专题04认识一元二次方程、一元二次方程的解法、根与系数的关系（暑假预习讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册.

专题04认识一元二次方程、一元二次方程的解法、根与系数的关系 暑假预习讲义 ✺知识框架 一元二次方程基础认知：掌握一元二次方程定义、一般形式、各项系数辨析，能精准判断方程类型、验证方程的根 一元二次方程四大解法：熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程结构选择最优解法 根的判别式：利用判别式判断一元二次方程根的情况，掌握含参数方程有根、无根的取值范围 根与系数的关系（韦达定理）：掌握两根和、两根积公式，能进行整体代入求值、构造方程 综合应用：结合解方程、判别式、韦达定理进行基础计算、参数求解、代数式求值，适配月考期中基础题型 ✅本节核心学习逻辑为「识方程→会解方程→会判根→活用根的关系」，从概念辨析到运算求解，再到规律应用，是初中代数计算与代数变形的核心章节，为二次函数、中考综合题铺垫基础。 ✺学习目标 基础认知：理解一元二次方程的定义，熟记方程一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，掌握方程根的定义，能验证数值是否为方程的根。 方程解法：熟练掌握四种解方程方法，理解每种解法的适用条件，能规范书写解题步骤，做到快速、准确求解一元二次方程。 根的判别式：熟记根的判别式公式，能精准判断方程根的三种情况，可解决含参数一元二次方程的取值范围问题。 根与系数关系：掌握韦达定理核心公式，理解公式适用前提，能利用两根和、两根积进行代数式整体求值、简单构造方程。 综合应用：整合本章所有知识点，能解决方程辨析、解方程、根的判断、韦达定理求值等基础题型，筑牢本章解题基础。 ✺题型归纳 题型1.一元二次方程的定义 题型2.化成一元二次方程的一般式 题型3.由一元二次方程的定义求参数 题型4.判断是否是一元二次方程的解 题型5.由一元二次方程的解求参数 题型6.一元二次方程的解的估算 题型7.解一元二次方程——直接开平方法 题型8.解一元二次方程——配方法 题型9.配方法的应用 题型10.公式法解一元二次方程 题型11.根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型12.根据一元二次方程根的情况求参数 题型13.因式分解法解一元二次方程 题型14.换元法解一元二次方程 题型15.解分式方程（化为一元二次） 题型16.一元二次方程的根与系数的关系 题型17.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：认识一元二次方程 1.一元二次方程定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 ★三大判定条件： ①整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）； ②只含一个未知数； ③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 2.一元二次方程一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a为二次项系数（a≠0是核心前提）；bx是一次项，b为一次项系数；c是常数项。 ★注意：整理一般形式时，必须将方程右侧化为0，左侧按降幂排列，系数包含前面的正负号。 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 ★核心用法：利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程。。 知识点二：一元二次方程的四种解法 方法一、直接开平方法 定义：如果=16,则x=±，即x=±4，像这种根据平方根的意义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. ▶一般地，对于方程=P, ◆当P>0时，方程有两个不等的实数根=-,=. ◆当P=0时，非常有两个相等实数根，==0. ◆当P<0时，因为对任意实数x,都有≥0,所以方程无实数根。 方法二：配方法 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法依据：= 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ◈化二次项系数为1； ◈使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ◈方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为=P的形式； ◈如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解 方法三：公式法 1. 公式法的定义：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). 当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 方法四：因式分解法 1. 因式分解法的定义 将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现将次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 2.利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ●移项，将方程的右边化为0； ●化积，将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ●转化，令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ●求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点五、根的判别式（★★★重难点） 1.判别式定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac. 2.实数根判定结论： ① Δ=b2-4ac>0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 ；=,= ②Δ=b2-4ac=0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 即==- ③Δ=b2-4ac<0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。 3.反向应用：可根据方程根的已知情况，列等式或不等式求解参数范围，解题必须保证a≠0，满足一元二次方程前提。 知识点六、根与系数的关系 1.核心定理结论：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为、，则两根和、两根积满足固定关系：+=-，= ▶适用前提：使用韦达定理必须同时满足两个条件：① a≠0（保证方程为一元二次方程）；②Δ≥0（保证方程存在实数根）。 ★无实数根时，不可使用韦达定理。 知识点七、本章必背公式清单 1.一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0), 2.根的判别式：=b2-4ac, 3.一元二次方程求根公式：x=（Δ≥0） 4. 韦达定理两根和：+=-, 5. 韦达定理两根积：=. ✺题型◆精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的常数项是_______． 3．关于的方程是一元二次方程，求的值． 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 3．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3.由一元二次方程的定义求参数 1．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 2．若关于的方程是一元二次方程，则________． 3．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 题型4.判断是否是一元二次方程的解 1．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 3．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 3．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 题型6.一元二次方程的解的估算 1．根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 2．根据下表可知，方程的一个近似解为________（结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 题型7.解一元二次方程——直接开平方法 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 2．方程 的解是______． 3．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型8.解一元二次方程——配方法 1．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 3．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 题型9.配方法的应用 1．已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 3．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 题型10.公式法解一元二次方程 1．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 2．定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 3．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 题型11.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．一元二次方程根的判别式的值是___________． 3．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 题型12.根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 3．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 题型13.因式分解法解一元二次方程 1．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 2．方程的根是__________． 3．解下列方程： (1)； (2)． 题型14.换元法解一元二次方程 1．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 3．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 题型15.解分式方程（化为一元二次） 1．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 2．在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的整式方程是______________． 3．解方程：． 题型16.一元二次方程的根与系数的关系 1．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 4．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 二、填空题 6．方程解为_________． 7．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 8．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 9．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 10．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 三、解答题 11．解方程：． 12．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 14．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 15．已知：关于x的方程． (1)若，求该方程的解． (2)若是该方程的一个根，求k的值． (3)小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04认识一元二次方程、一元二次方程的解法、根与系数的关系 暑假预习讲义 ✺知识框架 一元二次方程基础认知：掌握一元二次方程定义、一般形式、各项系数辨析，能精准判断方程类型、验证方程的根 一元二次方程四大解法：熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程结构选择最优解法 根的判别式：利用判别式判断一元二次方程根的情况，掌握含参数方程有根、无根的取值范围 根与系数的关系（韦达定理）：掌握两根和、两根积公式，能进行整体代入求值、构造方程 综合应用：结合解方程、判别式、韦达定理进行基础计算、参数求解、代数式求值，适配月考期中基础题型 ✅本节核心学习逻辑为「识方程→会解方程→会判根→活用根的关系」，从概念辨析到运算求解，再到规律应用，是初中代数计算与代数变形的核心章节，为二次函数、中考综合题铺垫基础。 ✺学习目标 基础认知：理解一元二次方程的定义，熟记方程一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，掌握方程根的定义，能验证数值是否为方程的根。 方程解法：熟练掌握四种解方程方法，理解每种解法的适用条件，能规范书写解题步骤，做到快速、准确求解一元二次方程。 根的判别式：熟记根的判别式公式，能精准判断方程根的三种情况，可解决含参数一元二次方程的取值范围问题。 根与系数关系：掌握韦达定理核心公式，理解公式适用前提，能利用两根和、两根积进行代数式整体求值、简单构造方程。 综合应用：整合本章所有知识点，能解决方程辨析、解方程、根的判断、韦达定理求值等基础题型，筑牢本章解题基础。 ✺题型归纳 题型1.一元二次方程的定义 题型2.化成一元二次方程的一般式 题型3.由一元二次方程的定义求参数 题型4.判断是否是一元二次方程的解 题型5.由一元二次方程的解求参数 题型6.一元二次方程的解的估算 题型7.解一元二次方程——直接开平方法 题型8.解一元二次方程——配方法 题型9.配方法的应用 题型10.公式法解一元二次方程 题型11.根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型12.根据一元二次方程根的情况求参数 题型13.因式分解法解一元二次方程 题型14.换元法解一元二次方程 题型15.解分式方程（化为一元二次） 题型16.一元二次方程的根与系数的关系 题型17.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：认识一元二次方程 1.一元二次方程定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 ★三大判定条件： ①整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）； ②只含一个未知数； ③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 2.一元二次方程一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a为二次项系数（a≠0是核心前提）；bx是一次项，b为一次项系数；c是常数项。 ★注意：整理一般形式时，必须将方程右侧化为0，左侧按降幂排列，系数包含前面的正负号。 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 ★核心用法：利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程。。 知识点二：一元二次方程的四种解法 方法一、直接开平方法 定义：如果=16,则x=±，即x=±4，像这种根据平方根的意义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. ▶一般地，对于方程=P, ◆当P>0时，方程有两个不等的实数根=-,=. ◆当P=0时，非常有两个相等实数根，==0. ◆当P<0时，因为对任意实数x,都有≥0,所以方程无实数根。 方法二：配方法 1.定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法依据：= 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ◈化二次项系数为1； ◈使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ◈方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为=P的形式； ◈如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解 方法三：公式法 1. 公式法的定义：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). 当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 方法四：因式分解法 1. 因式分解法的定义 将一元二次方程先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现将次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 常用分解方式：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 2.利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ●移项，将方程的右边化为0； ●化积，将方程的左边分解为两个一次式的乘积； ●转化，令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ●求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点五、根的判别式（★★★重难点） 1.判别式定义：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac. 2.实数根判定结论： ① Δ=b2-4ac>0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 ；=,= ②Δ=b2-4ac=0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 即==- ③Δ=b2-4ac<0：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。 3.反向应用：可根据方程根的已知情况，列等式或不等式求解参数范围，解题必须保证a≠0，满足一元二次方程前提。 知识点六、根与系数的关系 1.核心定理结论：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为、，则两根和、两根积满足固定关系：+=-，= ▶适用前提：使用韦达定理必须同时满足两个条件：① a≠0（保证方程为一元二次方程）；②Δ≥0（保证方程存在实数根）。 ★无实数根时，不可使用韦达定理。 知识点七、本章必背公式清单 1.一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0), 2.根的判别式：=b2-4ac, 3.一元二次方程求根公式：x=（Δ≥0） 4. 韦达定理两根和：+=-, 5. 韦达定理两根积：=. ✺题型◆精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 2．一元二次方程的常数项是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键，解题时要注意查看是否是一元二次方程一般形式．一元二次方程的一般形式为（其中），常数项是． 【详解】解：方程中，常数项是． 故答案为：． 3．关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程），解题的关键是要注意一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 2．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 题型3.由一元二次方程的定义求参数 1．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 2．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 3．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 题型4.判断是否是一元二次方程的解 1．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 2．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 3．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 2．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 3．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 题型6.一元二次方程的解的估算 1．根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 2．根据下表可知，方程的一个近似解为________（结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解. 看在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间,哪个离比较近就取哪个值. 【详解】解：根据表格得， 当从增大到时，从下降到． 距近一些， ∴方程的一个近似根是． 故答案为：． 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 题型7.解一元二次方程——直接开平方法 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 2．方程 的解是______． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得． 3．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 题型8.解一元二次方程——配方法 1．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，完成配方后即可判断正确选项． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即． 2．定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 【答案】4或 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 3．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 题型9.配方法的应用 1．已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 2．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 【答案】 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 3．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 题型10.公式法解一元二次方程 1．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 2．定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解． 根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解． 【详解】解：由新定义，得 ， 即 ， 整理得 ． 解此一元二次方程，判别式 ， ， 解得 ，． 故答案为： 或 3．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 题型11.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 2．一元二次方程根的判别式的值是___________． 【答案】44 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程判别式公式，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程的判别式是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程根的判别式的值是：， 故答案为：44． 3．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明： ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【详解】略 题型12.根据一元二次方程根的情况求参数 1．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 2．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 3．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，本题二次项系数为1，已经满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，只需计算判别式后解不等式即可得到结果． 【详解】解：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 该方程二次项系数为，满足一元二次方程定义，只需满足判别式． 计算判别式： 令，可得． 解得． 题型13.因式分解法解一元二次方程 1．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 2．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 题型14.换元法解一元二次方程 1．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的解为或， 解得：； 故选：B． 2．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 3．阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可；   （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ，   故答案为：，； （2）设（m为常数），   将原方程化为①   方程①整理，得 ②   令解得，   当时，，   方程②化为 解得  ，， ，． 题型15.解分式方程（化为一元二次） 1．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 2．在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的整式方程是______________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据换元法将分式方程化为整式方程，即可求解． 【详解】解：分式方程变形得： 根据，得到 分式方程整理得： ， 整理得：， 故答案为：． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．方程两边同时乘去分母化为一元二次方程再求解，最后检验即可得出结果． 【详解】解： 去分母得： 去括号，移项得： ∴ ∴或， ∴，； 检验：当时，； 当时，， ∴分式方程的解为． 题型16.一元二次方程的根与系数的关系 1．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 2．设，是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】先将所求代数式通分变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，最后代入变形后的代数式计算即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得： ， ， ． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 3．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 4．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根的定义与方程的求解．利用方程根的性质化简得到，求解方程得两根后计算出，再代入求出结果． 【详解】∵是方程的根， ∴，即． ∴． 解方程： 判别式， ∴， 得两根，， 故． ∴． 故选：A． 5．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 二、填空题 6．方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 7．用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为__________ 【答案】10 【分析】本题考查配方法解方程，熟练掌握配方法是解题的关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可． 【详解】解：方程，两边加上 9，得，即； 故答案为：10 8．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 9．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，联立不等式求解即可． 【详解】解：由题意，该方程为一元二次方程，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式满足， 解得， 因此的取值范围是且． 10．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 / 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 三、解答题 11．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．先方程两边同乘以可得，再利用因式分解法解一元二次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，不是分式方程的解；是分式方程的解， 所以方程的解为． 12．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据因式分解法解方程即可； 根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 14．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 15．已知：关于x的方程． (1)若，求该方程的解． (2)若是该方程的一个根，求k的值． (3)小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 解：由题意可分为：当时，则方程变为，此时方程有解； 当时， ∵， ∴， ∴方程恒有实数解； 综上所述：无论k取何值，这个方程都有实数解； 即小慧同学的观点正确． 【分析】（1）把代入方程，然后根据因式分解法求解方程即可； （2）把代入方程得，然后求解即可； （3）根据题意可分为当和两种情况进行分类求解． 【详解】（1）解：把代入方程得：， 或， 解得：，； （2）解：把代入方程得， 化简得：， 解得：； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $