暑期预习讲义（第4讲）——一元二次方程基础与配方法解方程（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第4讲）——一元二次方程基础与配方法解方程（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 学习目标 1 课本预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 1. 一元二次方程严格定义（判断必考） 2 2. 方程各项识别注意点 3 3. 直接开平方法（基础速算） 3 4. 配方法万能步骤（中考核心必会） 3 5. 易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】一元二次方程的判断（选择必考） 3 【题型 2】直接开平方法解方程 4 【题型 3】标准配方法解方程（二次项系数为1） 4 四.经典题型精析（巩固提升） 5 【题型 4】二次项系数不为1的配方（中档必考） 5 【题型 5】配方的应用——求最值 5 五.同步自测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一.预习目标与填空 学习目标 1. 掌握一元二次方程的定义、一般形式及隐含限制条件，能准确识别一元二次方程； 2. 熟练掌握直接开平方法解方程，适配平方式结构方程； 3. 吃透配方法完整步骤，能对任意一元二次方程配方变形； 4. 理解配方法原理，为后续求根公式、二次函数顶点式学习铺垫核心基础。 课本预习填空 1. 只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的________方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式为：________（其中________≠0）。 3. 在一般形式中，________是二次项，________是二次项系数；________是一次项，________是一次项系数；________是常数项。 4. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的________，也叫方程的________。 5. 直接开平方法适用形式：形如________或________的一元二次方程，可直接开平方求解。 6. 配方法的核心：通过________，将一元二次方程变形为完全平方式，再用直接开平方法求解。 7. 配方关键：在二次项系数为1的前提下，方程两边同时加上________。 【课本预习填空·标准答案】 1. 一；2；整式 2. ； 3. ；；；； 4. 解；根 5. ； 6. 恒等变形 7. 一次项系数一半的平方 二.教材知识梳理解读 1. 一元二次方程严格定义（判断必考） 必须同时满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）。 核心隐藏条件：一般形式中 ，若，方程退化为一元一次方程。 2. 方程各项识别注意点 ① 整理为一般形式后再判断各项系数； ② 系数包含前面的符号（正负号不可丢）； ③ 常数项可以为0，一次项可以为0。 3. 直接开平方法（基础速算） 适用题型：无一次项、可化为完全平方的方程 解题要点：开平方后必须加正负号，，当有两个不等实根；有两个相等实根；无实数根。 4. 配方法万能步骤（中考核心必会） 步骤口诀：移项→化1→配方→开方→求解 1. 移项：将常数项移到等号右侧； 2. 化1：二次项系数化为1（方程两边同除二次项系数）； 3. 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； 4. 整理：左侧写成完全平方，右侧合并常数； 5. 开方求解：直接开平方法算出两个根。 5. 易错点重磅预警 易错1：判断一元二次方程时忽略的条件 易错2：配方时只给左边加平方数，右边漏加，破坏等式平衡 易错3：二次项系数不为1时，未先化1就直接配方 易错4：开平方时遗漏负根，只算出一个解 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】一元二次方程的判断（选择必考） 【例题1】（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． （1）当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． （2）当为何值时，此方程是一元一次方程？ 【变式1】（24-25九年级上·四川德阳·开学考试）下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． （1）如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； （2）如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【题型 2】直接开平方法解方程 【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）方程的解是__________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【题型 3】标准配方法解方程（二次项系数为1） 【例题3】（25-26九年级上·广东茂名·期末）阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________（填序号）； （2）请你写出正确的解答过程． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【变式3】（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 4】二次项系数不为1的配方（中档必考） 【例题4】（25-26九年级上·北京·阶段检测）用配方法解下列方程 （1） （2） 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）用配方法解方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏固原·期末）用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是______． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． 【题型 5】配方的应用——求最值 【例题5】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）的最大值为________； （2）求的最小值． 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【变式3】（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则________；________． （2）求代数式的最值； 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 2．（25-26九年级上·重庆大足·期末）方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 6．（2025·福建南平·模拟预测）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 9．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·山东淄博·期中）方程的较小实数根为_____． 12．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 15．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 16．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）二次三项式的最小值是_____． 17．（25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 18．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开方法解下列方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程： （1） （2） 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： （1）解方程：． （2）若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． （1）下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； （2）请用小强同学发现的新解法解方程：． 24．（本小题满分12分）（2026·江西赣州·一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第4讲）——一元二次方程基础与配方法解方程（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 学习目标 1 课本预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 1. 一元二次方程严格定义（判断必考） 2 2. 方程各项识别注意点 3 3. 直接开平方法（基础速算） 3 4. 配方法万能步骤（中考核心必会） 3 5. 易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】一元二次方程的判断（选择必考） 3 【题型 2】直接开平方法解方程 5 【题型 3】标准配方法解方程（二次项系数为1） 7 四.经典题型精析（巩固提升） 9 【题型 4】二次项系数不为1的配方（中档必考） 9 【题型 5】配方的应用——求最值 12 五.同步自测 16 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 20 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 24 一.预习目标与填空 学习目标 1. 掌握一元二次方程的定义、一般形式及隐含限制条件，能准确识别一元二次方程； 2. 熟练掌握直接开平方法解方程，适配平方式结构方程； 3. 吃透配方法完整步骤，能对任意一元二次方程配方变形； 4. 理解配方法原理，为后续求根公式、二次函数顶点式学习铺垫核心基础。 课本预习填空 1. 只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的________方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式为：________（其中________≠0）。 3. 在一般形式中，________是二次项，________是二次项系数；________是一次项，________是一次项系数；________是常数项。 4. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的________，也叫方程的________。 5. 直接开平方法适用形式：形如________或________的一元二次方程，可直接开平方求解。 6. 配方法的核心：通过________，将一元二次方程变形为完全平方式，再用直接开平方法求解。 7. 配方关键：在二次项系数为1的前提下，方程两边同时加上________。 【课本预习填空·标准答案】 1. 一；2；整式 2. ； 3. ；；；； 4. 解；根 5. ； 6. 恒等变形 7. 一次项系数一半的平方 二.教材知识梳理解读 1. 一元二次方程严格定义（判断必考） 必须同时满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）。 核心隐藏条件：一般形式中 ，若，方程退化为一元一次方程。 2. 方程各项识别注意点 ① 整理为一般形式后再判断各项系数； ② 系数包含前面的符号（正负号不可丢）； ③ 常数项可以为0，一次项可以为0。 3. 直接开平方法（基础速算） 适用题型：无一次项、可化为完全平方的方程 解题要点：开平方后必须加正负号，，当有两个不等实根；有两个相等实根；无实数根。 4. 配方法万能步骤（中考核心必会） 步骤口诀：移项→化1→配方→开方→求解 1. 移项：将常数项移到等号右侧； 2. 化1：二次项系数化为1（方程两边同除二次项系数）； 3. 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； 4. 整理：左侧写成完全平方，右侧合并常数； 5. 开方求解：直接开平方法算出两个根。 5. 易错点重磅预警 易错1：判断一元二次方程时忽略的条件 易错2：配方时只给左边加平方数，右边漏加，破坏等式平衡 易错3：二次项系数不为1时，未先化1就直接配方 易错4：开平方时遗漏负根，只算出一个解 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】一元二次方程的判断（选择必考） 【例题1】（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． （1）当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． （2）当为何值时，此方程是一元一次方程？ 【答案】（1）一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7；（2）当时，此方程是一元一次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义． （1）将代入，得到，进而根据一元二次方程的定义作答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到且，求解即可． 解：（1）解：当时，方程为， 即， 此时一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7； （2）解：根据题意，得且， 解得且， 即， 当时，此方程是一元一次方程． 【变式1】（24-25九年级上·四川德阳·开学考试）下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析选项即可． 解：A、方程中含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； B、方程中含有和两个未知数，是二元二次方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合要求； D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 【变式2】（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． （1）如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； （2）如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】（1），二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11；（2）或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 解：（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 【题型 2】直接开平方法解方程 【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解. （1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可； （2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可； （3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 解：（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）方程的解是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 解：， 移项得， 两边除以3得， 开平方得， 解得或． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）．． （2）．． 【答案】14． 15． 【分析】本题考查了直接开平方法求解一元二次方程. （1）.先把常数项移到右边，再直接开平方即可求解； （2）.先把方程整理成一般式，再把常数项移到方程右边，直接开平方求解. 解：（1）．解：移项，得， 两边开平方，得， ，． （2）．解：整理为一般式，得， 移项，得， 两边开平方，得， ，． 【题型 3】标准配方法解方程（二次项系数为1） 【例题3】（25-26九年级上·广东茂名·期末）阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________（填序号）； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2），，过程见分析 【分析】本题考查一元二次方程的配方法求解，核心是掌握配方法的规范步骤：移项、化二次项系数为1、等式两边同时加上一次项系数一半的平方、写成完全平方式后开平方求解． （1）分析小王的解题过程，配方时仅在左边加4，右边未同步加4，违反等式的基本性质，因此步骤③开始出错； （2）严格按照配方法的正确步骤逐步计算即可得到方程的解． 解：（1）解：配方法中，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，步骤③仅左边加，右边仍为，未加，因此开始出现错误的步骤是； 故答案为：； （2）解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即， 或， ，． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·期末）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边化为完全平方式，即可得到变形结果． 解：∵， ∴移项得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得：． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 解：， ， ， ∴． 【变式3】（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 解：（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 4】二次项系数不为1的配方（中档必考） 【例题4】（25-26九年级上·北京·阶段检测）用配方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 解：（1）解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． （2）解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）用配方法解方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；（3）配方后将原方程化为的形式，然后用直接开平方的方法解方程． 解：， 在方程两边同时除以，得：，即， 配方，得：， 即． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏固原·期末）用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 解：∵， 移项，得， 系数化为1，得， 配方，得， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查配方法解二次方程的核心步骤：将二次项系数化为→移项→配方→开平方求解，解题关键在于正确找到配方项的系数，并注意运算符号的处理． （1）先移项得，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可； （2）先将方程变形为，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可． 解：（1）解：移项，得， 两边同除以4，得， 配方，得， 即， ， 故答案为：． （2）解：方程变形为， 两边同除以，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， ． 【题型 5】配方的应用——求最值 【例题5】（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决最值问题，如求代数式的最小值，解法如下： 解：原式 ． ∵，， ∴， ∴的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． （1）的最大值为________； （2）求的最小值． 【答案】（1）2；（2）5 【分析】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． （1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 解：（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最大值为2； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为5 ∴的最小值为5． 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 【变式2】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则________；________． （2）求代数式的最值； 【答案】（1），；（2）最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 解：（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级下·江苏常州·期中）方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 解：∵， ∴， 解得，． 2．（25-26九年级上·重庆大足·期末）方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 6．（2025·福建南平·模拟预测）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 解：设， 则原方程为， ． 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，将式子变形为，则可得当时，等式成立，即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当且仅当，，时，即时，等式成立， ∴， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·山东淄博·期中）方程的较小实数根为_____． 【答案】/ 【分析】对方程两边开平方得到两个一元一次方程，求解得到方程的两个根，比较根的大小即可得到较小实数根． 解：对方程两边直接开平方，得 ， 即或， 解得，， ， 方程的较小实数根为． 12．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】， 解： 或 ∴，． 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 解： ， ， ， ， ∴． 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 解： 把代入，得 . 15．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 【答案】 【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为的形式，确定与的值后，计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴，， ∴． 16．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）二次三项式的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方的方法求二次三项式的最值问题，属于常考题型，熟练掌握配方的方法和非负数的性质是解题关键． 先把配方成的形式，然后根据非负数的性质解答即可． 解：， ∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 17．（25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 18．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】本题考查用直接开方法解一元二次方程，直接开方法适用于形如或的方程，核心是将方程转化为完全平方等于非负数的形式，再利用平方根的定义求解． （1）先利用平方差公式展开方程左边，将方程转化为的形式，再直接开平方求解； （2）方程两边都是完全平方的形式，直接对两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可． 解：（1）解：， 原方程化为， 移项，合并同类项，得， 直接开平方得； 所以原方程的根为：或． （2）解：， 两边直接开平方得， ①当时，解得； ②当时，解得； 所以原方程的根为：或． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 得或， 解得； （2）解：  ， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或 ∴解得． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： （1）解方程：． （2）若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】（1）原方程的解为，，；（2）这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 解：（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． （1）下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； （2）请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】（1），，，；（2）， 解：（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 24．（本小题满分12分）（2026·江西赣州·一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 （1）下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 （2）已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 （3）无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 （4）若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 【答案】（1）②③；（2）①；②或；（3）该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米 （4） 【分析】（1）由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可； （2）①根据题意与联立求解即可判断； ②根据①中的二倍点直接写出解集即可； （3）先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断； （4）方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围． 解：（1）解：由题可知二倍点在直线上， ①把代入，得，无解， ∴直线上不存在二倍点； ②把代入，得， 整理，得， 当时，时，， ∴双曲线上存在二倍点； ③把代入， 得整理得， 解得时，， ∴抛物线上存在二倍点； （2）①解：由得， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴该函数的二倍点为； ②或； （3）该抛物线上存在二倍点， ∵无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米， ∴抛物线过点， 将代入，得， ， ， 令， 解得或（舍去）， 此时， ∴该抛物线上存在二倍点，为， 其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米． （4）方法一：由题可知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得． ∵抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， ∵对于任意的常数b恒有两个二倍点， ∴可设关于的方程无解， 解得，即a的取值范围为， 方法二：易知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得， ∵抛物线对于任意的常数b恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， 即，对任意的常数恒成立， ， 令，知是关于的二次函数， 且开口向上，知当时，w有最小值且， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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