第01讲 菱形的性质与判定（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） （暑期衔接课堂讲义）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第01讲 菱形的性质与判定（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 添一个条件使四边形是菱形 典型例题二 利用菱形的性质证明 典型例题三 根据菱形的性质求角度 典型例题四 根据菱形的性质求线段长 典型例题五 根据菱形的性质求面积 典型例题六 证明四边形是菱形 典型例题七 根据菱形的性质与判定求角度 典型例题八 根据菱形的性质与判定求线段长 典型例题九 根据菱形的性质与判定求面积 知识点01 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，要使是菱形，需添加的条件是________． 知识点02 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（   ） A．， B．， C．， D． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 知识点03 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）取两根长度不等的细木条，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，当两根木棒之间的夹角等于时，得到的图形是______． 【典型例题一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（24-25九年级上·福建福州·期末）要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河南濮阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，添加下列条件后不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·甘肃陇南·期中）如图，已知四边形是一个平行四边形，则只须补充条件__________，就可以判定它是一个菱形． 【例4】 （24-25八年级下·吉林·期中）如图，在中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且，，请你添加一个________条件，使四边形AEDF是菱形． 1．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，四边形的对角线；相交于点，，且，若 ，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 2．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，交于点O，点E，F分别是的中点． (1)求证：； (2)请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形． 你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形为菱形． 3．（2025·山东青岛·一模）如图，延长平行四边形ABCD的边AD到F，使DF=AD，连接BF，交DC于点E，延长CD至点G，使DG=DE，分别连接AE、AG、FG． (1)求证：△BCE≌△FDE； (2)当平行四边形ABCD的边或角满足什么条件时，四边形AEFG是菱形？证明你的结论． 【典型例题二 利用菱形的性质证明】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D．已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是______ 【例4】（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接，，交于点O，则图中的菱形共有__________个． 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在菱形中，点在边上，点在边上，且．求证：． 2．（2026·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图1，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．若，判断与的位置关系，并说明理由． 【典型例题三 根据菱形的性质求角度】 【例1】（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）如图是一种彭罗斯地砖图案的局部示意图，它是由两种菱形拼接而成，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在菱形中，连接，若，则的度数为___________． 【例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点在的延长线上，则___________． 1．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，，且，试求的度数． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在四边形中，，，平分交边于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，则______度． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与重合），点在边上移动（不与重合），在移动的过程中保持．    (1)连接，____________________°； (2)求周长的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【典型例题四 根据菱形的性质求线段长】 【例1】（2026·贵州遵义·二模）如图，菱形的两条对角线交于点，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【例2】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2026·宁夏吴忠·一模）如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 【例4】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为___． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知菱形，于点E，且E为的中点，已知．求： (1)的度数； (2)的长． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）2026年，我国多地实行中小学生春假制度．春假期间，同学们走出课堂、积极参与实践活动．小明在学习了菱形的相关知识后，动手制作了一款由三个全等菱形组成的木制活动衣帽架，该衣帽架可灵活调节挂钩间距，既实用又美观．如图，在A、E、F、C、G和H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．若菱形的边长为，要使两排挂钩间的距离为，则B、M之间的距离为多少？ 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 【典型例题五 根据菱形的性质求面积】 【例1】（2026·河南周口·二模）如图，某地面砖图案是一个菱形，已知两条对角线长分别为2和，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．54 【例3】（25-26八年级下·广东广州·期中）中国结寓意团圆、美满，小云家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则该菱形的面积为______． 【例4】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图是一款利用菱形四连杆伸缩结构实现折叠收纳的壁挂式挂架，也常被称为伸缩衣帽架或魔术挂架．这个挂架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，D、E分别是，的中点，， (1)求证：四边形是菱形 (2)连接交于点O，若，，求四边形的面积． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，是边上的中线，点E，F在射线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)将绕点A逆时针旋转 画出旋转后的并写出点的坐标； (2)请画出关于原点O成中心对称的 (3)连接则四边形的形状是____________（填“菱形”“矩形”或“正方形”）；面积是__________． 【典型例题六 证明四边形是菱形】 【例1】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·福建福州·期中）小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（    ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．菱形 【例3】（24-25八年级下·河南南阳·期末）你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这个四边形一定是__________(填形状)． 【例4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当_____________时，四边形是菱形 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．求证：四边形是菱形． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 3．（2026·甘肃兰州·二模）已知，的一边在平面直角坐标系的轴上，点． (1)如图1，点，求的长； (2)如图2，当在轴上时，的中垂线分别交，，于点，，． ①求证：四边形是菱形； ②若点，动点，分别从点，以每秒个单位和每秒个单位的速度同时出发匀速运动，动点自停止，自停止．请问是否存在，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【典型例题七 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【例4】（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则_______°． 1．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AC平分． (1)求证：四边形ABCD是菱形． (2)过点C作交AB的延长线于点E，连接OE交BC于点F，若，求的度数． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 3．（2025·江苏泰州·二模）如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕． (1)求证：； (2)若落在的右侧，求的范围； (3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由． 【典型例题八 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．平分 C． D． 【例2】（2025·河南安阳·二模）如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝6，AB＝4，∠BAD的角平分线AE交BC边于点E，则CE的长为________． 【例4】（2025·广西南宁·一模）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于点H．连接，若，菱形的面积为24，则的长为_________． 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 2．（2026·重庆·模拟预测）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形． 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， _____________， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， _____________， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（④_____________）． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作： （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）． 【操作2】小明同学按以下方式进行操作： 如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交于E、F两点，再连接． （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作： 将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出一个菱形，当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （3）已知如图3的矩形卡片中，，，则此时菱形的边长为______． 【典型例题九 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图．两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（    ）． A． B． C．4 D． 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若，，则四边形的面积是（　　　） A． B．8 C．4 D． 【例3】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_______． 【例4】（24-25八年级下·山东淄博·期中）在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为___________． 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知，点A，B分别在，上． (1)用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若菱形的周长为，，求菱形的高． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； (2)若，，，求四边形的面积． 1．（2026·山西吕梁·二模）如图，在菱形中，连接的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，D、E、F是边AB、AC、BC中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列添加的条件不正确的是　　 A．AB=BC B．AB=AC C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 4．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）圆圆和方方想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．   圆圆的作法：如图，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点，再以点为圆心，为半径作弧交边于点，连接，则得到的四边形是菱形．   方方的作法：如图，在中，以点为圆心，为为半径作弧交边于点，再以点为圆心，为半径作弧交边于点，连接，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（     ） A．圆圆和方方的作法都正确 B．圆圆和方方的作法都错误 C．圆圆的作法正确，方方的作法错误 D．圆圆的作法错误，方方的作法正确 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 7．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在和菱形中，，则的面积为__________． 8．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为________． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为_________． 10．（24-25九年级下·吉林延边·阶段检测）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A的坐标为（2，﹣1），点B在y轴上，BC//x轴，将△ABC沿BC翻折得到△A'BC，直线y＝x过点A'，则四边形A'BAC的面积为_____． 11．（2025·湖北武汉·三模）如图，在平行四边形中，点分别在上，与相交于点，且． (1)求证：； (2)连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 12．（24-25八年级下·北京海淀·期末）中，．求作：的边上的高． 下面是小明设计的尺规作图过程： ①以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点D； ②分别以点C和点D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点E； ③连接，交线段于点H．线段即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，，． ∵______， ∴四边形是菱形．（______）（填推理的依据） ∴______． ∴． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图一，菱形中，点是的中点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)将图一中绕点D逆时针旋转，使得点和点重合，得到（如图二），连接，试判断的形状； (3)若，在（2）的条件下，求线段的长． 14．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，、分别是、的平分线，且点、分别在边、上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容如下： 两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 请根据教材提示，求： ①若，，求平行线与间的距离． ②在①的条件下，请直接写出平行线与间的距离． 15．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的，点、、分别与点A、B、C对应； (2)若与关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． (3)以B、F、E、C为顶点的四边形是怎样的特殊四边形？________，它的面积为________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 菱形的性质与判定（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 添一个条件使四边形是菱形 典型例题二 利用菱形的性质证明 典型例题三 根据菱形的性质求角度 典型例题四 根据菱形的性质求线段长 典型例题五 根据菱形的性质求面积 典型例题六 证明四边形是菱形 典型例题七 根据菱形的性质与判定求角度 典型例题八 根据菱形的性质与判定求线段长 典型例题九 根据菱形的性质与判定求面积 知识点01 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，要使是菱形，需添加的条件是________． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：或． 故答案为∶ 或 知识点02 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边分别相等，对边平行，对角线互相垂直平分线，对角线平分一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、，交于点， ∴，，，，，， 由菱形的性质不能得到， 故选：D． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为，则这个中国结菱形部分较大的内角是__________度． 【答案】120 【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边相等，结合已知条件可判定由两条邻边和较短对角线组成的三角形为等边三角形，从而求得菱形的一个内角度数，再利用菱形邻角互补的性质即可求出较大的内角度数． 【详解】解：设菱形为，较短对角线为， 四边形是菱形， ， 边长和较短对角线的长都为， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， . ，， 这个中国结菱形部分较大的内角是度． 知识点03 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林长春·期末）取两根长度不等的细木条，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，当两根木棒之间的夹角等于时，得到的图形是______． 【答案】菱形 【分析】由平行四边形的判定与性质和菱形的判定，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：    由题意得：，为和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 故答案为：菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【典型例题一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（24-25九年级上·福建福州·期末）要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据菱形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：如图， 当，则为菱形，故A符合要求； 当，则不一定为菱形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则不一定为菱形，故D不符合要求； 故选：A． 【例2】（2025·河南濮阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，添加下列条件后不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，根据邻边相等的平行四边形为菱形，对角线垂直的平行四边形为菱形，进行判断即可． 【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，可以得到平行四边形为矩形，符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形；不符合题意； D、，根据对角线垂直的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； 故选B． 【例3】（24-25八年级下·甘肃陇南·期中）如图，已知四边形是一个平行四边形，则只须补充条件__________，就可以判定它是一个菱形． 【答案】AB＝BC（答案不唯一） 【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形添加即可． 【详解】解：补充的条件是AB＝BC， 理由是：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：AB＝BC． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和菱形的判定，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．此题是一道开放性的题目，答案不唯一． 【例4】 （24-25八年级下·吉林·期中）如图，在中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且，，请你添加一个________条件，使四边形AEDF是菱形． 【答案】（不唯一） 【分析】先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 则当时，平行四边形是菱形， 故答案为：（不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键． 1．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，四边形的对角线；相交于点，，且，若 ，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选择②，理由见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，根据平分得出，由得出，即可得出，根据等角对等边可得，即可得出平行四边形是菱形． 【详解】解：选择②平分， ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 2．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，交于点O，点E，F分别是的中点． (1)求证：； (2)请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形． 你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)②，证明见解析 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到然后根据题意得到，进而证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）选择添加的条件是：②，首先根据平行四边形的性质得到，然后利用等量代换得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形 ∴ ∵点E，F分别是的中点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）选择添加的条件是：②． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（2025·山东青岛·一模）如图，延长平行四边形ABCD的边AD到F，使DF=AD，连接BF，交DC于点E，延长CD至点G，使DG=DE，分别连接AE、AG、FG． (1)求证：△BCE≌△FDE； (2)当平行四边形ABCD的边或角满足什么条件时，四边形AEFG是菱形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当平行四边形ABCD的∠ADC＝90°时，四边形AEFG是菱形；证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知得到∠DFE＝∠CBE，DF＝BC，然后由AAS证明△BCE≌△FDE即可； （2）先证四边形AEFG是平行四边形，再根据∠ADC＝90°得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DFE＝∠CBE， ∵DF＝AD， ∴DF＝BC， 在△BCE和△FDE中， ∵， ∴△BCE≌△FDE（AAS）； （2）解：当平行四边形ABCD的∠ADC＝90°时，四边形AEFG是菱形； 证明：∵DF＝AD，DG＝DE， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵∠ADC＝90°，即AF⊥GE， ∴平行四边形AEFG是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【典型例题二 利用菱形的性质证明】 【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质即可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，故B正确； ∵菱形的边长与对角线长度无必然相等关系 ∴不一定等于，故A错误； ∵四边形是菱形 ∴ ∴，而不一定等于，故C错误； ∵菱形的对角线不一定相等（仅正方形时相等） ∴不一定等于，故D错误 ． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，即可得出结论． 【详解】解：A、由菱形的对角相等可得，选项说法正确，不符合题意； B、由菱形的邻角互补可得，选项说法不正确，符合题意； C、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； D、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D．已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是______ 【答案】4 【分析】此题考查了菱形的判定与性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接，过点C作于E，作于F，由四边形是菱形，可得平分，然后根据角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接，过点C作于E，作于F， ∵村庄C到公路的距离为， ∴ ∵四边形是菱形 ∴平分， ∴， 即C到公路的距离是． 故答案为：4． 【例4】（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接，，交于点O，则图中的菱形共有__________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定．根据四边形是菱形，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，即可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，E，F，F，H分别是菱形四边的中点， ∴， ∴四边形和均为菱形，共5个． 故答案为：5． 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，在菱形中，点在边上，点在边上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据菱形的性质，菱形的四条边相等且对角相等，可得到，；再结合题目已知条件，利用角角边的全等判定条件，即可证明与全等． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，， ∴． 2．（2026·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，过点作，由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图1，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)四边形是菱形；理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形； （2）由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查折叠的性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 【典型例题三 根据菱形的性质求角度】 【例1】（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角互补求出，再由菱形对角线平分对角求解即可得到答案．熟记菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，，则， 是菱形一条对角线， 平分，则， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）如图是一种彭罗斯地砖图案的局部示意图，它是由两种菱形拼接而成，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角以及菱形的性质，根据题意可得该图形是正十边形，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据菱形的四边相等，而图案由两种菱形拼接而成， ∴该图形是正十边形， ∴ ∴ 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在菱形中，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，，则，进而即可求解． 【详解】解：在菱形中，，， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点在的延长线上，则___________． 【答案】104 【分析】本题考查菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．先根据菱形的性质得到，，，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，，且，试求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质及等边对等角，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键． 由菱形的性质可知，结合，得，即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ． 又， ． ． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在四边形中，，，平分交边于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，则______度． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】（1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，进而得到，推出四边形是平行四边形，由得到四边形是菱形，即可得证； （2）由等腰三角形的性质可得，再由菱形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：， ， 四边形是菱形， ， 故答案为：64． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与重合），点在边上移动（不与重合），在移动的过程中保持．    (1)连接，____________________°； (2)求周长的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）连接，证明，与为等边三角形，，可得，再利用全等三角形的性质可得答案； （2）证明为等边三角形；可得，则当时，周长有最小值，结合为等边三角形，，，再结合中点坐标的含义可得答案； （3）设，而，，；分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，， ∴，与为等边三角形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴为等边三角形； ∴， 当时，周长有最小值， ∵为等边三角形， ∴，， ∴的周长最小值为，， ∴， ∴为的中点， ∴． （3）设，而，，； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的含义，平行四边形的判定与性质，中点坐标公式的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【典型例题四 根据菱形的性质求线段长】 【例1】（2026·贵州遵义·二模）如图，菱形的两条对角线交于点，若，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的两条对角线交于点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ． 【例2】（24-25八年级下·四川遂宁·期末）已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 【例3】（2026·宁夏吴忠·一模）如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】 根据菱形的对角线互相平分且交点在原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标规律即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形，且对角线交点在原点， 点与点关于原点对称 点的坐标为，且关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， 点的坐标为． 【例4】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为___． 【答案】 【分析】根据中位线的性质可得，根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知菱形，于点E，且E为的中点，已知．求： (1)的度数； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用菱形的性质证明是等边三角形，的度数可求； （2）由菱形性质，再由是等边三角形，求出，进而求的长． 【详解】（1）于点E，且E为的中点， ． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是菱形， ， ． ，是等边三角形， ，． ， ． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）2026年，我国多地实行中小学生春假制度．春假期间，同学们走出课堂、积极参与实践活动．小明在学习了菱形的相关知识后，动手制作了一款由三个全等菱形组成的木制活动衣帽架，该衣帽架可灵活调节挂钩间距，既实用又美观．如图，在A、E、F、C、G和H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．若菱形的边长为，要使两排挂钩间的距离为，则B、M之间的距离为多少？ 【答案】B、M之间的距离为30厘米 【分析】理解图形结构，识别出B到M的距离是由三个菱形的水平对角线长度组成，并利用勾股定理求出单个菱形的水平对角线长度． 【详解】解：如图，设菱形的对角线、相交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵衣帽架由三个全等菱形组成，且B、M为固定点， ∴B、M之间的距离为3个菱形水平对角线的长度之和， ∴， 即B、M之间的距离为30厘米． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)或3时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； (2)点的坐标为或或或． 【分析】（1）先求出，再分类讨论：①若点在点的左侧，②若点在点的右侧，逐项分析求解即可； （2）先求出，再分类讨论：①以为边，四边形是菱形，②以为边，四边形是菱形，③以为边，四边形是菱形，④以为对角线，四边形是菱形，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ①若点在点的左侧，如图 ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得， ②若点在点的右侧，如图 ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， 解得， 综上所述，或3时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； （2）解：点的坐标为或或或．理由如下： 点，， ，， ， ①如图，以为边，四边形是菱形， ∵， ； ②如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； ③如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； ④如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 【典型例题五 根据菱形的性质求面积】 【例1】（2026·河南周口·二模）如图，某地面砖图案是一个菱形，已知两条对角线长分别为2和，则该菱形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线长之积的一半，即可求解． 【详解】解：∵两条对角线长分别为2和， ∴该菱形的面积为． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 根据中位线的性质得出，进而利用菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 连接，如图所示： ∵在菱形中，、分别是的中点， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C． 【例3】（25-26八年级下·广东广州·期中）中国结寓意团圆、美满，小云家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】24 【分析】菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可。 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴该菱形的面积为。 【例4】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图是一款利用菱形四连杆伸缩结构实现折叠收纳的壁挂式挂架，也常被称为伸缩衣帽架或魔术挂架．这个挂架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 【答案】48 【分析】根据菱形的面积等于对角线的长度的乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为． 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，D、E分别是，的中点，， (1)求证：四边形是菱形 (2)连接交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此可得出，进而可得出结论． （2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长及面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2）解：如图所示，连接，   ，点为的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形为菱形， ，，， 又∵点为的中点， 为的中位线， ， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，灵活应用以上知识是解题关键． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，是边上的中线，点E，F在射线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由等腰三角形“三线合一”的性质得到，，结合，可知四边形为平行四边，然后根据“对角线相互垂直的平行四边形是菱形”即可证明结论； （2）设，则，根据题意，可知，，然后在中，利用勾股定理列出方程求得x，进而得到，最后菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：设，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)将绕点A逆时针旋转 画出旋转后的并写出点的坐标； (2)请画出关于原点O成中心对称的 (3)连接则四边形的形状是____________（填“菱形”“矩形”或“正方形”）；面积是__________． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)菱形， 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称，菱形的判定和性质，掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质画图，即可得出答案； （2）根据中心对称的性质画图，即可得出答案； （3）利用对角线互相平分且垂直，可证明四边形为菱形，利用菱形面积等于对角线之积的一半进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； 分别作出两点绕A逆时针旋转的对应点，连接即可； （2）解：如图，即为所求； 分别作出关于原点的对称点，连接即可； （3）解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为菱形， 四边形的面积为． 【典型例题六 证明四边形是菱形】 【例1】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 【例2】（24-25九年级下·福建福州·期中）小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（    ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的判定，理解折叠的性质，掌握菱形的判定和性质是关键． 理解图示中的折叠，根据菱形的判定即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据折叠得到，，平分，， ∴展开后，对角线相互垂直平分，且邻边相等， ∴将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是菱形， 故选：D ． 【例3】（24-25八年级下·河南南阳·期末）你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这个四边形一定是__________(填形状)． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了剪纸问题以及菱形的判定，直接利用折叠方法结合菱形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形， 那么所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边，即四条边都相等， 故此四边形是菱形． 故答案：菱形 【例4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当_____________时，四边形是菱形 【答案】6 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：四边形为矩形， ， ， 为的垂直平分线， ， 在和中，， ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形是菱形． 【分析】通过证得，可得四边形为平行四边形，结合即可得证． 【详解】略 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线的性质得到，，结合得到，即可证明四边形是菱形； （3）作交于点，求出，得到，利用勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解． 【详解】（1）解：证明：，，，分别是，，，的中点， ，且，，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ，，，分别是，，，的中点， ，， 当时，， 由（1）得，四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （3）解：作交于点，如图所示， ， 又， ． 又， ． 在中，， 四边形是菱形， ， ． 3．（2026·甘肃兰州·二模）已知，的一边在平面直角坐标系的轴上，点． (1)如图1，点，求的长； (2)如图2，当在轴上时，的中垂线分别交，，于点，，． ①求证：四边形是菱形； ②若点，动点，分别从点，以每秒个单位和每秒个单位的速度同时出发匀速运动，动点自停止，自停止．请问是否存在，若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②存在，点，点 【分析】（1）使用两点距离公式即可； （2）①容易证明，则，进而可判定四边形是平行四边形，结合可证明四边形是菱形； ②先根据菱形的性质和勾股定理计算出，分析点和点的运动过程可知，点在上，点在上时，符合平行四边形的要求，根据题意表示出，，列方程并解出的值，进而得到点和点的坐标． 【详解】（1）解：由勾股定理可得，； （2）解：①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； ②假设存在，设运动时间为秒， ∵，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ①当时，点在上，点在上， 此时与不平行，与假设矛盾； ②当时，点在上，点在上， 由题意可知，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，解得， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； ③当时，点在上，点在上， 此时与不平行，与假设矛盾； ④当时，点在上，点在上， 此时与不平行，与假设矛盾； 综上所述，假设成立，点的坐标为，点的坐标为． 【典型例题七 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式． 现根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， 正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形， ． 故选：． 【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握菱形的判定． 先由作图得到，再由菱形的判定与性质求解即可． 【详解】解：依题得：， 四边形是菱形， ． 故选：． 【例3】（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【答案】/62度 【分析】首先证明出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形 ∴平分和 ∴． 【例4】（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则_______°． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质与旋转的性质，灵活运用菱形的对边平行、同旁内角互补及旋转角相等的性质是解题的关键．根据菱形性质得到，进而求出旋转角，再由旋转性质得，从而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质得，． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AC平分． (1)求证：四边形ABCD是菱形． (2)过点C作交AB的延长线于点E，连接OE交BC于点F，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由，平分，得，，结合，得，又，四边形ABCD是平行四边形，又，即可求证， （2）由ABCD是菱形，得，，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得，，，，， 本题考查了，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又， ∴四边形ABCD是菱形， （2）解：由（1）可知四边形ABCD是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)或 【分析】（1）根据矩形和垂直平分线的性质，证明，进而得到，再根据对角线互相垂直平分，即可判断四边形的形状； （2）设菱形的边长cm，利用勾股定理，得出，进而得出，发根两种情况讨论，利用平行四边形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ，， 垂直平分，垂足为O， ，， 在和中， ， ， ， 又，， 四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长cm，则cm， 在中，cm， 由勾股定理得：， 解得：， cm， 四边形是菱形， ， ， ， 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 综上所述，a与b满足的数量关系式是或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 3．（2025·江苏泰州·二模）如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕． (1)求证：； (2)若落在的右侧，求的范围； (3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，证出四边形是菱形，则可得出结论； （2）设，求出，，当落在的右侧时，，求出，则可得出答案； （3）设，，，得出，求出，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得， 与垂直且互相平分， 四边形是菱形， ； （2）解：设， 四边形是菱形， ， ，， 当落在的右侧时，， ， ， ； （3）解：不存在． 若存在使得与的角平分线重合， 设，，， ， ， ， 不存在使得与的角平分线重合． 【典型例题八 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接，．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（   ） A．是等边三角形 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，由作图可知，平分，证明四边形是菱形，进而求解即可． 【详解】解：由作图可知，平分，故B正确， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，故C，D正确． 无法判断是等边三角形，故A错误． 故选：A． 【例2】（2025·河南安阳·二模）如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的面积公式得到，从而可求出的长． 【详解】解：由作法得， 所以四边形为菱形， 所以菱形的面积 即， 解得， 即的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图、菱形的判定与性质．熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键． 【例3】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝6，AB＝4，∠BAD的角平分线AE交BC边于点E，则CE的长为________． 【答案】2 【分析】过点作，证明四边形是菱形，从而求得，根据已知条件即可求得 【详解】如图，过点作 则 四边形是平行四边形 AE平分∠BAD 四边形是菱形 AD＝6，AB＝4 四边形是平行四边形 故答案为： 【点睛】本题考查了四边形的性质，菱形的性质与判定，角平分线的定义，证明四边形是菱形是解题的关键． 【例4】（2025·广西南宁·一模）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，于点H．连接，若，菱形的面积为24，则的长为_________． 【答案】6． 【分析】因为四边形ABCD是菱形，所以，为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， ∵菱形面积为24，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定求线段长，正确读懂题意是解题的关键． 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或2 【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，根据即可求解； （2）①同（1）得出，，根据即可求解； ②证明出四边形的邻边相等，即可进一步推得四边都相等，即得答案； （3）先分情况讨论，再根据每种情况，利用，，以及点，，，相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①如图1， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得， 点E与点F重合， ， ②如图2，当点E与点C重合时，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； ∴ （3）解：情况1，如图3， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 情况2，如图4， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， 即， ， ， ， ， ； 情况3，如图5， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或或2． 综上可知，的值为：或或2． 2．（2026·重庆·模拟预测）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形． 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， _____________， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， _____________， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（④_____________）． 【答案】作图见解析；①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图（角平分线），熟练掌握菱形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是关键．根据题意作图即可；由菱形的性质知，得到，结合角平分线可推得①，再证明，得出②，再证明四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是菱形，得到④． 【详解】解：如图所示，就是所求作的图形； 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作： （1）请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）． 【操作2】小明同学按以下方式进行操作： 如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交于E、F两点，再连接． （2）请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作： 将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出一个菱形，当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． （3）已知如图3的矩形卡片中，，，则此时菱形的边长为______． 【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，证明见解析；（3） 【分析】本题考查矩形的性质，折叠问题，三角形全等的判定与性质，菱形的判定，垂直平分线的作法及性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及菱形的判定定理是解题的关键． （1）由题意可得两条折痕即为四边形的两条对角线，由折叠的性质可得所得四边形的对角线互相垂直且平分，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； （2）根据题意，作线段的垂直平分线交于E、F两点，再连接即可；再证明，可得，即得四边形是平行四边形，再根据即可求证； （3）如图，利用矩形的性质可证，得到，同理易证，可得，再证明，得到，即可证明四边形是菱形，设，则，由菱形的性质可得，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得为折痕，即为四边形的对角线， 由折叠的性质得垂直平分且垂直平分， 则四边形是菱形； （2）解：如图所示为所求； 由作图知，是的垂直平分线，则， 设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）解：如图， ∵四边形，四边形是矩形，且两个矩形相同， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴此时菱形的边长为． 故答案为：． 【典型例题九 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图．两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】如图所示，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC，先证明四边形ABCD是平行四边形，再用面积法证明BC=CD，推出平行四边形ABCD是菱形，进而证明△ABC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC， 由题意得， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵长方形纸条等宽， ∴AE=AF， ∵， ∴BC=CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥BC， ∴BC=AB=2BE， 在Rt△ABE中，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在的两边上分别截取，，使；再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若，，则四边形的面积是（　　　） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】根据作图，， ∵， ∴， ∴四边形OACB是菱形， ∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、勾股定理以及含有的直角三角形，先证明是菱形，过点作的垂线，交于点，利用勾股定理求出的长度，最后代入菱形面积公式即可． 【详解】纸条对边平行 平行于，平行于 是平行四边形 两条纸条宽度都为 是菱形 过点作的垂线，交于点，即 解得：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·山东淄博·期中）在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则，再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到，即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ∴，四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴     ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，已知，点A，B分别在，上． (1)用无刻度的直尺和圆规分别在，上作点D，C，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若菱形的周长为，，求菱形的高． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）分别以A，B为圆心，长为半径作弧交直线，于点D，C，连接，则，又因为，所以四边形为菱形，即为所求； （2）连接，交于点O，过点A作于点H．利用面积法求解． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）解：连接，交于点O，过点A作于点H． ∵四边形是菱形，周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴菱形的高为 ． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得的长，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴互相平分， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． （2）解：∵在中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：四边形为菱形， ∴四边形的面积为． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，四边相等的四边形是菱形 (2)四边形的面积为． 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识． （1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，再利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据作图可得，垂直平分， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 1．（2026·山西吕梁·二模）如图，在菱形中，连接的垂直平分线分别交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据菱形的性质证明，得出，利用菱形的性质以及线段垂直平分线的性质求出相关角的度数，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，D、E、F是边AB、AC、BC中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列添加的条件不正确的是　　 A．AB=BC B．AB=AC C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC 【答案】D 【详解】解析： 当AB=BC时，四边形DBFE是菱形； 理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点， ∴DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形， ∵DE=BC，EF=AB， ∴DE=EF， ∴四边形DBFE是菱形． 故A正确，不符合题意， 当BE⊥AC，可证DF⊥BE，可得四边形DBFE是菱形， 故C正确，不符合题意， 当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形， 理由：∵DE∥BC， ∴∠DEB=∠EBC， ∵∠EBC=∠EBD， ∴∠EBD=∠DEB， ∴BD=DE， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形， ∵BD=DE， ∴四边形DBFE是菱形． 故D正确，不符合题意， 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作于R，于S，连接交于点O， 由题意知，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． 在中，，， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）圆圆和方方想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．   圆圆的作法：如图，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点，再以点为圆心，为半径作弧交边于点，连接，则得到的四边形是菱形．   方方的作法：如图，在中，以点为圆心，为为半径作弧交边于点，再以点为圆心，为半径作弧交边于点，连接，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（     ） A．圆圆和方方的作法都正确 B．圆圆和方方的作法都错误 C．圆圆的作法正确，方方的作法错误 D．圆圆的作法错误，方方的作法正确 【答案】C 【分析】由圆圆的作法可得一组对边平行且相等，进而证得平行四边形，再结合邻边相等证得菱形；由方方的作法无法证明四边形是平行四边形，故无法证得菱形． 【详解】解：由圆圆的作法得， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故圆圆的作法正确； 由方方的作法得， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 此时只满足一组对边平行和另一组对边相等，无法证明四边形是平行四边形，可能是等腰梯形， ∴无法证明四边形是菱形，故方方的作法错误， 综上可得：圆圆的作法正确，方方的作法错误． 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，由折叠得四边形是菱形，证明，从而可知阴影部分面积等于菱形面积一半，即可求解． 【详解】解：由折叠得，垂直平分，设相交于点O，，， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴阴影部分面积等于的面积，即菱形面积一半， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由折叠的性质，可得，又由为等腰三角形，即可证得，又由四条边都相等的四边形是菱形，即可判定四边形是菱形． 【详解】解：∵是沿底边翻折所得， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 故四边形为菱形的依据是： 四条边相等的四边形是菱形 7．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在和菱形中，，则的面积为__________． 【答案】24 【分析】根据菱形的性质和平行四边形的性质，可知它们交于一点，垂直平分，再根据，可以得到的度数，从而可以得到的度数，然后根据直角三角形的性质和勾股定理可以得到的长，再根据勾股定理的逆定理，可以求得是直角三角形，然后即可求得平行四边形的面积． 【详解】解：连接交于O，则与互相平分，连接，必过O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴为直角三角形， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为________． 【答案】45° 【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】连接BD， ∵四边形ABCD为菱形, ∴△ABD为等边三角形, ∵P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线,即 ∴ ∴由折叠的性质得到： 故答案为 【点睛】考查翻折变换（折叠问题），菱形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键. 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为_________． 【答案】12 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由推出，得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可 【详解】解：作于R，于S，连接交于点 由题意知：, ∴四边形是平行四边形, ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴ ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 10．（24-25九年级下·吉林延边·阶段检测）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A的坐标为（2，﹣1），点B在y轴上，BC//x轴，将△ABC沿BC翻折得到△A'BC，直线y＝x过点A'，则四边形A'BAC的面积为_____． 【答案】12 【分析】根据折叠的性质得到A'B＝AB，A'C＝AC，推出四边形A'BAC是菱形，连接AA'交BC于D，得到AA'⊥BC，BD＝CD，根据已知条件得到A'的横坐标为2，由于直线y＝x过点A'，得到A'（2，5），于是得到AA'＝6，BC＝4，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵将△ABC沿BC翻折得到△A'BC， ∴A'B＝AB，A'C＝AC， ∵AB＝AC， ∴A'B＝AB＝A'C＝AC， ∴四边形A'BAC是菱形， 连接AA'交BC于D， ∴AA'⊥BC，BD＝CD， ∵BC//x轴， ∴A'A⊥x轴， ∵点A的坐标为（2，﹣1）， ∴A'的横坐标为2， ∵直线y＝x过点A'， ∴A'(2，5) ∴AA'＝6，BC＝4， ∴四边形A'BAC的面积＝×6×4＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，菱形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 11．（2025·湖北武汉·三模）如图，在平行四边形中，点分别在上，与相交于点，且． (1)求证：； (2)连接．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加 【分析】（）利用平行可知两组对应的内错角相等，即可证明全等； （）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论； 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， 在与中，， ∴； （2）解：添加． 理由：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 12．（24-25八年级下·北京海淀·期末）中，．求作：的边上的高． 下面是小明设计的尺规作图过程： ①以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点D； ②分别以点C和点D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点E； ③连接，交线段于点H．线段即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，，． ∵______， ∴四边形是菱形．（______）（填推理的依据） ∴______． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；四条边都相等的四边形是菱形；． 【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，三角形的高的定义，菱形的判定与性质； （1）根据题干提示逐步完成作图即可； （2）先证明，可得四边形是菱形，再利用菱形的性质证明即可． 【详解】（1）解：补全图形如下： （2）证明：连接，，． ∵， ∴四边形是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形） ∴． ∴． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图一，菱形中，点是的中点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)将图一中绕点D逆时针旋转，使得点和点重合，得到（如图二），连接，试判断的形状； (3)若，在（2）的条件下，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形． (3) 【分析】（1）首先利用线段垂直平分线的性质，由垂直且平分推导出，再结合菱形四条边都相等的性质得到，从而证明，得出是等边三角形． （2）先由等边三角形“三线合一”的性质算出，利用旋转前后图形全等的性质得到，再结合菱形性质知，最后通过角度相加，从而判定为直角三角形． （3）首先根据菱形边长相等得到直角边，再由旋转性质知另一条直角边等于，接着在等边三角形中利用勾股定理算出高，最后在中利用勾股定理求出斜边的长． 【详解】（1）证明：且点是的中点， 是线段的垂直平分线． 四边形是菱形， ． ． 是等边三角形． （2）由（1）知是等边三角形， ． ， 平分． ． 绕点逆时针旋转得到， ． ． 四边形是菱形，且是等边三角形， 也是等边三角形， ． ． ． 是直角三角形． （3）四边形是菱形， ． 由旋转性质可知． 在等边中，是高． 在中，，． 根据勾股定理：． ． 在中， 根据勾股定理：． ． 14．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，、分别是、的平分线，且点、分别在边、上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第75页的部分内容如下： 两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 请根据教材提示，求： ①若，，求平行线与间的距离． ②在①的条件下，请直接写出平行线与间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①平行线与间的距离为；②平行线与间的距离为 【分析】（1）由平行四边形的性质得，；由角平分线意义、平行线的性质、等腰三角形的判定得，进而得，即可证明四边形是平行四边形，再由即可得它是菱形； （2）①过点A作于G；由题意得是等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可求得的长，从而求解； ②利用平行四边形的面积关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； 同理得：； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，即， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①如图，过点A作于G； 由（1）知； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， 由勾股定理得， 即平行线与间的距离为； ②设平行线与间的距离为h， ∵， ∴， 即平行线与间的距离为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 15．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的，点、、分别与点A、B、C对应； (2)若与关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． (3)以B、F、E、C为顶点的四边形是怎样的特殊四边形？________，它的面积为________ 【答案】(1)见解析 (2) (3)菱形， 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理与网格、中心对称的作图等知识，准确作图是关键． （1）找到点、、，顺次连接即可； （2）根据对应点的连线经过对称中心即可求出答案； （3）根据勾股定理求出边长，根据菱形的判定证明四边形是菱形，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）点P的坐标是； 故答案为： （3）以B、F、E、C为顶点的四边形是菱形，它的面积为． ∵， ∴四边形是菱形， ∵，, ∴四边形的面积为， 故答案为：菱形， 学科网（北京）股份有限公司 $