求判、代入、求解 1. 整理：将方程化为一般形式 ； 2. 定参：准确找出 a、b、c（包含正负符号）； 3. 求判：计算 ，判断是否有实数根； 4. 代入：将参数代入求根公式； 5. 求解：化简算出两个根。 2. 根的判别式中考核心结论（必考） ① ：2个不相等实数根（中考最多考）； ② ：2个相等实数根（一个解）； ③ ：无实数根； 关键前提：使用判别式前，必须保证 （一元二次方程）。 3. 因式分解法（最快解题技巧） 核心原理：若 ，则 或 适用场景：方程可提公因式、可十字相乘，无复杂常数项 两种常用方法 1. 提公因式法：适合含相同因式的方程，快速消元求解； 2. 十字相乘法：适合 型基础方程，暑期重点掌握。 4. 三种解方程方法选用优先级 因式分解法（最快）＞直接开平方法（极简）＞公式法（万能）＞配方法（压轴专用） 5. 易错点重磅预警 易错1：找 a、b、c 时遗漏负号，参数符号出错导致全盘算错 易错2：忽略 ，直接用判别式判断根的情况 易错3：因式分解法未移项为0，直接拆分因式导致漏根 易错4： 时，误判为只有一个根（实际是两个相等实数根） 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】根的判别式判断根的情况 【例题1】（25-26九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断下列关于的一元二次方程根的情况： （1）． （2）． （3）． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程根的判别式的值是___________． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）利用判别式判断下列一元二次方程的根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 2】公式法标准解方程 【例题2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解一元二次方程： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（23-24八年级下·山东泰安·期末）定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 3】因式分解法解一元二次方程 【例题3】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程： （1） （2） 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： （1）； （2）． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 4】 根的判别式求值证明综合 【例题4】（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【变式1】（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（     ） A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是______． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【题型 5】 选择合适的方法解一元二次方程 【例题5】（25-26八年级下·山东日照·期末）解方程： （1）用配方法解方程：； （2）用适当方法解方程：． 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）用适当方法解下列方程 （1） （2） 【变式2】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【变式3】（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） （4）（十字相乘法） 【题型 6】 解可化为一元二次方程的分式方程 【例题6】（23-24八年级下·上海·期中）解方程：． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）解分式方程∶ （1） （2） 【变式2】（24-25八年级下·海南海口·期中）解下列方程： （1） （2） 【变式3】（24-25八年级下·上海·阶段检测）已知关于的方程无解，求的取值范围． 【题型 7】 一元二次方程与几何、函数综合 【例题7】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（是常数）图像与轴的交点位于轴负半轴上，且函数值随自变量的增大而减小． （1）该一次函数图像一定经过第________象限； （2）求的取值范围； （3）如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是2，求这个一次函数的表达式． 【变式1】（23-24九年级上·江西抚州·阶段检测）菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的面积等于（   ） A．24 B．12 C．8 D．24或8 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段检测）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 【变式3】（23-24九年级上·湖南·阶段检测）已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为1，求的值； （2）当为何值时，是矩形． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）若关于的一元二次方程的常数项为0，则这个一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C． D．， 3．（2025·河北唐山·三模）A，B是数轴上不同的两点，其表示的数分别为，．若，两点到原点的距离相等．则的值为（   ） A．-2 B．0 C．2 D．0或2 4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河南郑州·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·广东肇庆·三模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．（25-26八年级下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24七年级下·四川成都·阶段检测）若，则_____． 12．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，，____________． 13．（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 16．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 17．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）当________时，函数（是常数）是正比例函数． 18．（2025·江苏无锡·二模）整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为___________；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东茂名·期末）解方程： （1）． （2）． 20．（本小题满分8分）（26-27九年级·全国·暑假作业）解方程： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 23．（本小题满分10分）（2025·北京门头沟·模拟预测）已知关于的方程． （1）当取什么值时，原方程没有实数根； （2）对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·四川达州·期末）某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： （1）甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ （2）如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第5讲）——公式法、因式分解法与根的判别式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 1. 求根公式与公式法解题步骤 3 2. 根的判别式中考核心结论（必考） 3 3. 因式分解法（最快解题技巧） 3 4. 三种解方程方法选用优先级 3 5. 易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】根的判别式判断根的情况 4 【题型 2】公式法标准解方程 6 【题型 3】因式分解法解一元二次方程 9 四.经典题型精析（巩固提升） 11 【题型 4】 根的判别式求值证明综合 11 【题型 5】 选择合适的方法解一元二次方程 14 【题型 6】 解可化为一元二次方程的分式方程 17 【题型 7】 一元二次方程与几何、函数综合 20 五.同步自测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 一.预习目标与填空 预习目标 1. 熟记一元二次方程求根公式，理解公式推导原理，熟练使用公式法解方程； 2. 掌握因式分解法解方程的两种核心方法，能快速求解可分解的一元二次方程； 3. 熟练运用根的判别式判断方程根的情况，掌握参数取值范围题型； 4. 能根据方程结构灵活选择最优解法，规避计算易错点，对接中考基础题型。 课本原文预习填空 1. 对于一元二次方程 ，当________时，方程有实数根，求根公式为________。 2. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做________，是解所有一元二次方程的通用方法。 3. 我们把________叫做一元二次方程的根的判别式，记作。 4. 根的判别式与根的关系： （1） ⇨ 方程有________的实数根； （2） ⇨ 方程有________的实数根； （3） ⇨ 方程________实数根。 5. 因式分解法：当一元二次方程的一边为________，另一边可以分解成两个________的积时，可将方程转化为两个一元一次方程求解。 6. 因式分解法常用两种方法：________、________。 【课本预习填空·参考答案】 1. ； 2. 公式法 3. 4. （1）两个不相等；（2）两个相等；（3）没有 5. 0；一次因式 6. 提公因式法；十字相乘法 二.教材知识梳理解读 1. 求根公式与公式法解题步骤 公式核心： 解题五步口诀：整理、定参、求判、代入、求解 1. 整理：将方程化为一般形式 ； 2. 定参：准确找出 a、b、c（包含正负符号）； 3. 求判：计算 ，判断是否有实数根； 4. 代入：将参数代入求根公式； 5. 求解：化简算出两个根。 2. 根的判别式中考核心结论（必考） ① ：2个不相等实数根（中考最多考）； ② ：2个相等实数根（一个解）； ③ ：无实数根； 关键前提：使用判别式前，必须保证 （一元二次方程）。 3. 因式分解法（最快解题技巧） 核心原理：若 ，则 或 适用场景：方程可提公因式、可十字相乘，无复杂常数项 两种常用方法 1. 提公因式法：适合含相同因式的方程，快速消元求解； 2. 十字相乘法：适合 型基础方程，暑期重点掌握。 4. 三种解方程方法选用优先级 因式分解法（最快）＞直接开平方法（极简）＞公式法（万能）＞配方法（压轴专用） 5. 易错点重磅预警 易错1：找 a、b、c 时遗漏负号，参数符号出错导致全盘算错 易错2：忽略 ，直接用判别式判断根的情况 易错3：因式分解法未移项为0，直接拆分因式导致漏根 易错4： 时，误判为只有一个根（实际是两个相等实数根） 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】根的判别式判断根的情况 【例题1】（25-26九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断下列关于的一元二次方程根的情况： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）原方程没有实数根；（2）原方程有两个不相等的实数根；（3）原方程有两个相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,利用判别式直接判断一元二次方程的根的情况,解题关键是掌握判别式与根的关系． （1）计算判别式的值，即可快速判断根的情况； （2）先把方程化为一般形式，计算判别式的值，即可快速判断根的情况； （3）先把方程化为一般形式，计算判别式的值，即可快速判断根的情况 解：（1）解：． 原方程没有实数根． （2）解：原方程可化为． ． 原方程有两个不相等的实数根． （3）原方程可化为． ． 原方程有两个相等的实数根． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 解：对于一元二次方程， 根的判别式为， 当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项： A选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； B选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； C选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； D选项：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，符合要求． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期末）一元二次方程根的判别式的值是___________． 【答案】44 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程判别式公式，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程的判别式是解决问题的关键． 解：一元二次方程根的判别式的值是：， 故答案为：44． 【变式3】（23-24九年级上·全国·课后作业）利用判别式判断下列一元二次方程的根的情况： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）此方程有两个不等的实数根；（2）此方程有两个相等的实数根；（3）此方程有两个不等的实数根；（4）此方程无实数根 【分析】（1）先得出a、b、c的值，再代入一元二次方程根的判别式进行计算即可； （2）先得出a、b、c的值，再代入一元二次方程根的判别式进行计算即可； （3）先得出a、b、c的值，再代入一元二次方程根的判别式进行计算即可； （4）先将方程化为一般式，得出a、b、c的值，再代入一元二次方程根的判别式进行计算即可； 解：（1）解：， ∵， ∴， ∴此方程有两个不等的实数根； （2）解：， ∵， ∴， ∴此方程有两个相等的实数根； （3）解：， ∵， ∴， ∴此方程有两个不等的实数根； （4）解：， ， ∵， ∴， ∴此方程无实数根． 【点拨】本题主要考查了已知一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【题型 2】公式法标准解方程 【例题2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 解：（1）解：∵，，． ∴， ∴， 即，． （2）解：原方程可化为， ∴，，． ∵， ∴， 即，． 【变式1】（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 【变式2】（23-24八年级下·山东泰安·期末）定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解． 根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解． 解：由新定义，得 ， 即 ， 整理得 ． 解此一元二次方程，判别式 ， ， 解得 ，． 故答案为： 或 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，再利用求根公式求解． （1）方程已是一般形式，直接确定系数计算判别式后代入求根公式即可； （2）方程为一般形式，确定系数计算判别式后代入求根公式求解； （3）先将方程展开并整理为一般形式，再按公式法步骤求解； （4）先展开方程左边，移项整理为一般形式，再用公式法求解． 解：（1）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （2）解：方程，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （3）解：先将方程整理为一般形式：， 其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，； （4）解：先将方程整理为一般形式：，其中，，， ∴， 代入求根公式得， ∴，． 【题型 3】因式分解法解一元二次方程 【例题3】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解因式； （2）提取公因式分解因式，分别令每个因式等于0即可得到方程的根． 解：（1）解： 因式分解得 或 解得， （2）解： 提取公因式得 整理得 或 解得， 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 解：A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 【变式3】（25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）先整理方程，提取公因式因式分解后，转化为两个一元一次方程求解． 解：（1）解：， ， ∴或， 解得：，． （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 4】 根的判别式求值证明综合 【例题4】（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； （2）的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 解：（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 【变式1】（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（     ） A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况． 解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】（1）证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； （2）的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 解：（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 【题型 5】 选择合适的方法解一元二次方程 【例题5】（25-26八年级下·山东日照·期末）解方程： （1）用配方法解方程：； （2）用适当方法解方程：． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）用适当方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 解：（1）解： ∴或 解得，． （2）解： 移项得 开平方得 解得，． 【变式2】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 解：（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 【变式3】（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）（因式分解法） （4）（十字相乘法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 解：（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 【题型 6】 解可化为一元二次方程的分式方程 【例题6】（23-24八年级下·上海·期中）解方程：． 【答案】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）解分式方程∶ （1） （2） 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查解分式方程与一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握解方程的方法，需要注意的是最后一定要验根． （1）先去分母变为整式方程，然后解整式方程，最后进行检验即可 （2）先方程两边同时乘以最简公分母，整理得到关于x的一元二次方程，然后求解方程得到x的值，再进行检验即可． 解：（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 检验：是原方程的解． 原方程的解为． （2）解： 方程两边同时乘以，得 整理，得∶ 化简得 解这个整式方程得： ， 经检验，是原方程的根． 原方程的解为，． 【变式2】（24-25八年级下·海南海口·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握运算步骤是解此题的关键． （1）根据解根式方程的步骤计算即可得解； （2）根据解根式方程的步骤计算即可得解． 解：（1）解：去分母得：， 解得， 把代入， 是原方程的根． （2）解：去分母得：， 解得：， 把代入， 为增根，原方程无解． 【变式3】（24-25八年级下·上海·阶段检测）已知关于的方程无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题先分解分式分母，将分式方程去分母转化为整式方程，分式方程无解分两种情况：一是整式方程无实根，原方程无解；二是整式方程的所有实根都是原分式方程的增根，原方程无解，分别计算得到m的取值范围． 解：对分母因式分解得 ， 原分式方程若有增根，则满足， 即增根为或 方程化为整式方程得： 即 分情况讨论原方程无解： 情况1：整式方程无实根，原分式方程无解， 计算判别式得， 令，得， 解得 ； 情况2：整式方程有实根，且所有实根都是增根，原分式方程无解， 将代入整式方程得， 解得 此时整式方程另一根为，不是增根，原方程有解，不符合要求； 将代入整式方程得 ， 解得 此时整式方程为，根为，为增根，原方程无解，符合要求 综上，的取值范围是． 【题型 7】 一元二次方程与几何、函数综合 【例题7】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（是常数）图像与轴的交点位于轴负半轴上，且函数值随自变量的增大而减小． （1）该一次函数图像一定经过第________象限； （2）求的取值范围； （3）如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是2，求这个一次函数的表达式． 【答案】（1）二、三、四；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程． （1）根据图象的增减性以及与轴的交点的位置的特点直接判断即可； （2）根据图象的增减性可以确定一次函数的自变量系数的正负性进而列出一个不等式；再求出轴的交点的坐标，再根据位置特点列出第二个不等式，问题即可得解； （3）先求出与坐标轴的交点坐标，再根据（2）的结果，结合面积即可列出方程，解方程即可求解． 解：（1）解：∵一次函数图像与轴的交点位于轴负半轴上， ∴该一次函数图像一定经过第三、四象限， ∵该函数值随自变量的增大而减小， ∴该一次函数图像一定经过第二、四象限， 综上：该一次函数图像一定经过第二、三、四象限， （2）解：∵一次函数的值随自变量的增大而减小， ∴，即， 当时，， ∴函数图像与轴的交点为， ∵该函数图像与轴的交点位于轴负半轴上， ∴，即， 综上：； （3）解：当时，即：， 则有：， ∴函数图像与轴的交点为， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，， ∴原点与点的距离为：，原点与点的距离为：， ∵该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是2， ∴， 整理：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴一次函数的表达式为：． 【变式1】（23-24九年级上·江西抚州·阶段检测）菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的面积等于（   ） A．24 B．12 C．8 D．24或8 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键． 解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的面积． 解：如图所示： 四边形是菱形， ， ， 因式分解得：， 解得：或， 分两种情况： 当时，，不能构成三角形； ②当时，， 如图， ∴， 在中，， ∴， 菱形的面积． 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段检测）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点，学会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由直线经过第一、三、四象限，求得，，再利用根的判别式得到，即可得出结论． 解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 关于的方程为， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】（23-24九年级上·湖南·阶段检测）已知的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根． （1）若的长为1，求的值； （2）当为何值时，是矩形． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定． （1）将代入方程，求出的值即可； （2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 解：（1）解：∵的两对角线，的长是关于的方程的两个实数根， ∴当的长为1时，， 解得：； （2）∵的两对角线，， ∴当时，是矩形， 方程有两个相等的实数根， ， 解得，即的值为1． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解． 解：∵ ∴或 解得． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）若关于的一元二次方程的常数项为0，则这个一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0求出的值，代入方程后解方程即可． 解：∵方程常数项为 ， ∴由题意得 ，解得： ， ， ， ， ∴方程为： ， 提公因式得： ， 或， ∴方程的两个根为 ， 故选：A． 3．（2025·河北唐山·三模）A，B是数轴上不同的两点，其表示的数分别为，．若，两点到原点的距离相等．则的值为（   ） A．-2 B．0 C．2 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，由相反数的定义得，解方程，即可求解． 解：由题意得 ， 解得：，， A，B是数轴上不同的两点， ， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算． 解：方程 中，，一次项系数为，常数项为． 代入求根公式 ，得： 与选项 A 一致， 故选：A． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列方程中，最适合用公式法求解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据各个方程判断最适合的方法即可得解，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解此题的关键． 解：A、最适合用直接开平方法，故不符合题意； B、最适合用直接开平方法，故不符合题意； C、最适合用公式法，故符合题意； D、最适合用直接开平方法，故不符合题意； 故选：C． 6．（25-26九年级上·河南郑州·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键；通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 解：∵一元二次方程的标准求根公式为， 给出的根为， ∴比较分母：，∴； 比较分子：，∴； 根号内部分：， 但给出的根号内为 ， ∴ ，解得； ∴原方程为； 故选：D． 7．（2026·广东肇庆·三模）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 解：将原方程整理得， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 9．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式组、不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用根的判别式判断方程根的情况是解题的关键． 先解不等式组得到解集，根据有且仅有4个整数解的条件，确定a的取值范围为；再计算一元二次方程的判别式，结合a的范围得出，从而判断方程无实数根． 解：不等式组 ， 由①得：， 由②得：， ∴该不等式组的解集为． ∵该不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为4，5，6，7， ∴． 对于方程 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程无实数根． 故选C． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24七年级下·四川成都·阶段检测）若，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把方程整理成一般式，利用公式法“”解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，，____________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 解：． 故答案为：． 13．（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先根据正比例函数图象的性质可得，再根据判断一元二次方程的根的情况即可． 解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴． 在一元二次方程中， 则， ∵， ∴， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值． 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得， 解得， 满足， ∴的值是． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 16．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 【答案】没有实数根 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 17．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【分析】根据正比例函数是（k为常数，），即常数项为零且一次项系数不为零，解答即可． 解：函数是正比例函数， ， 解得：． 18．（2025·江苏无锡·二模）整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为___________；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为___________． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键．本题第一空参考示例中的方法，通过设未知数并建立方程来求解；第二空利用整体思想，将连分数设为变量，通过方程求解其值． 解：设，由题意可得： ，解得：， 即的分数形式为； 设， 根据题意，分母中的无限连分数与原式完全相同，因此分母即为， 于是方程可表示为：，解得：或（舍去）， 即此数的值为． 故答案为：；． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东茂名·期末）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解：， 移项得， ，，， ， ， 则， （2）解： ， 或， 所以，． 20．（本小题满分8分）（26-27九年级·全国·暑假作业）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． （2）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法 ，乙同学的解法 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确；不正确；（2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键，用公式法求解要将一元二次方程先化为一般式，再运用公式法求解． （1）先将3移项，得，此时，计算，所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，据此判断甲同学和乙同学的答案； （2）先移项得，左边提公因式，再利用提公因式法解此方程即可． 解：（1）解：甲同学的解法错误，乙同学的解法错误， 故答案为：不正确，不正确； （2）移项，得， ， 或， 解得． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2）当时，， 【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论； （2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可； 解：（1）解：∵，， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知 ∴当时，一元二次方程为， 解得， 23．（本小题满分10分）（2025·北京门头沟·模拟预测）已知关于的方程． （1）当取什么值时，原方程没有实数根； （2）对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 【答案】（1）；（2）时， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出，根据原方程没有实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据原方程有两个实数根得出，选取，利用公式法解方程求出两个实数根即可． 解：（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·四川达州·期末）某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： （1）甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ （2）如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 【答案】（1）甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品；（2）至少需要18天 【分析】（1）以两厂单独加工的时间差为等量关系列分式方程求解； （2）先计算合作工作效率，再结合总工作量求工作时间，按要求取整． 解：（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品 由题意得： 两边同乘，得 化简得 整理得 解得， ∵每天加工数量为正数 ∴不符合题意，舍去 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品． （2）解：甲乙合作每天加工数量为（件） 所需时间为（天） ∵不满1天按1天计算， ∴ 至少需要18天 答：至少需要18天． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $