暑期预习讲义（第1讲）——菱形的性质与判定 （知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第1讲）——菱形的性质与判定 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2. 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 2 【知识点一】菱形核心性质（必考） 2 【知识点二】菱形三种判定方法（解题首选优先级） 3 【知识点三】中考高频特殊模型：60°菱形模型 3 【知识点四】易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】菱形边长、周长、角度基础计算 3 【题型 2】菱形面积（中考高频） 6 【题型 3】菱形判定证明题（解答题必考） 9 【题型 4】菱形性质与判定综合（基础） 12 四.经典题型精析（巩固提升） 16 【题型 5】 菱形性质与判定综合（综合提高） 16 【题型 6】 菱形与图形变换（综合提高） 21 【题型 7】 菱形与最短路径（综合提高） 25 五.同步自测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 37 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 43 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握菱形的定义、性质、三种判定方法，熟记课本核心知识点； （2）会用几何语言规范书写菱形的证明与计算过程； （3）掌握菱形面积两种计算方法，攻克60°菱形特殊模型； （4）规避常见易错陷阱，对接中考基础题型。 2. 课本原文预习填空 （1）菱形的定义：有一组________相等的________叫做菱形。 （2）菱形是特殊的平行四边形，因此它具备________的所有性质。 （3）菱形的特殊性质（区别于普通平行四边形）： ①菱形的________都相等； ②菱形的对角线________，且每一条对角线________一组对角。 （4）菱形的对称性：菱形是________对称图形，有________条对称轴（对角线所在直线）；同时是________对称图形。 （5）菱形的面积公式： ①通用公式：面积=________； ②特殊公式：面积=________（对角线乘积的一半）。 （6）菱形的三种判定定理： ①定义法：有一组________相等的平行四边形是菱形； ②对角线法：对角线________的平行四边形是菱形； ③边判定法：________的四边形是菱形（无需先证平行四边形）。 【课本预习填空·参考答案】 （1）邻边；平行四边形； 2）平行四边形； （3）①四条边；②互相垂直；平分 （4）轴；2；中心 （5）①底×高；②两条对角线乘积的一半；（6）①邻边；②互相垂直；③四条边相等 二.教材知识梳理解读 【知识点一】菱形核心性质（必考） 基本性质（与平行四边形相同）：对边平行、对角相等、对角线互相平分。 特殊性质（菱形独有·中考重点）： ① 边：四条边长度全部相等； ② 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组内角； ③ 角：对角线可将菱形分成四个全等的直角三角形、两个全等的等腰三角形。 【知识点二】菱形三种判定方法（解题首选优先级） 方法1（定义法）：平行四边形 + 一组邻边相等 → 菱形（最通用，证明题首选） 方法2（对角线法）：平行四边形 + 对角线互相垂直 → 菱形（对角线题型专用） 方法3（四边判定法）：任意四边形 + 四条边相等 → 菱形（无需证平行，填空选择题最快） 【知识点三】中考高频特殊模型：60°菱形模型 若菱形有一个内角为60°，则：短对角线长度=菱形边长，长对角线长度=倍边长，可快速求周长、面积。 【知识点四】易错点重磅预警 易错1：对角线垂直的四边形是菱形（错！必须是平行四边形+对角线垂直才是菱形） 易错2：邻边相等的四边形是菱形（错！必须先为平行四边形） 易错3：计算菱形面积只用底乘高，忘记对角线乘积一半的简便算法 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】菱形边长、周长、角度基础计算 【例题1】（2025·浙江宁波·一模）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，由题意得，，，推出；根据，得出，即可求解； 解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，，求出，然后可得的度数． 解：∵，是菱形的对角线， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴． 【变式2】（2024·山东威海·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，，则菱形的周长为_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，平分，结合证得是等边三角形，从而求出边长计算周长． 解：四边形是菱形， ，平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长为． 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，与的度数之比为，周长为．求菱形对角线的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，再结合，可得，于是可证得是等边三角形，则，由菱形的周长可得，再根据即可求出对角线的长． 解：四边形是菱形， ，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长 ， ， ． 【题型 2】菱形面积（中考高频） 【例题2】（25-26八年级下·四川自贡·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，，，过点作于．求的长． 【答案】 【分析】由菱形的面积公式可计算出，由菱形的性质可得，，，使用勾股定理计算出，再使用菱形的面积公式计算出即可． 解：∵，， ∴， 在菱形中，，，， 由勾股定理可得，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·河北张家口·期末）菱形的周长为，它的一条对角线长为，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，先求出菱形的边长，再求出另一条对角线的长度，然后根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算面积即可． 解：如图，四边形是菱形，两条对角线交于点，且它的周长为， 设对角线， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式2】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形周长求出边长，结合已知角度，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出两条对角线长度，再根据菱形面积公式计算即可. 解：菱形的周长为， 菱形的边长， 设对角线，交于点， 菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，， ，， ， ， 由勾股定理得， ，， 菱形面积. 【变式3】（25-26八年级下·青海海东·期末）如图，在平行四边形中，是的平分线，，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ，， ∴四边形是平行四边形； 是的平分线， , ， ， 平行四边形是菱形； （2） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，可证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则可证明四边形是菱形； （2） 根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 解：（1）略 （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ， 菱形的面积． 【题型 3】菱形判定证明题（解答题必考） 【例题3】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在、的延长线上，且，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，； ， ，即， 四边形是平行四边形； ， ∴四边形是菱形． 【分析】根据平行四边形的性质得到，；证明，则可证明四边形是平行四边形；再由，即可证明四边形是菱形． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断，即可求解． 解：A、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； B、添加， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定是菱形，故本选项符合题意； 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键． 根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 解：∵在中，，，， ， 又∵， ∴, ，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【变式3】（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的点，且，连接，． （1）求证：； （2）若，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴，即， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【分析】（1）连接交于点O，由平行四边形的性质得到，再证明，则可证明四边形是平行四边形，进而可证明； （2）证明四边形是菱形，得到，则可证明平行四边形是菱形． （1）略 （2）略 【题型 4】菱形性质与判定综合（基础） 【例题4】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知中，点D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交的延长线于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则四边形的周长为___________． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）先证明，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）过点A作AG⊥BC于点G，根据四边形AECF是菱形，可得AF∥EC，AE=CF=2，∠FAE=2∠FAC=60°，从而得到∠AEB=∠FAE=60°，可得到，，再由∠B=45°，可得，即可求解． 解：（1）解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形； （2）解：如图，过点A作AG⊥BC于点G， 由（1）知四边形AECF是菱形，又CF=2，∠FAC=30°， ∴AF∥EC，AE=CF=2，∠FAE=2∠FAC=60°， ∴∠AEB=∠FAE=60°， ∵AG⊥BC， ∴∠AGB=∠AGE=90°， ∴∠GAE=30°， ∴， ∴， ∵∠B=45°， ∴∠GAB=∠B=45°， ∴， ∴，， 四边形的周长为． 【点拨】本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键． 【变式1】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，由作图可知，平分，证明四边形是菱形，进而求解即可． 解：由作图可知，平分，故B正确， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，故C，D正确． 无法判断是等边三角形，故A错误． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 【答案】/72度 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， 则， 又∵， ． 【变式3】（2024·云南丽江·二模）图，点D为△ABC边AC上一点，过点D作DE∥AB，点O为BE的中点，连接AO并延长，交DE的延长线于点F，连接AE、BF． （1）试判断四边形ABFE的形状，并说明理由； （2）若AB＝BF，AC＝10，，求OC的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见分析；（2） 【分析】（1）根据点O是BE的中点，有OB＝OE，由得到，则有，即可证得，则有，又有，即四边形ABFE是平行四边形； （2）在平行四边形ABFE中，AB＝BF，即可判断平行四边形ABFE是菱形，即有，，在直角三角形AOC中，，，则，利用勾股定理即可求出OC． 解：（1）四边形ABFE是平行四边形，理由如下： ∵点O是BE的中点， ∴OB＝OE， ∵， ∴， ∴， 在△ABO和△FEO中， 有： ∴， ∴， 又∵， ∴四边形ABFE是平行四边形． （2）解：在平行四边形ABFE中，AB＝BF， ∴平行四边形ABFE是菱形， ∴， ∴， 在直角三角形AOC中， ，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形等知识，证得是解答本题的关键． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】 菱形性质与判定综合（综合提高） 【例题5】（25-26八年级下·北京·期末）如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ． 又， 四边形是平行四边形． 是的平分线， ． ， ， ， ， 四边形是菱形． （2） 【分析】（1）先利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形，利用平行线的性质和角平分线的定义进一步证明，根据等角对等边得出，即可证明四边形是菱形． （2）作于点，由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理得出， 由含30度直角三角形的性质得出， 由勾股定理得出，由线段的和差关系得出，最后由勾股定理即可求出． 解：（1）略 （2）解：如图，作于点． 四边形是菱形， ． ， ． 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径作弧交于点．若分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接，，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图，判断，利用菱形的判定和性质求出和，结合已知条件的度数，即可求出度数． 解：根据题意，画图可知，， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，射线交于点E．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接，设与相交于点，先由作图得，平分，结合平行四边形证出四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求解即可． 解：如图，连接，设与相交于点， 由题意得，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【答案】（1）证明：连接 ∵ 和 关于点 对称， ∴点 与 关于 对称，点与 关于 对称， ∴ ， ，即 四边形 的对角线互相平分， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【分析】（1）根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；可得对角线互相平分，即可求证； （2）根据勾股定理先计算的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算的长,进而根据勾股定理就可以计算 的长． 解：（1）略； （2）解：在 中， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴在 中， ． 【题型 6】 菱形与图形变换（综合提高） 【例题6】（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，小丽将绕点A顺时针旋转得到． （1）当_______时，； （2）在旋转过程中，小丽发现当时，线段与交于点F，且四边形是菱形，请你给予证明． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）在等腰三角形ABC中先求出∠B的度数，根据AD⊥BC求出∠BAD，旋转角α＝∠BAD； （2）利用邻补角互补证明AB∥DE，AE∥BC，又AB＝AE，从而证明四边形是菱形． 解：（1）在△BAC中，∵AB＝AC，∴∠B＝＝50°． 当AD⊥BC时，∠B＋∠BAD＝90°， ∠BAD＝90°－∠B＝40° ∵旋转角等于∠BAD ∴； （2）中，，，且由旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点拨】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是本题的解题关键． 【变式1】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图所示，菱形中，直线，并从点出发沿射线向右平移，直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系图象如图所示，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将图1和图2结合起来分析，分别得出直线过点A，C和时对应的值和值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积． 解：由图2可知，当直线过点时，，菱形的高等于线段的长，此时，直线向右平移直到点过点时，， 当直线过点时，， ∴菱形的边长为， ∴当点与点重合时，由勾股定理得， ∴， ∴菱形的高为， ∴菱形的面积为． 【变式2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，将两张长为，宽为的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中菱形周长的最大值是______．    【答案】 【分析】画出周长最大时的图形，设菱形的边长，则，在中，，即，解得，根据菱形的四边都相等即可得到菱形周长的最大值． 解：如图，此时菱形的边长最大，周长也最大，    设菱形的边长，则， 在中，， 即， 解得，， ∴菱形周长的最大值是， 故答案为： 【点拨】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，画出图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级下·四川达州·期中）如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． （1）如图1，猜想四边形的形状并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 【答案】（1）解：四边形为菱形，证明如下： 由折叠得，，，， 在中，， ． ， ∴四边形为菱形． （2）5 【分析】（1）根据折叠可得对应边相等，对应角相等，从而可证得四条边相等，即可判定四边形为菱形； （2）设，表示出、的长度，由四边形为菱形可得，，从而可得，，再结合勾股定理即可求解． 解：（1）略 （2）解：连接交于点， 由题意得，，设，则． ， 由（1）得，四边形为菱形． ，， ，， 在中，， ∴，解得，（舍去）， ． 【题型 7】 菱形与最短路径（综合提高） 【例题7】（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，P为菱形的对角线上的一个定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点E，G，，若的长的最小值为，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角的性质，连接，过P作于H，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由三角形的外角性质得到，由菱形的性质推出，得到，于是，当时，，由角平分线的性质得到，因此 解：连接，过P作于H， 垂直平分， ， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， 的长的最小值为， 时，， 平分，， 此时， 【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A．2 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】连接、相交于H，连接，根据菱形的性质和直角 三角形的性质，由勾股定理求得，，再证明，得出，然后由三角形周长和两点之间线段最短得的周长，即可求解． 解：连接、相交于H，连接，如图， ∵菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ∴的周长的最小值为． 故选：B． 【点拨】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形．若，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 解：如图，连接，，与交于点， ∵菱形， ∴，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 【变式3】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上． （1）如图1，若E是的中点，，求证：； （2）如图2，若，求证：是等边三角形； （3）在（2）的条件下，如果，那么的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来． 【答案】（1）证明：如图1所示，连接， 在菱形中，， ，， 是等边三角形， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2所示，连接， 由（1）知，是等边三角形，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形 （3）存在，周长的最小值为 【分析】（1）证明为等腰三角形即可解答； （2）连接，证明，可得，即可解答； （3）根据垂线段最短，可得当时，有最小值，再利用等边三角形的性质即可解答． 解：（1）略 （2）略 （3）解：由垂线段最短可知：当时，有最小值， ，， ， ， ， 根据（2）中可得为等边三角形， 周长的最小值为． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）如图，是菱形的对角线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵菱形，， ∴， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴. 2．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 【答案】D 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形即可． 解：在菱形中，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）菱形ABCD边长为5，一条对角线长6，则该菱形面积为（     ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】由菱形的性质得，，，，由勾股定理得，由即可求解． 解：如图，设， 四边形是菱形，且边长为5， ，，，， ， ， ． 4．（25-26八年级下·广东阳江·期末）下列关于菱形性质的说法，正确的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 【答案】C 解：∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，∴选项A错误，选项C正确． ∵菱形四个角不一定都是直角，四个角都是直角是矩形的性质，∴选项B错误． ∵菱形的两条对角线所在直线是它的对称轴，菱形是轴对称图形，∴选项D错误． 5．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在平行四边形中，下列条件能判定这个平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理，即可进行解答． 解：A、平行四边形中，本来就有，故选项不符合题意； B、平行四边形中，，即对角线相等，则四边形是矩形，故选项不符合题意； C、平行四边形中，，即，则四边形是矩形，故选项不符合题意； D、平行四边形中，，即对角线垂直，则四边形是菱形，故选项符合题意； 6．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，已知某广场菱形花坛的周长是24米，，则花坛对角线的长等于（　　） A．米 B．6米 C．米 D．3米 【答案】B 【分析】由四边形是菱形，，易得是等边三角形，继而求得答案． 解：∵四边形是菱形，且周长为24米， ∴米， ∵， ∴是等边三角形， ∴米． 故选：B． 【点拨】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形是解此题的关键． 7．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）一个平行四边形的一条边长为，两条对角线的长分别为和，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质求出OA，OB的长，进而利用勾股定理的逆定理得到AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形，利用菱形面积公式即可得到答案． 解：如图所示，在平行四边形ABCD中，，AB=3， ∴， ∵， ∴△AOB为直角三角形，即∠AOB=90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴， 故选B． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理，正确得到AC⊥BD，进而证明四边形ABCD是菱形是解题的关键． 8．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用等积法可求得的长，在中，利用勾股定理可求得，设，则，在中，由勾股定理列方程求出x，再由勾股定理求出的长度． 解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，可得， ∴，即， 解得， 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理可得． 9．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在菱形中，，是对角线，若，，则边的长度为________． 【答案】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，再用勾股定理计算边长． 解：设，交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，由勾股定理得． 13．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 【答案】4 【分析】此题重点考查菱形的性质、三角形的中位线定理等知识，证明是的中位线是解题的关键．由菱形的性质得，而点M为的中点，则是的中位线，所以，于是得到问题的答案． 解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O， ． 点O为的中点． 点M为的中点， 是的中位线． ， ． 故答案为：4． 15．（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，菱形的边长为3，，为边上一点，连接，将沿直线翻折至菱形所在平面内．若点的对应点落在的延长线上，则的长度为_________． 【答案】 【分析】 首先根据菱形的性质和平行线的性质求出的度数，再根据折叠的性质得到，，从而判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，最后根据线段的和差关系求出的长． 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∵点落在的延长线上， ∴点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 16．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 【答案】67 【分析】设，根据等边对等角，可得，再由菱形的性质可得，由此可得，再根据三角形内角和为求解即可． 解：设， ∵， ∴， 在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 则 ． 17．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点． （1）四边形BFDE的形状是  ________． （2）若四边形BFDE是菱形，BE=4，则菱形BFDE的面积为 ________． 【答案】 平行四边形 【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和面积解答即可． 解：（1）四边形BFDE为平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， 由于折叠，∠ABE=∠EBD，∠DCF=∠FDB， ∴∠EBD=∠FDB， ∴EB∥DF， ∵ED∥BF， ∴四边形BFDE为平行四边形． 故答案是：平行四边形； （2）∵四边形BFDE为菱形， ∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABE=30°， ∵∠A=90°，BE=4， ∴AE=2，BF=BE=2AE=4， ∴AB==2， ∴菱形BFDE的面积为：4×2=8． 故答案是：8． 【点拨】本题考查了翻折变换问题，关键根据翻折的性质和矩形、菱形的性质解答． 18．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在菱形中，，，、分别是、的中点，是上的动点，连接、，则的最小值是__________． 【答案】5 【分析】因为菱形是轴对称图形，是它的一条对称轴，所以可以作点M关于的对称点，利用对称将转化为对称点到P的距离．根据两点之间线段最短，当对称点、P、E三点共线时，取得最小值，即为对称点到E的线段长度．先结合菱形对角线的长度，利用勾股定理求出菱形的边长，再结合中点的性质，通过相关几何关系计算该线段的长度． 解：设对角线交点为O， ∵，， ∴， ∴。 ∵菱形的对角线是对称轴，作关于的对称点， ∵、分别是、的中点， ∴根据对称性，是中点，且， ∴。 根据两点之间线段最短， 的最小值为线段的长度， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即的最小值为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·期末）如图所示，点O是菱形对角线的交点， ， ，连接．已知四边形是矩形，如果，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形、矩形的性质及勾股定理的应用，先得出，求出，由矩形性质得出，再根据勾股定理求出结论即可． 解：∵四边形是菱形， ∴． 在中，由勾股定理， 则． ∵四边形是矩形， ∴． 在中，由勾股定理，得 ． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在菱形中，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形， 理由：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， 同理得：， ∴，， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，先证明，得出，同理，得出，，再根据菱形的判定方法，证明即可． 解：略 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 解：（1）证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （2）解：， 在中，，， ∴菱形的面积 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，为上一点且，连接交于点O，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【分析】（1）由平行加平分角可得，可得四边形是平行四边形，由已知条件即可证明； （2）设菱形的边长为，在中，利用勾股定理建立方程求出菱形的边长即可求解． 解：（1）证明：略； （2）解：由于四边形为菱形，故设菱形的边长为， 则，， ∵，， ∴由勾股定理得，， 即， 解得， 即， ∴四边形的面积为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）（答案不唯一） 【分析】（1）利用平行四边形的性质“对角线互相平分”以及等量代换证明； （2）根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等”证得四边形是平行四边形，根据菱形的判定得到答案． 解：（1）略 （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图所示， ， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河北廊坊·期末）【情境】数学课上，老师引导同学们用三角板探究四边形的判定和性质，老师先将两个全等的三角板和在同一平面内按如图所示的位置摆放．保持点，，，在同一直线上，三角板可以沿直线平移（点，不重合）．已知，，，连接和． （1）【发现】证明：四边形是平行四边形； （2）【探究】移动三角板的过程中，当点和点重合时，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：∵三角板和是两个全等的三角板， ∴， ． 又，   ，   四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）知，四边形为平行四边形．   当点和点重合时，，则点共线， ∴，   四边形为菱形． 【分析】（1）利用全等三角形性质得和，由内错角相等证，根据“一组对边平行且相等”判定平行四边形； （2）由（1）可知四边形是平行四边形，当点和点重合时，结合已知条件证明对角线A，依据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形为菱形． 解：（1）略 （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第1讲）——菱形的性质与判定 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2. 课本原文预习填空 1 二.教材知识梳理解读 2 【知识点一】菱形核心性质（必考） 2 【知识点二】菱形三种判定方法（解题首选优先级） 2 【知识点三】中考高频特殊模型：60°菱形模型 3 【知识点四】易错点重磅预警 3 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】菱形边长、周长、角度基础计算 3 【题型 2】菱形面积（中考高频） 4 【题型 3】菱形判定证明题（解答题必考） 5 【题型 4】菱形性质与判定综合（基础） 6 四.经典题型精析（巩固提升） 7 【题型 5】 菱形性质与判定综合（综合提高） 7 【题型 6】 菱形与图形变换（综合提高） 8 【题型 7】 菱形与最短路径（综合提高） 10 五.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握菱形的定义、性质、三种判定方法，熟记课本核心知识点； （2）会用几何语言规范书写菱形的证明与计算过程； （3）掌握菱形面积两种计算方法，攻克60°菱形特殊模型； （4）规避常见易错陷阱，对接中考基础题型。 2. 课本原文预习填空 （1）菱形的定义：有一组________相等的________叫做菱形。 （2）菱形是特殊的平行四边形，因此它具备________的所有性质。 （3）菱形的特殊性质（区别于普通平行四边形）： ①菱形的________都相等； ②菱形的对角线________，且每一条对角线________一组对角。 （4）菱形的对称性：菱形是________对称图形，有________条对称轴（对角线所在直线）；同时是________对称图形。 （5）菱形的面积公式： ①通用公式：面积=________； ②特殊公式：面积=________（对角线乘积的一半）。 （6）菱形的三种判定定理： ①定义法：有一组________相等的平行四边形是菱形； ②对角线法：对角线________的平行四边形是菱形； ③边判定法：________的四边形是菱形（无需先证平行四边形）。 【课本预习填空·参考答案】 （1）邻边；平行四边形； 2）平行四边形； （3）①四条边；②互相垂直；平分 （4）轴；2；中心 （5）①底×高；②两条对角线乘积的一半；（6）①邻边；②互相垂直；③四条边相等 二.教材知识梳理解读 【知识点一】菱形核心性质（必考） 基本性质（与平行四边形相同）：对边平行、对角相等、对角线互相平分。 特殊性质（菱形独有·中考重点）： ① 边：四条边长度全部相等； ② 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组内角； ③ 角：对角线可将菱形分成四个全等的直角三角形、两个全等的等腰三角形。 【知识点二】菱形三种判定方法 方法1（定义法）：平行四边形 + 一组邻边相等 → 菱形（最通用，证明题首选） 方法2（对角线法）：平行四边形 + 对角线互相垂直 → 菱形（对角线题型专用） 方法3（四边判定法）：任意四边形 + 四条边相等 → 菱形（无需证平行，填空选择题最快） 【知识点三】中考高频特殊模型：60°菱形模型 若菱形有一个内角为60°，则：短对角线长度=菱形边长，长对角线长度=倍边长，可快速求周长、面积。 【知识点四】易错点重磅预警 易错1：对角线垂直的四边形是菱形（错！必须是平行四边形+对角线垂直才是菱形） 易错2：邻边相等的四边形是菱形（错！必须先为平行四边形） 易错3：计算菱形面积只用底乘高，忘记对角线乘积一半的简便算法 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】菱形边长、周长、角度基础计算 【例题1】（2025·浙江宁波·一模）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东威海·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，，则菱形的周长为_____． 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，与的度数之比为，周长为．求菱形对角线的长． 【题型 2】菱形面积（中考高频） 【例题2】（25-26八年级下·四川自贡·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，，，过点作于．求的长． 【变式1】（25-26八年级下·河北张家口·期末）菱形的周长为，它的一条对角线长为，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【变式3】（25-26八年级下·青海海东·期末）如图，在平行四边形中，是的平分线，，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求菱形的面积． 【题型 3】菱形判定证明题（解答题必考） 【例题3】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在、的延长线上，且，连接、，，求证：四边形是菱形． 【变式1】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 【变式3】（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的点，且，连接，． （1）求证：； （2）若，连接，．求证：四边形是菱形． 【题型 4】菱形性质与判定综合（基础） 【例题4】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知中，点D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交的延长线于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则四边形的周长为___________． 【变式1】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．平分 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期中）按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 【变式3】（2024·云南丽江·二模）图，点D为△ABC边AC上一点，过点D作DE∥AB，点O为BE的中点，连接AO并延长，交DE的延长线于点F，连接AE、BF． （1）试判断四边形ABFE的形状，并说明理由； （2）若AB＝BF，AC＝10，，求OC的长． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】 菱形性质与判定综合（综合提高） 【例题5】（25-26八年级下·北京·期末）如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径作弧交于点．若分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接，，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，射线交于点E．若，，则的长为__________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【题型 6】 菱形与图形变换（综合提高） 【例题6】（24-25九年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，小丽将绕点A顺时针旋转得到． （1）当_______时，； （2）在旋转过程中，小丽发现当时，线段与交于点F，且四边形是菱形，请你给予证明． 【变式1】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图所示，菱形中，直线，并从点出发沿射线向右平移，直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系图象如图所示，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，将两张长为，宽为的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中菱形周长的最大值是______．    【变式3】（25-26九年级下·四川达州·期中）如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． （1）如图1，猜想四边形的形状并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 【题型 7】 菱形与最短路径（综合提高） 【例题7】（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，P为菱形的对角线上的一个定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点E，G，，若的长的最小值为，求的长． 【变式1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A．2 B．2 C． D．4 【变式2】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形．若，，则的最小值为__________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上． （1）如图1，若E是的中点，，求证：； （2）如图2，若，求证：是等边三角形； （3）在（2）的条件下，如果，那么的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）如图，是菱形的对角线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 3．（25-26八年级下·河南周口·期末）菱形ABCD边长为5，一条对角线长6，则该菱形面积为（     ） A．12 B．24 C．30 D．48 4．（25-26八年级下·广东阳江·期末）下列关于菱形性质的说法，正确的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 5．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在平行四边形中，下列条件能判定这个平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，已知某广场菱形花坛的周长是24米，，则花坛对角线的长等于（　　） A．米 B．6米 C．米 D．3米 7．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）一个平行四边形的一条边长为，两条对角线的长分别为和，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在菱形中，，是对角线，若，，则边的长度为________． 13．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 14．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 15．（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，菱形的边长为3，，为边上一点，连接，将沿直线翻折至菱形所在平面内．若点的对应点落在的延长线上，则的长度为_________． 16．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________． 17．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点． （1）四边形BFDE的形状是  ________． （2）若四边形BFDE是菱形，BE=4，则菱形BFDE的面积为 ________． 18．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在菱形中，，，、分别是、的中点，是上的动点，连接、，则的最小值是__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·期末）如图所示，点O是菱形对角线的交点， ， ，连接．已知四边形是矩形，如果，求线段的长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在菱形中，是延长线上一点，是延长线上一点，连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，为上一点且，连接交于点O，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在上，． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·河北廊坊·期末）【情境】数学课上，老师引导同学们用三角板探究四边形的判定和性质，老师先将两个全等的三角板和在同一平面内按如图所示的位置摆放．保持点，，，在同一直线上，三角板可以沿直线平移（点，不重合）．已知，，，连接和． （1）【发现】证明：四边形是平行四边形； （2）【探究】移动三角板的过程中，当点和点重合时，求证：四边形是菱形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $