第05讲 一元二次方程的解法（知识点+8题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第05讲 一元二次方程的解法（知识点+8题型） 孓内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1解一元二次方程-直接开平方法 题型2解一元二次方程-配方法 题型3根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型4根据一元二次方程根的情况求参数 题型5解一元二次方程-公式法 题型6解一元二次方程-因式分解法 题型7换元法解一元二次方程 题型8解分式方程（化为一元二次） 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握直接开平方法，能解形如×=p(p≥0)和x+n)2=p(p≥0)的一元二次 直接开平方法配方法 方程，理解其依据是平方根的定义。 求根公式公式法因式 2.理解配方法的原理，掌握配方法解一元二次方程的规范步骤，能熟练运用 分解法一元二次方程 配方法解二次项系数为1和不为1的一元二次方程。 解法的选择 3.经历一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式 Xx-b土b-4cb.4ac≥0)，能运用公式法解任意有实数根的一元二次 2a 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程。 4.理解因式分解法解一元二次方程的原理（若ab=0,则a=0或b=0), 能运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式，进而解一元二次 方程。 5.能根据一元二次方程的结构特点，灵活选择最简便的解法，体会“降次” 的转化思想，养成规范解题、检验结果的良好习惯。 学习重点：配方法、公式法、因式分解法三种基本解法，根据方程特点选择合适的解法。 学习难点：配方法的理解与规范应用（特别是二次项系数不为1时的配方），灵活选择一元二次方程 的解法，因式分解法中对多项式的准确因式分解。 02 教材全解 知1识|框1架 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程 只含一个未知数 核心三要素O一 未知数最高次数为2 是整式方程 二次项：ax2,二次项系数：a 一次项：bx,一次项系数：b 元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 常数项：c 注意：a≠0是定义的重要组成部分 知|识|精|讲 知识点01直接开平方法 适用形式：能化成x2=p或mx+n}=p(p≥0)形式的一元二次方程 解法步骤： 把方程化为左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数 两边同时开平方，转化为两个一元一次方程 解一元一次方程得到原方程的根 数学语言： 若x2=p(p≥0)，则x=±Vp 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若(mx+n2=p(p≥0)，则mx+n=±Vp 即时即练 1.小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程xx+4=6. 解：原方程可变形得 |x+2-2x+2+2=6. x+22-22=6, x+22=6+22, x+22=10. 直接开平方并整理，得x1=-2+10,x2=-2-V10 我们称小明这种解法为“平均数法”. 请用“平均数法”解方程：X-5x+3=6, 【易错提醒】 开平方时必须写±号，否则会丢失一个根 当p<0时，方程没有实数根，不要强行开平方 完全平方式展开错误，如把(x-2=9错误写成x-2=3,漏掉x-2=-3的情况 知识点02 配方法 通过配方把一元二次方程转化为x+m)尸=n的形式，再用直接开平方法求解的方法 解法步骤： 移项：把常数项移到方程右边 化1：二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数） 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 变形：左边写成完全平方式，右边合并同类项 开方：两边同时开平方 求解：解两个一元一次方程 数学语言： 对于ax+bx+c=0(a≠0) 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+b x=-C a 2a =b-4ac (x+2a 4a 即时即练 2.用配方法解方程x2-4x+1=0时，将原方程转化为x+m=n的形式可得· 【易错提醒】 二次项系数不为1时，所有项都要除以二次项系数，常数项不能漏除 配方时必须在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，只加左边会导致等式不成立 一次项系数一半的平方计算错误，如一次项系数为3，错误加32=9，正确应为(3/2)ˆ2=9/4 知识点03 公式法 求根公式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当△=b2-4ac≥0时，它的根是 X=b±b-4ac 2a 解法步骤： 把方程化为一般形式ax2+bx+c=0 确定a、b、c的值（注意符号） 计算判别式△=b2-4ac的值 若△≥0，代入求根公式求解；若△<0，方程没有实数根 教材重要概念：判别式△=b2-4ac △>0：方程有两个不相等的实数根 △=0：方程有两个相等的实数根 △<0：方程没有实数根 即时即练 3.解方程： (1)x2-2x=5: (2)x2-X-1=0. 4/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 必须先将方程化为右边为0的一般形式，否则a、b、c的符号会判断错误 代入公式时，b前面有负号，如b=-5时，-b=5,容易符号出错 忘记先计算判别式，当△<0时仍强行代入公式求解 分母2a容易漏写，或写成a 知识点04 因式分解法 原理：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，即若ab=0,则a=0或b=0 适用形式：方程左边能分解为两个一次因式的乘积，右边为0 解法步骤： 移项：将方程右边化为0 分解：把方程左边分解为两个一次因式的乘积 降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根 常用分解方法：提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法 即时即练 4.用合适方法解下列方程： 1)2x2-8x=0: (2)x2-x=6. 【易错提醒】 必须先使方程右边为0，才能进行因式分解 解方程时不能直接约去含未知数的因式，否则会丢失根（如x(x2)=x,不能直接约去x) 因式分解不彻底，如把x2-4分解为(x-2)(x+2),而不是只分解到x2-4 分解因式时符号错误，如把x2-2x+1错误分解为(x+1)2 03 题型突破 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型1解一元二次方程直接开平方法 【例1】解一元二次方程x+22=4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2=2, 则另一个方程为() A.X-2=-2 B.x+2=-2 C.X-2=2 D.X+2=2 【技巧归纳】 1. 适用方程：形如x+m)2n、ax2=c（ac≥0) 2. 开方后必有两个解：x+m=±√n,绝对不能丢负号 3. 若n<0,方程无实数根 4. 易错点：开方后漏写“±”，导致少一个解 【变式1-1】 1.一元二次方程x2-4=0的根是() A.X1=2,X2=0 B.X1=-2,X2=4 C.X1=0,X2=4 D.X1=2,X2=-2 【变式1-2】 2.解方程： (1)3x-12-27=0: (2)x2-6x-4=0. 题型2解一元二次方程配方法 【例2】(1)x2+10x+=(x+ 【技巧归纳】 1. 通用四步：化1→移项→配方→开方 2. 核心步骤：两边同时加一次项系数一半的平方 3. 优先将二次项系数化为1，简化配方计算 4.易错点：只在左边加常数，忘记右边也加相同的数 【变式2-1】 1.把一元二次方程x2-8x-7=0配方转化成x+mP+n=0的形式，正确的结果是() A.x-42-23=0B.x+42-23=0C.(x+42-7=0D.x-4}-7=0 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】 2.王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终 求出方程的解，过程如图所示， 2x2+8c-4=0 x2+4x=2 (x+2)2=2 x+2=W2 1=-2+2x2=-22 王老师 名 丙 上述求解过程中，错误的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 题型3根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例3】关于x的一元二次方程x2-mx-1=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【技巧归纳】 1. 先将方程化为一般式ax^2+bx+c=0,确定a,b,c(注意符号) 2 △>0→两个不相等的实数根 3.△=0一两个相等的实数根 4. △<0→没有实数根（不是没有根） 【变式31】 1.已知x2+2mx+m2-1=0是关于x的一元二次方程，其中m为实数，关于该方程根的情况，下列判断正 确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 【变式3-2】 2.对于方程x-3x+2=-1,嘉嘉说“其中一个解是X=1”,琪琪说“此方程有两个实数根且和为3”，珍 珍说“此方程无实数根”，判断下列结论正确的是() A.嘉嘉说得对B.琪琪说得对 C.珍珍说得对 D.三名同学说法都不对 题型4根据一元二次方程根的情况求参数 【例4】如果关于x一元二次方程2x2+3X+m=0有两个不相等的实数根，那么实数的取值范围为 () 7/17 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.m>9 B.m>8 8 c.m<9 8 D.m= 【技巧归纳】 第一步：保证是一元二次方程一二次项系数a≠0（最易遗漏） 第二步： 1.有两个不相等实根→△>0且a≠0 2.有两个实数根-△≥0且a≠0 3.没有实数根→△<0且a≠0 若题目只说“有实数根”，需单独讨论a=0(一元一次方程)的情况 【变式41】 1.若关于x的一元二次方程x-6x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为() A.m>-9 B.m<-9 C.m>9 D.m<9 【变式42】 2.若关于x的一元二次方程-x2+3x+c=0有两个实数根，则实数c的取值范围是() Ac2号 C.c<- 9 D.c>.9 4 题型5解一元二次方程-公式法 【例5】对于一元二次方程ax2+2cx+b=0(a≠0)，若满足a2+b2=c2,则我们把这样的一元二次方程 称为“勾系一元二次方程”· (1)当a=3,b=4,C>0时，求相应的“勾系一元二次方程”的根： (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”x+2cx+b=0必有实数根. 【技巧归纳】 1. 求根公式：x=(-b±√b2-4ac)/2a(a≠0，△≥0) 2.步骤：化一般式→算△→代入公式 3.先算△，若△<0直接写“无实数根”，无需代入公式 4. 易错点：分子的“-b”符号错误，分母漏乘2 【变式51】 1.已知关于x的一元二次方程4x2=4mx+n2-m2 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)讨论该一元二次方程实数根的情况： (2)当=1时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于4的正整数，求出满足条件 的所有m的值；若没有，请说明理由. 【变式52】 2.若记方程x2-2X-2=0的两个不相等的实数根为X1,X2X1>X2,则X1-X2的值为() A.43 B.2V3 C.4 D.2 题型6解一元二次方程·因式分解法 【例6】一元二次方程x2+mx-6=0的一个根为-2，则另一个根是() A.3 B.-2 C.1 D.0 【技巧归纳】 1. 前提：方程右边必须是0 2. 常用分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法 3. 优点：计算最快，优先使用 4. 易错点：右边没化为0就分解，或分解不彻底导致漏解 【变式61】 1.已知点Pm-3,4,根据下列条件求点m的值。 1)点P在y轴上： (2)点P到原点的距离为5. 【变式62】 2.解方程： 1)x2-4x=0: 2)x2-4x-5=0. 题型7换元法解一元二次方程 【例7】若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0a<0的两根为X1=1,x2=3,则关于x的一元二次方程 ax-2?+bx+c=2ba<0的解为 【技巧归纳】 1. 适用情况：方程中出现相同的整体或倒数关系（如x+1/x) 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. 步骤：设元→换元→解新方程→回代求原未知数 3. 常见换元：设yx2、yx+m、yx+1/x 4. 易错点：忘记回代，或回代后漏解 【变式7-1】 1.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0的根为X1=2025,x2=1,则一元二次方程 ax-12+bx-b=-2的根为 【变式7-2】 2.关于x的方程ax+m2+b=0的根是X1=5,x2=-6(a,b,m均为常数且a≠0)，则关于x的方程 ax2+2a2-mx+am-2+b=0的所有实根之和是 题型8解分式方程（化为一元二次） 2.1 【例8】解分式方程：x+1+x-11. 【技巧归纳】 1. 步骤：找最简公分母→两边同乘公分母去分母→解整式方程→检验 2.检验方法：将解代入最简公分母，若为0则是增根，必须舍去 3. 去分母时，常数项也要乘最简公分母 4. 最终结果要写“原方程的解为”，增根要注明“舍去” 【变式81】 1.解方程： X-2=3 xx+2 【变式82】 1 -1+1 2.解方程x-1xx-1 的步骤如下： 方程左右两边同乘xx-1,x2=xx-1+1① 去括号，得x2=x2-x+1② 移项，得x2-x2+X=1③ 合并同类项，得x=1④ 经检验，原分式方程无解. 10117 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 以上解方程的过程中，错误的一步是() A.① B.② C.③ D.④ 04过关检测 一、单选题 1.一元二次方程x2-x=0的两个实数根为X1和X2,则代数式x1+X2的值为() A.1 B.2 C.0 D.-1 2.方程x-2?=0的根为() A.X=0 B.X=±2 C.X1=X2=-2 D.X1=X2=2 3.一元二次方程x-4x+2=0的根的情况是() A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个不相等实数根 D.无法判断 10,时() 4.己知：1- 1 A.2 B.1 c.2 5.已知关于x的一元二次方程2x2+kx-6=0的一个根是2，则它的另一个根是() A.-3 B.3 c.2 D.2 6.已知关于x的方程x-2x-3k=0有实数根，则k的取值范围是（) Ak月 B,k昌 G.k Dk≤号 7.若关于x的一元二次方程x-1x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 8.若关于x的一元二次方程x2-2x+2m-1=0有两个相等的实数根，则实数m的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 9.用配方法解方程：x2+10X-24=0时，经过配方后正确的是() A.x+5P=24 B.x-5=1 C.x+52=49 D.x-52=49 10.已知实数m,n满足m2+n22-2m2+n2）-15=0,则m2+n2的值为() A.3 B.5 C.5或3 D.-3或5 11/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.若矩形ABCD的一条对角线长为10，边CD的长是方程x2-3x-40=0的一个根，则该矩形ABCD的 周长为() A.36 B.10+10/3 C.28 D.30 12.对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列判断正确的是() A.若x=c是该方程的一个根，则一定有ac+b+1=0成立： B.若a+c=b,则方程ax+bx+c=0有一根为X=1; C.若该方程的解为x=2和x号测方程C-bx+a=0的解是X=3或x弓 1 D.当a<0,b+c>0,b-c<0时，方程一定有实数根： 13.若关于x的一元二次方程a-3x-6x-2=0有实数根，则a的取值范围为() A.a≥.3 2 B.a≠3 3 3 c.a>且a3 D.a≥-2且a≠3 14.定义：m*n=m2+mn+1,例如：2*1=2+2×1+1=7，则关于x的方程x*2=0的根的情况是 () A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 15.若关于x的一元二次方程mx2+n=0的一个根为1，则方程mx+32+n=0的根是() A.-1或1 B.-1或-2 C.-2或-4 D.1或4 16.设x,y为实数，且满足就，则x+y=(). A.1 B.-1 C.2 D.-2 17.已知两个多项式A=x2+aX+b,B=x2+2X+c,a,b,c均为正整数，x为实数.下列说法： ①若b=1,则存在实数x使得A+B=0: ②若a=C,关于X的方程A=B有唯一解，这个解为x=0; ③若m=a+1,n=b+c+1,mn+m+n=20,则满足条件的多项式B共有4个. 其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 18.对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，下列说法中正确的是() ①若a+c=b,则方程ax+bx+c=0有一根为x=-1: ②若方程ax+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax+bx+c=0必有两个不相等的实数根； ③若x=c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立： 12117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④若b=2a+3c,则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根 A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 19.己知整式M:anx+an-1x-1+…+a1X+a0,其中a,an-1,…a2,a1,a为互不相等的非负整数， 且an>an-1>…>a1>ao,若k=a7+a元1+…+a+a,且k为奇数.下列说法： ①当n=1,Q1=3,满足条件的整式有2个： 5 ②若n=2,k=21,则M有最小值为4： ③当n=2,Qn≤3时，若M能被x+2整除，则满足条件的所有整数x之和为16. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 1.方程x-3=16的根是 2.将方程x2+6x+1=0配方成(x+m2+n=0的形式，则m+n= 3.若关于x的一元二次方程x-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 4.如果关于y的一元二次方程(y-2P+3=k有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 5.若关于x的一元二次方程(x-2(x-m)=0的一个根是10，则另一个根是 6.方程x=-x的根是 7.已知等腰直角三角形，其斜边长为一元二次方程x-2X-8=0的一个根，则该等腰直角三角形的直角边 长为 8.方程x-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 a b 9.将4个数a,b,C,d排成2行2列，两边各加一条竖直线记 ed定义 ab=ad-bc,上述记 d x+2X-2=10,则x= 号就叫作2阶行列式，若2-XX+2 10.若关于x的一元二次方程a+1x2+3x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是」 1.若关于X的方程kX-3x-9=0有实数根，则实数k的取值范围是 4 12.阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当a>0时， +2≥2 a 13117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :当且仅当a=后 1 即a=1时，a+二取得最小值，最小值为2 Q 请利用以上结果解决下面的问题： 若a>0,则2a+3a+4 的最小值为 13.将方程x2-2x-1=0化成x+a2=b(a,b为常数)的形式，则a+b2026= 14.小瑞同学设计了一种运算程序：输入正整数m,则输出另一个正整数n.具体程序如下：①若m为偶数， 侧输出n=)：②若m为奇数，则输出n=m+1.对正整数m进行一次输入和输出称为对m的一次变换，飞 第一次输出的n再次输入和输出则称为对m的二次变换，依此类推.例如，输入正整数m=6,根据6是偶 敛，对6进行一次变换输出的数为3，将3再次输入，根据3是奇数，对6进行二次变换后输出的数为 3+1=4」 (1)若输入正奇数m进行二次变换后输出的数为15，则满足条件的m的值为， (2)己知输入正整数k,若对k进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为18，则正整数k的值 为 15.对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法正确的是 ①若4a+2b+c=0,则b2-4ac≥0： ②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax+c=0必有两个不相等的实数根： ③若2026是方程aX+bx+c=0的一个根，则2026一定是cX+bx+Q=0的-个根， ④若x是一元二次方程aX2+bx+c=0的根，则b2-4ac=2aX+b. 16.项目式学习：我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.“杨辉三角” 的构造法为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和.事实上，这个三角形给出了 a+b”(n为正整数)的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.如图，图中的第n行对 应a+b”的展开式，如在第2行的三个数1,2,1，恰好对应a+b=a2+2ab+b展开式中各项的系数： 第3行的四个数1,3,3,1，恰好对应着a+b3=a3+3ab+3ab2+b3展开式中各项的系数.定义C, 代表第n行第k+1个系数(k为自然数，且k≤n)· 14117 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第 第1行： 第2行： 第 第3行： 第4行： 第5行： 1- … ①)根据上面的规则，结合系数表规律，则C= C= ；由系数表规律可推测第一斜列 (每一行的第1个系数组成第一斜列，以此类推)中C= ,第二斜列中C (2)当n大于1，每个系数均为其上方右边和左边两系数之和，现研究第三斜列规律：完成填空，即C=1: C3=C+C2=1+2=3C1=C+C3=3+3=6可以看成 +3=6: C号=C+C}=6+4=10可以看成+++4=10：…由此可以得出C=: 3)在(2)的条件下，若Cm是其右上方系数的。倍(m>1)，则m的值为 三、解答题 1.以下是小明在解方程x+4(x-3=3-x时的解答过程， 解：原方程可化为x+4川x-3=-x-3, 两边同除以x-3,得：x+4=-1 解得：x=-5 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程. 2.【阅读材料】 解方程：x4-5x2+4=0, 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,则x4=y, 于是原方程可转化为：y-5y+4=0, 解得：y1=1,y2=4 当y=1时，x2=1,所以x=±1： 当y=4时，x=4,所以X=±2， 所以原方程有四个根：X1=1,X2=-1,X3=2,X4=-2, 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的日的，体现了转化的数学思想. 【解决问题】 15117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)在解方程(x2+x2-4x2+x-12=0时，若设y=x2+X,则原方程可转化为 ,解得原方程的根为 2)若(m2+n2-3)川m2+n2+3)=8,则m2+n2=: ⊙)李照上面解题的总想方法解方程：（产2'-6X之+9-0 3.下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务， 解方程：x-3-3x-3=0, x-32=3x-3第一步 X-3=3第二步 X1=X2=6第三步 (1)任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是：②第步开始出现错误，错误的 原因是； (2)任务二：请你写出该方程正确的解法. 4.已知：关于x的方程mx+m-3x-3=0m≠0. (1)求证：方程总有两个实数根： (2)如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值. 5.已知一元二次方程ax+bx+c=0a≠0. 3b+c 1)若x=3是方程的一个根，求30的值. (2)若方程有两个相同的实数根，且b-ac=-1,求b的值. 6.解一元二次方程： g0. (2)x-22=25: 3)x+6x-7=0(用配方法解)： (4)2x2-3X=4（用公式法解). a2-4a+4 a"-a 1)化简分式M； (2)若关于X的方程x-2x+a-2=0有两个实数根，且a为正整数，求分式的M值 x2-4x+4. ,4 8.先化简，再求值： X- 其中X满足x2+2x-8=0且x≠±2. x2-2x X 16117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.解方程 3 2- x-32x-1 (2)x2-x=-2 10.计算与解方程： (1)计算： 1÷-1 1 x: (2)解方程：x2+2x-1=0. 11.我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解 法，用“拼”的方法完成了配方，例如：x2+2x-24=0,可以变形为Xx+2=24,用四个长为X+2、宽 为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正 方形的面积可以得到x+x+22=4×24+2 x+2 24 24 x+2 22 x+2 24 24 X x+2 【模仿实践】(1)用“拼”的方法解方程x2+5x-14=0,先变形为 每个小长方形的长为 宽为 小正方形的面积为 【深入探究】(2)用“拼”的方法解方程2x2+5x=3,写出解题过程 12已知△ABC的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程×-2k+1x+4k~引=0的 两个实数根， (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根： (2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长， 13.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0. (1)判断方程根的情况： (2)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角 形，并求出△ABC的面积. 17117 第05讲 一元二次方程的解法（知识点+8题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解一元二次方程-直接开平方法 题型2 解一元二次方程-配方法 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数 题型5 解一元二次方程-公式法 题型6 解一元二次方程-因式分解法 题型7 换元法解一元二次方程 题型8 解分式方程（化为一元二次） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直接开平方法配方法求根公式公式法因式分解法一元二次方程解法的选择 1. 掌握直接开平方法，能解形如x2=p(p≥0)和(x+n) 2=p(p≥0)的一元二次方程，理解其依据是平方根的定义。 2. 理解配方法的原理，掌握配方法解一元二次方程的规范步骤，能熟练运用配方法解二次项系数为1和不为1的一元二次方程。 3. 经历一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式()，能运用公式法解任意有实数根的一元二次方程。 4. 理解因式分解法解一元二次方程的原理（若ab=0，则a=0或b=0），能运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式，进而解一元二次方程。 5. 能根据一元二次方程的结构特点，灵活选择最简便的解法，体会“降次”的转化思想，养成规范解题、检验结果的良好习惯。 学习重点：配方法、公式法、因式分解法三种基本解法，根据方程特点选择合适的解法。 学习难点：配方法的理解与规范应用（特别是二次项系数不为1时的配方），灵活选择一元二次方程的解法，因式分解法中对多项式的准确因式分解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01直接开平方法 适用形式：能化成或（）形式的一元二次方程 解法步骤： 把方程化为左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数 两边同时开平方，转化为两个一元一次方程 解一元一次方程得到原方程的根 数学语言： 若（），则 若（），则 即时即练 1．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形得 ． ， ， ． 直接开平方并整理，得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【答案】 【分析】将原方程整理为，依据平方差公式可得，再整理，并开方可得答案． 【详解】解：， 原方程变形，得 由平方差公式，得， 即， 开方，得， ∴． 【易错提醒】 开平方时必须写号，否则会丢失一个根 当时，方程没有实数根，不要强行开平方 完全平方式展开错误，如把错误写成，漏掉的情况 知识点02 配方法 通过配方把一元二次方程转化为的形式，再用直接开平方法求解的方法 解法步骤： 移项：把常数项移到方程右边 化1：二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数） 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 变形：左边写成完全平方式，右边合并同类项 开方：两边同时开平方 求解：解两个一元一次方程 数学语言： 对于（） 即时即练 2．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【答案】 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 【易错提醒】 二次项系数不为1时，所有项都要除以二次项系数，常数项不能漏除 配方时必须在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，只加左边会导致等式不成立 一次项系数一半的平方计算错误，如一次项系数为3，错误加3^2=9，正确应为(3/2 )^2=9/4 知识点03 公式法 求根公式：对于一元二次方程（），当时，它的根是 解法步骤： 把方程化为一般形式 确定、、的值（注意符号） 计算判别式的值 若，代入求根公式求解；若，方程没有实数根 教材重要概念：判别式 ：方程有两个不相等的实数根 ：方程有两个相等的实数根 ：方程没有实数根 即时即练 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ∴， 解得：，． 【易错提醒】 必须先将方程化为右边为0的一般形式，否则a、b、c的符号会判断错误 代入公式时，b前面有负号，如b=-5时，-b=5，容易符号出错 忘记先计算判别式，当Δ<0时仍强行代入公式求解 分母2a容易漏写，或写成a 知识点04 因式分解法 原理：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，即若，则或 适用形式：方程左边能分解为两个一次因式的乘积，右边为0 解法步骤： 移项：将方程右边化为0 分解：把方程左边分解为两个一次因式的乘积 降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根 常用分解方法：提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法 即时即练 4．用合适方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： ∴或 ∴． 【易错提醒】 必须先使方程右边为0，才能进行因式分解 解方程时不能直接约去含未知数的因式，否则会丢失根（如x(x-2)=x，不能直接约去x） 因式分解不彻底，如把x^2-4分解为(x-2)(x+2)，而不是只分解到x^2-4 分解因式时符号错误，如把x^2-2x+1错误分解为(x+1)^2 题型1 解一元二次方程-直接开平方法 【例1】解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 【技巧归纳】 1. 适用方程：形如(x+m)^2=n、ax^2=c（ac≥0） 2. 开方后必有两个解：x+m=±√n，绝对不能丢负号 3. 若n<0，方程无实数根 4. 易错点：开方后漏写“±”，导致少一个解 【变式1-1】 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 【变式1-2】 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得． 题型2 解一元二次方程-配方法 【例2】（1）____________；（2）____________． 【答案】 25 5 【详解】解：（1）， （2）． 【技巧归纳】 1. 通用四步：化1→移项→配方→开方 2. 核心步骤：两边同时加一次项系数一半的平方 3. 优先将二次项系数化为1，简化配方计算 4. 易错点：只在左边加常数，忘记右边也加相同的数 【变式2-1】 1．把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，对比选项即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 配方得， 整理得 ， 【变式2-2】 2．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例3】关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 【技巧归纳】 1. 先将方程化为一般式ax^2+bx+c=0，确定a,b,c（注意符号） 2. Δ>0→两个不相等的实数根 3. Δ=0→两个相等的实数根 4. Δ<0→没有实数根（不是没有根） 【变式3-1】 1．已知是关于的一元二次方程，其中为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式3-2】 2．对于方程，嘉嘉说“其中一个解是”，琪琪说“此方程有两个实数根且和为3”，珍珍说“此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（    ） A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算判别式判断方程根的情况，即可得到正确结论． 【详解】解：整理原方程，将移项得一般形式：， 这里，，， ， 方程无实数根，珍珍的说法正确． 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数 【例4】如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个不相等的实数根，则判别式，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得. 【技巧归纳】 第一步：保证是一元二次方程→二次项系数a≠0（最易遗漏） 第二步： 1. 有两个不相等实根→Δ>0且a≠0 2. 有两个实数根→Δ≥0且a≠0 3. 没有实数根→Δ<0且a≠0 若题目只说“有实数根”，需单独讨论a=0（一元一次方程）的情况 【变式4-1】 1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此计算即可得到的范围. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得. 【变式4-2】 2．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得． 题型5 解一元二次方程-公式法 【例5】对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1)， (2)证明：是勾系一元二次方程， ，   ， ， ， ∴关于的勾系一元二次方程必有实数根． 【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，再解一元二次方程即可； （2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，然后利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是勾系一元二次方程，且，， ． ， （负舍），   ∴原方程为：．   ， ， ，． （2）略． 【技巧归纳】 1. 求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a（a≠0，Δ≥0） 2. 步骤：化一般式→算Δ→代入公式 3. 先算Δ，若Δ<0直接写“无实数根”，无需代入公式 4. 易错点：分子的“-b”符号错误，分母漏乘2 【变式5-1】 1．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根； (2)有，所有的值为：，， 【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可． （2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：， 方程化为一般式：， ∴， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根； （2）解：当时，，方程有两个不相等的实数根， ∵， 解得：， ∵这两个根都是不大于的正整数， ∴，， 解得． 又∵这两个根都是正整数， 为的倍数， 的值为，，． 【变式5-2】 2．若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 题型6 解一元二次方程-因式分解法 【例6】一元二次方程 的一个根为，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的定义，先把代入一元二次方程 中，求出参数，再解这个一元二次方程，即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入原方程中，得 ， 化简得 ， 解得， 将代入原方程中，得， 对左边因式分解得， 解得，， 因此方程的另一个根为． 【技巧归纳】 1. 前提：方程右边必须是0 2. 常用分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法 3. 优点：计算最快，优先使用 4. 易错点：右边没化为0就分解，或分解不彻底导致漏解 【变式6-1】 1．已知点，根据下列条件求点的值． (1)点在轴上； (2)点到原点的距离为5． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据轴上点的横坐标为0列方程求出的值即可； （2）根据两点间距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得：； （2）解：∵点到原点的距离为5， ∴， 即， 整理得：， 解得：． 【变式6-2】 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程左边可提取公因式，通过因式分解法求解； （2）方程左边可利用十字相乘法因式分解，也可用配方法或公式法求解，因式分解法更简便． 【详解】（1）解：提取公因式，得 ， 有或， 解得：． （2）解：因式分解，得 ， 有或， 解得：． 题型7 换元法解一元二次方程 【例7】若关于x的一元二次方程的两根为，则关于x的一元二次方程的解为______ 【答案】 【分析】将所求方程变形为关于的一元二次方程，结合原方程的根，即可求出所求方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则方程化为， 由已知得，一元二次方程的两根为，， 即或 分别解得，． 【技巧归纳】 1. 适用情况：方程中出现相同的整体或倒数关系（如x+1/x） 2. 步骤：设元→换元→解新方程→回代求原未知数 3. 常见换元：设y=x^2、y=x+m、y=x+1/x 4. 易错点：忘记回代，或回代后漏解 【变式7-1】 1．若关于x的一元二次方程 的根为，，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 【变式7-2】 2．关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【答案】 【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程的两个实根即可解答． 【详解】解：对方程进行整理： ， 配方得： ， 变形得： ， 令，则原方程变为， 已知方程的根为，， 因此，， 即或 解得，， 所有实根之和为． 题型8 解分式方程（化为一元二次） 【例8】解分式方程：． 【答案】和 【分析】首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出，，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【详解】解：， 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 经检验，和均为方程的解， 方程的解为：、． 【技巧归纳】 1. 步骤：找最简公分母→两边同乘公分母去分母→解整式方程→检验 2. 检验方法：将解代入最简公分母，若为0则是增根，必须舍去 3. 去分母时，常数项也要乘最简公分母 4. 最终结果要写“原方程的解为...”，增根要注明“舍去” 【变式8-1】 1．解方程： 【答案】或． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并整理得：， 因式分解得：， 解得或， 检验：当时，； 当时，； 所以原方程的解是或． 【变式8-2】 2．解方程的步骤如下： 方程左右两边同乘，① 去括号，得② 移项，得③ 合并同类项，得④ 经检验，原分式方程无解． 以上解方程的过程中，错误的一步是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】按照解分式方程的步骤去分母解法，需要验证每一步计算是否正确，找出错误步骤． 【详解】解：原方程为， ∴公分母为， 当方程两边同乘时，左边，右边为 ， 去分母后正确结果应为 ， 而题干步骤①的变形结果为，与正确结果不符，故步骤①出错， 出错步骤是①． 一、单选题 1．一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（     ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】可通过因式分解法求出方程的两个根，再计算两根之和得到结果． 【详解】解：∵原方程为：对左侧因式分解得： ， ∴或， ∴方程的两个实数根为：， ∴ ． 2．方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 3．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式与0的大小关系判断根的情况，规则为时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程无实数根． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项， ， 方程有两个不相等的实数根． 4．已知：，则等于（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式因式分解求解即可． 【详解】解：令，则原方程为 ， ∴， ∴， 解得，即． 5．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程求出参数k的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得 ，化简得， 解得， 原方程为，对方程左边因式分解得， 解得或， 因此方程的另一个根为． 6．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， 解得． 7．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判别式的值为0，解方程即可求出的值. 【详解】解：展开得， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（     ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程的系数列方程即可求解的值. 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得 . 9．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 10．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 11．若矩形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该矩形的周长为（     ） A．36 B． C．28 D．30 【答案】C 【分析】先解一元二次方程得到边长的可能值，舍去负根得到的长，再利用矩形四个角为直角的性质，结合勾股定理求出邻边长，最后计算矩形周长即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ， 解得或， ∵边长为正数， ∴， ， 在中， ， ∴矩形的周长为； 12．对于一元二次方程，下列判断正确的是（    ） A．若是该方程的一个根，则一定有成立； B．若，则方程有一根为； C．若该方程的解为和x，则方程的解是或 D．当，，时，方程一定有实数根； 【答案】D 【分析】A．将代入方程判断即可； B．将变为，将代入方程可得，即方程有一根为； C．根据解为和可将原方程化为，展开后可知，，代入求解即可； D．根据不等式的性质得到，则，判断判别式的正负即可． 【详解】解：对选项A：∵是方程的根，代入方程得，整理得，∴或，并非一定满足，故A错误． 对选项B：∵，移项得，将代入方程得，∴方程有一根为，不是，故B错误． 对选项C：∵原方程的解为和，则原方程可写为，展开得，即，，代入新方程得：，，整理得，解得或，与选项结论不符，故C错误． 对选项D：∵，，∴，可得，又∵，∴，方程判别式，∴方程一定有实数根，故D正确． 13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：由题意可知：且， 且 14．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 15．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 16．设，为实数，且满足，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，，得，由①②得，再运用立方和公式进行因式分解，对每个分解的式子进行判断，即可推出，即可求解． 【详解】设，，得， 由①②得：， ， ， ∵， ∴， ∴，即． 17．已知两个多项式，，均为正整数，为实数．下列说法： ①若，则存在实数使得； ②若，关于的方程有唯一解，这个解为； ③若，，，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】分别对三个说法，利用一元一次方程解的性质，一元二次方程根的判别式，因式分解求正整数解，逐一判断即可得到正确个数． 【详解】解： ① 根据题意，得： 当时， ， 若存在实数使，需判别式 取正整数，得 ，此时不存在满足条件的，故①错误； ② 当时，整理方程得： 若方程有唯一解，则，此时，仅当时，不是所有情况都满足，例如 时，，故②错误； ③ 对等式，变形因式分解得： 均为正整数， ， ，即， 21的正整数分解中符合条件的只有，： 可得 ， 为正整数，正整数解为，，，共4组，对应4个不同的多项式 ，故③正确； 综上，正确的说法共1个，故选B． 18．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 19．已知整式：，其中，，…，，为互不相等的非负整数，且，若，且为奇数．下列说法： ①当，，满足条件的整式有个； ②若，，则有最小值为； ③当，时，若能被整除，则满足条件的所有整数之和为． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给定条件，结合平方的奇偶性，依次判断三个说法的正误即可求解． 【详解】解：①当，时， ，为非负整数， 可取， 为奇数， 为偶数，即为偶数， ∴符合条件的为，共个， ∴满足条件的整式有个，故①正确； ②当，时，即，，为互不相等的非负整数， ，， ， 若，则，仅符合条件，得，配方得，最小值为，故②错误； ③当，， ∵，时， ∴所有符合条件的系数组合为，即或， ∵，，能被整除， ∴分别是与的因数， ∴或，或或或， 解得，，，，，，，，，，，， ∴满足条件的所有整数之和为，故③错误； 综上，说法正确的个数是． 二、填空题 1．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 2．将方程配方成的形式，则_________． 【答案】 【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为的形式，确定与的值后，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴，， ∴． 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根时根的判别式等于，列出方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 解得． 4．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 5．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 6．方程的根是_______． 【答案】， 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． 7．已知等腰直角三角形，其斜边长为一元二次方程的一个根，则该等腰直角三角形的直角边长为______． 【答案】 【分析】先求解给定的一元二次方程，舍去负根得到等腰直角三角形的斜边长，再利用勾股定理计算直角边长即可． 【详解】解：解一元二次方程， 因式分解得， 解得， 三角形的边长为正数， 该等腰直角三角形的斜边长为， 设该等腰直角三角形的直角边长为，且， 根据勾股定理可得， 整理得，即， ， ， 故该等腰直角三角形的直角边长为． 8．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 【答案】10 【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否成立，最后计算周长即可. 【详解】解： 因式分解得 解得 ； 若为腰，2为底，三角形三边长为，因为，满足三角形三边关系，此时周长为， 若为底，2为腰，三角形三边长为，，不满足三角形三边关系，故舍去. 综上：这个等腰三角形周长是10. 9．将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫作2阶行列式，若，则________． 【答案】 【分析】根据新定义先化简方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得． 10．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得； ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 综上，实数的取值范围为且． 11．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，当时方程为一元一次方程，当时方程为一元二次方程，利用根的判别式求解，再综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程化为，是一元一次方程，有一个实数根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， 方程有实数根， 根的判别式， 代入得， 解得，此时且． 综合可得，实数的取值范围是． 12．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】依据题意，先化成材料中的例子的形式，再仿照材料中的例子，即可求得答案． 【详解】解：， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 13．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 14．小瑞同学设计了一种运算程序：输入正整数，则输出另一个正整数．具体程序如下：①若为偶数，则输出；②若为奇数，则输出．对正整数进行一次输入和输出称为对的一次变换，对第一次输出的再次输入和输出则称为对的二次变换，依此类推．例如，输入正整数，根据6是偶数，对6进行一次变换输出的数为；将3再次输入，根据3是奇数，对6进行二次变换后输出的数为． （1）若输入正奇数进行二次变换后输出的数为15，则满足条件的的值为______， （2）已知输入正整数，若对进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为18，则正整数的值为______． 【答案】 29 5或12 【分析】本题考查了解一元二次方程等知识，注意：两个奇数之和为偶数，奇数和偶数之和为奇数． （1）依据题干计算方法计算即可； （2）分正整数为奇数或者偶数来讨论，第一次变换的结果再分奇数或者偶数两种情况讨论，计算即可作答． 【详解】解：（1）正奇数进行第一次变换为：， 是偶数， 第二次变换为：， ，即； （2）当正整数为奇数时， 则第一次变换为：， 是偶数， 第二次变换为：， 两次变换分别输出的两个数之积为18， ，即（负数舍去）； 当正整数为偶数时，则第一次变换为：， 若：为偶数，则第二次变换为：， 两次变换分别输出的两个数之积为18， ，即（负数舍去）； 若：为奇数，则第二次变换为：， 两次变换分别输出的两个数之积为18， ， 变形得：， 解得：， 即不存在正整数，舍去； 综上：为5或12． 15．对于一元二次方程，下列说法正确的是_______． ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 【答案】①③④ 【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断． 【详解】解：①当时，代入方程得，说明方程有一个根为，因此判别式， 故①正确； ②方程是一元一次方程（），只有一个实数根，不可能有两个根， 故②错误； ③把代入，得， 两边同时除以，得，即， ∴一定是的一个根， 故③正确； ④∵是方程的根， ∴，即， ∴， 故④正确； 故答案为：①③④． 16．项目式学习：我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．“杨辉三角”的构造法为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．如图，图中的第n行对应的展开式，如在第2行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第3行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．定义，代表第n行第个系数（k为自然数，且）． (1)根据上面的规则，结合系数表规律，则________，________；由系数表规律可推测第一斜列（每一行的第1个系数组成第一斜列，以此类推）中________，第二斜列中________； (2)当n大于1，每个系数均为其上方右边和左边两系数之和，现研究第三斜列规律：完成填空，即；；可以看成_____________； 可以看成__________________；……由此可以得出________； (3)在（2）的条件下，若是其右上方系数的倍（），则m的值为________． 【答案】(1)1，5；1，n； (2)1，2；1，2，3；（或） (3) 【分析】（1）根据的定义以及“杨辉三角”的结构即可解答； （2）先根据等量代换填空，然后再归纳规律即可； （3）由题意可得：是其右上方系数，再利用是其右上方系数的倍（）以及（2）的结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：表示第二行第1个数，即为1； 表示第五行第2个数字，即为5； 由系数表规律可推测第一斜列（每一行的第1个系数组成第一斜列，以此类推）中,第二斜列中． （2）解：∵；；，， ∴12； ∵， ∴； 归纳规律可得：； （3）解：由题意可得：是其右上方系数， ∵，，是其右上方系数的倍（）， ∴，即，解得：或（不合题意舍去）． 三、解答题 1．以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】小明解答有错误，正确的解答过程见解析． 【分析】小明错误地将方程两边同时除以，忽略了的可能；先移项，再用因式分解法求解即可得到正确结果． 【详解】解：小明的解答有错误，正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 2．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 3．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：， 第一步 第二步 第三步 (1)任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是______；②第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)任务二：请你写出该方程正确的解法． 【答案】(1)移项；二，未考虑的情况 (2) 解：， ， 解得，． 【分析】（1）题干使用了整体思想，将视作一个整体，第一步为移项，第二步两边同除以，但未考虑的情况，因此出现错误； （2）将视作一个整体，使用因式分解法解方程． 【详解】（1）略 （2）略 4．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 见解析 (2)1或3 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【详解】（1）证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 5．已知一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值． (2)若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【详解】（1）解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 6．解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)（用配方法解）； (4)（用公式法解）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，理解一元二次方程解法是解答关键. （1）（2）利用开方法来求解； （3）先配方，再利用开方法求解； （4）先求出，判断根的情况，再利用求根公式求解. 【详解】（1）解：原方程移项得， 开平方得. （2）解：原方程开平方得， 解得. （3）解：移项得 配方得， 即 开平方得 解得. （4）解：由原方程可得， 则， 方程有两个不相等的实数根， ， . 7．已知分式． (1)化简分式； (2)若关于的方程有两个实数根，且为正整数，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的运算法则即可求解； （2）根据一元二次方程有两个实数根可得的取值范围，由为正整数，可得的值，再根据分式有意义的条件确定，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∵要使分式有意义， ， ∴当时，原式． 8．先化简，再求值：，其中满足且． 【答案】， 【分析】先对原式进行化简，由已知可得，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵满足且， ∴， ∴原式． 9．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 原方程无实数根 【分析】（1）去分母将分式方程转化为一元一次方程求解，最后检验根是否使分母为零； （2）把一元二次方程整理为标准形式后，配方，利用平方数的非负性判断根的情况． 【详解】（1）解：两边同乘得， 展开得， 移项得； 检验：当时，， 因此原分式方程的解为． （2）解：整理得， 配方得， 任意实数的平方都大于等于， 不可能等于， 原方程无实数根． 10．计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）根据分式的混合运算，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后得到结果； （2）通过配方法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由，移项可得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 11．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________； 【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程． 【答案】（1）；；；25；（2）见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）仿照用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：仿照方法2配方解，先变形为，如图2， 每个小长方形的长为，宽为，小正方形的面积为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为， 故答案为：，，，； （2）解：先变形为，如图， 每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， ∴； 解为． 12．已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10 【分析】（1）先计算，即可得出结论； （2）分两种情况：当4为腰长时，或当4为底边时，分别求出结论即可； 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， ∴． ∴． ∴方程为：． ∴或． ∴等腰三角形的三边为：4，4，2． ∴周长为：； ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴． ∴． ∴方程为：，解得：， ∵， ∴不满足三角形三边关系． 故当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10． 13．已知关于的一元二次方程． (1)判断方程根的情况； (2)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为，当为何值时，是直角三角形，并求出的面积． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根． (2)当为2时，是直角三角形，的面积为6，当为11时，是直角三角形，的面积为30 【分析】（1）求出判别式与0的关系即可判断； （2）利用因式分解法求出方程的两根，，，不妨设，，再分两种情况，利用勾股定理求出k的值即可解答． 【详解】（1）解：在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， ，． 不妨设，， ①当为斜边时，有，即， 解得：，（舍去）．此时 则直角三角形的面积为：； ②当为斜边时，有，即 解得：，此时， 则直角三角形的面积为：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $