专题13二次函数与一元二次方程暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题13二次函数与一元二次方程暑假预习讲义 1. 理清内在关联：理解核心对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标；令函数y=0即可转化为一元二次方程。 2. 判别式几何意义：熟记判别式Δ=b2-4ac，能够依据Δ＞0、Δ=0、Δ＜0，判断抛物线与x轴两个交点、一个交点、无交点三种情况；也可根据交点个数反求解析式中参数范围。 3. 图像估解方程：学会借助二次函数图像，观察图像与x轴交点位置，估算一元二次方程实数根的近似数值，掌握数形结合估根方法。 4. 函数值取值分析：结合抛物线图像，读懂y＞0、y＜0对应的x取值范围，明确图像在x轴上方、下方所对应的自变量解集，初步认知二次不等式几何含义。 5. 交点式认知运用：已知抛物线与x轴两个交点坐标，会设交点式y=a(x-x_1)(x-x_2)，结合待定系数法求解二次函数解析式。 6. 函数与直线交点：掌握抛物线与一次直线交点求解方法，联立两个解析式得到一元二次方程，利用判别式判断二者交点数量。 7. 实际情境理解：针对抛射类运动应用题，明白物体落地时刻对应y=0，借助方程求解落地时间，体会函数方程在实际场景的联用。 8. 规避高频易错点：忽略二次项系数a≠0前提；判别式符号与交点个数记反；求解参数时遗漏分类情况；混淆方程根与函数交点横纵坐标。 9. 核心数学思想：牢固树立函数与方程、数形结合两大思想，搭建代数方程与函数图像的转化桥梁，为二次函数综合压轴题打好基础。 预习必备 知识梳理 1.二次函数与一元二次方程 2.图象法求方程的近似解 3二次函数与不等式的关系 4.三种二次函数解析式互化 5.典型综合题型解题模板 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求抛物线与x轴的交点坐标 2.求抛物线与y轴的交点坐标 3.由二次函数值求自变量的值 4.抛物线与x轴的交点问题 5.求x轴与抛物线的截线长 6.图象法确定方程的近似跟 7.二次函数图象确定方程根的情况 8.图象法解一元二次不等式. 9.由不等式求自变量或函数值范围 10.由交点确定不等式的解集 强化题型 解答题6题 知识点 01 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： a0（示意图） a0（示意图） 一元二次方程根的情况 b² - 4ac0 b² - 4ac=0 b² - 4ac 知识点 2：用图象法求一元二次方程的近似解 1. 图象法的基本原理 利用二次函数的图象与x轴的交点，来确定一元二次方程的根。由于作图和观察存在误差，求得的解一般是近似的。 2. 常用的图象法 方法 具体作法 原理 方法一 直接画出抛物线 y=ax2+bx+c 的图象 图象与x轴交点的横坐标就是方程的根 方法二 画出抛物线 y=ax2+bx和直线 y=-c 两图象交点的横坐标就是方程的根 方法三 画出抛物线 y=x2和直线 y=-- 两图象交点的横坐标就是方程的根 3. 确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定根在哪两个连续整数之间 第二步：利用 “取平均数” 的方法，不断缩小根所在的范围 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解 知识点 03二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点04：三种二次函数解析式互化（结合方程根） 三种解析式互相转化总结 知识点 05 典型综合题型解题模板 题型 1：判断抛物线与 x 轴交点个数 步骤：写出a、b、c → 计算Δ=b2-4ac\) → 根据Δ正负判断交点数量。 例：y=x2-2x+3，a=1,b=-2,c=3 Δ=4-12=-8<0，抛物线与x轴无交点。 题型 2：已知交点个数，求参数取值范围 核心：根据交点个数列Δ不等式，同时保证a≠0（二次函数） 例：y=(m-1)x2+2x+1\与x轴有两个交点 题型 3：已知两交点，求线段长度 题型 4：图像解不等式 先求抛物线零点，再看开口方向，确定x取值区间，注意边界是否取等(≥、≤)包含零点）。 题型 5：直线与抛物线交点问题 联立直线、抛物线解析式，消元得一元二次方程，用Δ判断交点个数： Δ>0：2 个交点；Δ=0：相切 1 个交点；Δ<0：无交点。 知识点 06 本节高频易错点汇总 1.忽略二次函数前提a≠0，求参数时漏掉限制条件； 2.判别式计算符号出错，b2容易写成b； 3.开口方向混淆，解不等式时区间写反； 4.求两交点距离忘记开根号，直接用Δ代替 5.交点式符号错误：零点为x1，括号内是(x-x1)，零点-2应写(x+2)； 6.不等式含等号时，解集不包含零点；不含等号时漏掉零点； 7.直线与抛物线联立后，未整理成标准一元二次方程就计算Δ 8.韦达定理记反：x1+x2=-，容易漏负号。 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】抛物线与轴交点坐标为__________． 【跟踪专练1】小明画了二次函数的图象（如图所示），则关于x的方程的解为（   ） A．， B．x=1 C．x=-6 D．x=-8 【跟踪专练2】如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【跟踪专练3】对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点间的距离，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【跟踪专练1】二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x 0 1 2 3 y 1 2 1 则一元二次方程（，a，b，c是常数）的两个根，的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 【跟踪专练3】如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是______． 题型3.由二次函数值求自变量的值 【典例】已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 【跟踪专练1】根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【跟踪专练3】已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 题型4.抛物线与x轴的交点问题 【典例】已知二次函数（为常数）的图象与轴的两个交点为，，若，则的值是__________ 【跟踪专练1】如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 【跟踪专练2】二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 题型5.求x轴与抛物线的截线长 【典例】如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【跟踪专练1】抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离__________ 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6.图象法确定方程的近似跟 【典例】小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【跟踪专练1】下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1） 【跟踪专练3】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 题型7.二次函数图象确定方程根的情况 【典例】如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【跟踪专练1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【跟踪专练2】如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【跟踪专练3】二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 题型8.图象法解一元二次不等式 【典例】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【跟踪专练1】已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ 【跟踪专练3】抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】已知是关于的二次函数，当时，的取值范围是：____________． 【跟踪专练1】函数中，当时，则y值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为． （1）______； （2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______． 【跟踪专练3】二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【跟踪专练3】如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 解答题 1．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 2．已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个函数图象与轴的交点坐标． 3．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴是直线，且经过点，与y轴交于点D，顶点为Q．求的值． 4．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 5．已知抛物线（，是常数且）的对称轴为直线． (1)设抛物线与轴的交点为，，求的长； (2)若二次函数的最小值为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知点，为该抛物线上不同的两点，，若和的值互为相反数，证明：． 6．利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 7．已知二次函数（为常数）． (1)该函数图象与轴交于两点，若点坐标为， ①求出的值； ②当时，借助图象，求自变量的取值范围； (2)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 1 3 4 5 0 0 5 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当，且 时，y有最大值32，求n的值； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于 ，都有，求a的取值范围． 9．已知抛物线（a，b是常数，）．该抛物线经过，对称轴是直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)证明：图象上任一点的纵坐标为非负数； (3)抛物线的图象上有点，直线上有点，且，求t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13二次函数与一元二次方程暑假预习讲义 1. 理清内在关联：理解核心对应关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标；令函数y=0即可转化为一元二次方程。 2. 判别式几何意义：熟记判别式Δ=b2-4ac，能够依据Δ＞0、Δ=0、Δ＜0，判断抛物线与x轴两个交点、一个交点、无交点三种情况；也可根据交点个数反求解析式中参数范围。 3. 图像估解方程：学会借助二次函数图像，观察图像与x轴交点位置，估算一元二次方程实数根的近似数值，掌握数形结合估根方法。 4. 函数值取值分析：结合抛物线图像，读懂y＞0、y＜0对应的x取值范围，明确图像在x轴上方、下方所对应的自变量解集，初步认知二次不等式几何含义。 5. 交点式认知运用：已知抛物线与x轴两个交点坐标，会设交点式y=a(x-x_1)(x-x_2)，结合待定系数法求解二次函数解析式。 6. 函数与直线交点：掌握抛物线与一次直线交点求解方法，联立两个解析式得到一元二次方程，利用判别式判断二者交点数量。 7. 实际情境理解：针对抛射类运动应用题，明白物体落地时刻对应y=0，借助方程求解落地时间，体会函数方程在实际场景的联用。 8. 规避高频易错点：忽略二次项系数a≠0前提；判别式符号与交点个数记反；求解参数时遗漏分类情况；混淆方程根与函数交点横纵坐标。 9. 核心数学思想：牢固树立函数与方程、数形结合两大思想，搭建代数方程与函数图像的转化桥梁，为二次函数综合压轴题打好基础。 预习必备 知识梳理 1.二次函数与一元二次方程 2.图象法求方程的近似解 3二次函数与不等式的关系 4.三种二次函数解析式互化 5.典型综合题型解题模板 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.求抛物线与x轴的交点坐标 2.求抛物线与y轴的交点坐标 3.由二次函数值求自变量的值 4.抛物线与x轴的交点问题 5.求x轴与抛物线的截线长 6.图象法确定方程的近似跟 7.二次函数图象确定方程根的情况 8.图象法解一元二次不等式. 9.由不等式求自变量或函数值范围 10.由交点确定不等式的解集 强化题型 解答题6题 知识点 01 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。 （1）若抛物线 y = ax2 + bx + c(a0) 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，则x1，x2为一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两个根。 （2）二次函数图象与 x 轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： a0（示意图） a0（示意图） 一元二次方程根的情况 b² - 4ac0 b² - 4ac=0 b² - 4ac 知识点 2：用图象法求一元二次方程的近似解 1. 图象法的基本原理 利用二次函数的图象与x轴的交点，来确定一元二次方程的根。由于作图和观察存在误差，求得的解一般是近似的。 2. 常用的图象法 方法 具体作法 原理 方法一 直接画出抛物线 y=ax2+bx+c 的图象 图象与x轴交点的横坐标就是方程的根 方法二 画出抛物线 y=ax2+bx和直线 y=-c 两图象交点的横坐标就是方程的根 方法三 画出抛物线 y=x2和直线 y=-- 两图象交点的横坐标就是方程的根 3. 确定近似根的方法 第一步：观察图象，确定根在哪两个连续整数之间 第二步：利用 “取平均数” 的方法，不断缩小根所在的范围 第三步：当根所在的范围满足题目要求的精确度时，即可得到近似解 知识点 03二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤： 1.将一元二次不等式化为 ax2+bx+c>0或<0的形式； 2.明确二次项系数 a 的正负、对称轴在 y 轴哪侧，并计算 b2-4ac的值； 3.作出不等式对应的二次函数 y=ax2+bx+c 的草图； 4.二次函数在 x 轴上方的图象对应的函数值大于零，在 x 轴下方的图象对应的函数值小于零。以 y=ax2+bx+c(a>0) 为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： Δ = b² - 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a X1,x2 X1=X2= 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a解集 全体实数 不等式ax2+bx+c0(a解集 无解 无解 知识点04：三种二次函数解析式互化（结合方程根） 三种解析式互相转化总结 知识点 05 典型综合题型解题模板 题型 1：判断抛物线与 x 轴交点个数 步骤：写出a、b、c → 计算Δ=b2-4ac\) → 根据Δ正负判断交点数量。 例：y=x2-2x+3，a=1,b=-2,c=3 Δ=4-12=-8<0，抛物线与x轴无交点。 题型 2：已知交点个数，求参数取值范围 核心：根据交点个数列Δ不等式，同时保证a≠0（二次函数） 例：y=(m-1)x2+2x+1\与x轴有两个交点 题型 3：已知两交点，求线段长度 题型 4：图像解不等式 先求抛物线零点，再看开口方向，确定x取值区间，注意边界是否取等(≥、≤)包含零点）。 题型 5：直线与抛物线交点问题 联立直线、抛物线解析式，消元得一元二次方程，用Δ判断交点个数： Δ>0：2 个交点；Δ=0：相切 1 个交点；Δ<0：无交点。 知识点 06 本节高频易错点汇总 1.忽略二次函数前提a≠0，求参数时漏掉限制条件； 2.判别式计算符号出错，b2容易写成b； 3.开口方向混淆，解不等式时区间写反； 4.求两交点距离忘记开根号，直接用Δ代替 5.交点式符号错误：零点为x1，括号内是(x-x1)，零点-2应写(x+2)； 6.不等式含等号时，解集不包含零点；不含等号时漏掉零点； 7.直线与抛物线联立后，未整理成标准一元二次方程就计算Δ 8.韦达定理记反：x1+x2=-，容易漏负号。 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 【典例】抛物线与轴交点坐标为__________． 【答案】 【分析】令，求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：令，即， 解得 则抛物线与x轴的交点坐标为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法是解题的关键． 【跟踪专练1】小明画了二次函数的图象（如图所示），则关于x的方程的解为（   ） A．， B．x=1 C．x=-6 D．x=-8 【答案】A 【分析】根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标为对应方程的解即可解答． 【详解】解：由图象可知，二次函数的图象与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0）， ∴关于x的方程的解为，， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与x轴的交点坐标、二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程的解关系是解答的关键． 【跟踪专练2】如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ 时， ∴自变量的取值范围是． 【跟踪专练3】对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点间的距离，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 通过解方程得，，则，两点为，则，则，进一步计算即可． 【详解】解：当时，， 因式分解得：， 解得：，， ∴，两点为， ∴， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（为常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 【典例】二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【分析】令，求出对应的函数值y，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求二次函数图象与y轴的交点坐标．掌握求抛物线与y轴交点坐标的方法是解题的关键． 【跟踪专练1】二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x 0 1 2 3 y 1 2 1 则一元二次方程（，a，b，c是常数）的两个根，的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围． 【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0． 由表中数据可知：当时，对应的值在与之间或与之间， ∴，时，y的值最接近0， ∴，的取值范围是：，． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 【跟踪专练2】如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 【答案】 【分析】利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出答案，利用时，求出y的值即可得出的长． 【详解】解：由题意知， ∵点是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，可得，， 解得：， 因此，； 当时，， 所以，． 【跟踪专练3】如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】先求出A、B、C的坐标，设点D的坐标为，则，利用勾股定理结合得到，解得，则，可设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出． 【详解】解：在中，令，则， ∴， 在中，令，则，解得或， ∴， ∴， 设点D的坐标为，则 ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线经过A、B， ∴可设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求二次函数与坐标轴的交点，正确求出点D的坐标是解题的关键． 题型3.由二次函数值求自变量的值 【典例】已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征．将点代入二次函数解析式，得到关于的方程，解方程并根据条件确定的值． 【详解】解：点在二次函数（）的图象上， 代入得： 整理得， 由于， 解得：或 又， 故． 故答案为：． 【跟踪专练1】根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】解：由表格可知，在内，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 在内，必有一个x的值对应的函数值， 方程（，为常数）一个根x的范围是， 故选：D． 【跟踪专练2】对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据“反点”定义，令函数值等于自变量的相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：设反点对应的自变量为，则函数值，代入函数解析式得： 整理得： 解得： ∴， ∴反点为． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：抛物线经过点， 故选：C ． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 【典例】已知二次函数（为常数）的图象与轴的两个交点为，，若，则的值是__________ 【答案】2 【分析】先把代入得，则抛物线解析式为，然后解方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 解得，． 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴与在对称轴处取得最值，即可判断A、B、D选项；根据抛物线的对称性，可由抛物线的对称轴与轴的一个交点坐标，直接得到另一个交点坐标，即可判断C选项． 【详解】解：从函数图象可知抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，当时，有最大值是3． 故A、B、D正确． 抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点是． 故C选项错误，符合题意． 【跟踪专练2】二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 【答案】C 【分析】设点是上的一点，则点是上的一点，据此可推出对应的函数解析式为，画出，的图象，结合函数图象可得答案． 【详解】解：设点是上的一点，则点是上的一点， ∴， ∴对应的函数解析式为； ∵， ∴当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最小值； 如图所示， 由函数图象可知，当时，直线（a为常数）与，的交点为0个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为4个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为3个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 综上所述，直线（a为常数）与，的交点共有0个或2个或3个或4个． 题型5.求x轴与抛物线的截线长 【典例】如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 【跟踪专练1】抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 【跟踪专练2】若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离__________ 【答案】 【分析】联立方程组得，确定,，计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，从而得，再根据线段上有且只有7个点的横坐标为整数，可得当时，，当时，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴． ∵线段上有且只有7个点的横坐标为整数， ∴这些整数为，，0，1，2，3，4. ∵， ∴当时，，当时，， ∴且， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据函数图像点的坐标特征，列出关于m的不等式组，是解题的关键． 题型6.图象法确定方程的近似跟 【典例】小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 【跟踪专练1】下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（    ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可知二次函数值在之间由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在之间，二次函数的函数值由负变正， ∴方程的一个解x的范围是， 故选：C． 【跟踪专练2】二次函数的图象如图所示，若方程的一个近似根是，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1） 【答案】0.2． 【分析】利用抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为：x=-1， ∵方程的一个根为x=-2.2， ∴另一个根为：-1×2-（-2.2）=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清题中的数据关系是解本题的关键． 【跟踪专练3】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 题型7.二次函数图象确定方程根的情况 【典例】如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【答案】， 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是， ∴对称轴， 解得：， ∴方程的解是：，． 【跟踪专练1】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 【跟踪专练2】如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 【跟踪专练3】二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 题型8.图象法解一元二次不等式 【典例】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【答案】或/或 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 【跟踪专练1】已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 【跟踪专练3】抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线开口向下， 当时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程． 题型9.由不等式求自变量或函数值范围 【典例】已知是关于的二次函数，当时，的取值范围是：____________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， ∴的取值范围为， 故答案为：． 【跟踪专练1】函数中，当时，则y值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向上，当时，有最小值， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为． 故选：D． 【跟踪专练2】已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为． （1）______； （2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______． 【答案】 1 或 【分析】（）代入可得，即，然后两边同时除以即可； （）求出顶点纵坐标，然后代入求不等式即可． 【详解】解：（）代入可得，即， ∵， ∴， ∴； （）抛物线顶点纵坐标为， 由题意得：， ∴或， 解得或， 由（）得， ∴， ∴或， ∴或． 【跟踪专练3】二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 题型10.由交点确定不等式的解集 【典例】如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是___________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与二次不等式，运用数形结合思想是解题关键． 将不等式转化为二次函数与一次函数之间的大小比较，并结合函数的图象确定解集． 【详解】解：不等式的解集可以看作一次函数的图象不低于二次函数的图象的时对应的自变量的取值， 结合图象可知，点以及点的左侧，点以及点的右侧，符合题意， ∴关于的不等式的解集为或． 故答案为：或． 【跟踪专练1】二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与不等式的关系，熟练掌握关系是解题的关键．利用数形结合思想，二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意，二次函数的图象与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 【跟踪专练3】如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 【详解】解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． 解答题 1．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 2．已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)这个函数图象与轴的交点坐标为，． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）令求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 这个函数图象与轴的交点坐标为，． 3．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴是直线，且经过点，与y轴交于点D，顶点为Q．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）先求得点，，，的坐标，再求得，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∴顶点P的坐标为，与y轴交点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得，， ∴顶点Q坐标为，与y轴交点D坐标为， ∴，， ∴． 4．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 5．已知抛物线（，是常数且）的对称轴为直线． (1)设抛物线与轴的交点为，，求的长； (2)若二次函数的最小值为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）已知点，为该抛物线上不同的两点，，若和的值互为相反数，证明：． 【答案】(1)4 (2)（ⅰ）1； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，即， ，都在抛物线上， ， 和的值互为相反数， ， ， 整理，得， ， 即． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，进而代入抛物线解析式，令，解一元二次方程，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意得出，，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）可知，即，则，，根据和的值互为相反数，得出，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ，即， 当，即时， 解得或， 抛物线与轴的交点坐标为，， ； （2）（ⅰ）解：该二次函数有最小值， ， ， ， 解得，（舍）， 的值为1； （ⅱ）略 6．利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果； （2）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：画出的图象如下： 由图象可知，两条图象的交点为和， ∴方程组的解为，； （2）解：画出图象如图： 由图可知，直线和抛物线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 7．已知二次函数（为常数）． (1)该函数图象与轴交于两点，若点坐标为， ①求出的值； ②当时，借助图象，求自变量的取值范围； (2)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）①将代入函数解析式计算即可；②画出函数图象，图象法求出的取值范围即可； （2）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵函数图象与轴交于两点，点坐标为， ∴， ∴； ②由①知， 列表如下： 1 3 4 5 0 0 5 画出函数图象如下：    由图可知：当时，或； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵当时（其中为实数，），自变量的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值， ∴． 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当，且 时，y有最大值32，求n的值； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于 ，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入即可求出抛物线的对称轴，结合时，y有最大值32，可得当时，取得最大值32，建立方程求解即可； （2）根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：当时，， 此时抛物线的对称轴为直线． 对于，当时，， 当时，， ∴当时，取得最大值32， ∴， 解得 （舍去），， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线 ， 两种情况讨论： ①当时，抛物线开口向上， ． 当时，对于 ，都有， ∴ ，解得， 当时， ∵对于 ，都有， ∴， ∴， 当时， ∵对于 ，都有， ∴， ∴， ∴当时，a的取值范围为； ②当时，抛物线开口向下， ． 由对称可知，直线关于直线对称的直线为， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的取值范围是或． 9．已知抛物线（a，b是常数，）．该抛物线经过，对称轴是直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)证明：图象上任一点的纵坐标为非负数； (3)抛物线的图象上有点，直线上有点，且，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了把化成顶点式，待定系数法求二次函数解析式，根据交点确定不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据抛物线经过点，对称轴是直线，得到关于待定字母的方程组求解，从而可得抛物线的解析式； （2）将抛物线的解析式写成顶点式，从而可得出结论成立； （3）分、、三种情况讨论，分别求得t的范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点，对称轴是直线， ∴， 解得： 故抛物线的解析式是； （2）解：由 所以图象上任一点的纵坐标为非负数； （3）解：由已知，，，且轴． ①若时， 方程， 解得：或， ∴或时， ， 解得：或． ∴当时，的取值范围是或； ②若时，则， 不符合； ③若时，， 得， 因为， 故无解， 综上所述，的取值范围是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $