专题12二次函数的应用暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题12二次函数的应用暑假预习讲义 1. 建模能力：能够分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型，设定自变量并列出对应的函数解析式。 2. 最值求解：掌握利用二次函数顶点求最大、最小值的方法，同时结合自变量实际取值范围，取舍顶点处最值。 3. 几何面积题型：针对三角形、四边形、不规则组合图形，用含x代数式表示边长，构建面积二次函数，求解面积最值。 4. 线段周长题型：在抛物线上找点，表达线段长度、封闭图形周长，借助二次函数性质解决周长、单条线段最值问题。 5. 特殊图形存在性：理解等腰、直角三角形，平行四边形、矩形这类特殊四边形的判定条件，结合抛物线坐标，探究动点存在情况。 6. 角度与相似综合：依托坐标系内角度相等、相似三角形对应边成比例的特点，结合二次函数图象，列方程求解动点坐标。 7. 实际生活应用：熟练处理销售利润、抛球运动、拱桥隧道这类经典应用题，读懂题意找准等量关系。 8. 数形结合识图：结合函数图象与平面几何图形，实现坐标、线段长、角度之间的相互转化。 9. 易错规避：忽略自变量取值范围盲目取顶点最值；几何列式时线段符号出错；存在性问题漏解、少分类讨论。 10. 综合素养：融合函数、方程、几何知识，强化分类讨论、数形结合思想，攻克二次函数压轴类基础综合题型 预习必备 知识梳理 1.核心通用解题步骤 2.几何图形最值问题 3.销售利润最值问题 4.抛物线型实际建模 5.动态几何中的二次函数 6.自由落体物理模型 7.最值两大求解方法 8.自变量取值范围核心判定规则 9.高频易错点汇总 10.全节核心速记表格 常考题型 精讲精练 1.图形问题(常考) 2.图形运动问题(常考+重点) 3.拱桥问题(常考) 4.销售问题(常+重难点) 5.投球问题(常考) 6.喷水问题(常考) 7.增长率问题 8.其他实际应用问题 9.线段周长问题 10.面积问题 11.角度问题 12.特殊三角形问题 13.特殊四边形问题 14.相似三角形问题 强化题型 解答题11题 知识点01：核心通用解题步骤（所有应用题通用模板，答题必写） 1.设变量：根据题意设合适自变量x，明确x代表的实际意义； 2.找等量关系：根据面积、利润、高度、几何相似等关系列出y与x的关系式； 3.整理成二次函数标准形式：y=ax2+bx+c\(a≠0)； 4.确定自变量取值范围：结合长度、数量、价格等实际意义，x>0、整数、不超过上限等限制； 5.求顶点横坐标：对称轴x=- 6.判断最值 a>0，开口向上，顶点处为最小值； a<0，开口向下，顶点处为最大值； 7.范围校验：若对称轴x在取值范围内，顶点为实际最值；若不在区间，最值出现在区间端点； 8.作答：结合题意写出完整答案。 知识点02：模型一：几何图形面积最值问题（高频基础题型） 1. 常见图形分类与公式表格 几何模型 题干条件 面积函数推导思路 a符号（最值类型） 靠墙矩形 一边靠墙，篱笆总长固定，垂直墙边长为x 平行墙边长=总长-2x，S=x(总长-2x) a=-2<0，求最大面积 内部隔栏矩形 篱笆中间有平行隔断（多段竖边） 隔断数量决定总边长系数，S=x(总长-nx) a<0，最大值 直角三角形 两直角边和固定，一条直角边为x 另一直角边 = 定值-x，S=(定值-x) a=-<0，最大值 内接矩形（直角三角形内） 矩形一边在直角边上，相似三角形求边长 用相似表示矩形长、宽，乘积得二次函数 a<0，最大值 2. 关键易错点 （1）自变量必须大于 0，边长不能为负数； （2）靠墙题型容易算错平行墙边长（隔断数量决定系数，隔 1 道墙减2x，隔 2 道减3x）； （3）求完顶点后必须校验：对称轴数值不能超过篱笆总长度限制。 3. 典型模板例题 用 40m 篱笆围矩形花圃，一边靠墙，垂直墙边长为x，求最大面积。 解：平行墙边长=40-2x，S=x(40-2x)=-2x2+40x a=-2<0，对称轴x=10，在0<x<20范围内 Smax=200m2 知识对：模型二：销售利润最值应用题（中考必考核心大题） 1. 基础利润公式（必须背诵） 单件利润 = 实际售价 − 单件进价 总利润W = 单件利润 × 销售数量 2. 两类价格调整题型对比表 题型分类 题干特征 数量变化规律 函数形式特征 降价促销 单价每降m元，销量增加n件 销量 = 原销量+n（x降价金额） a<0，求最大利润 涨价提价 单价每涨m元，销量减少n件 销量 = 原销量-n （x涨价金额） a<0，求最大利润 3. 附加限制条件（高频坑点） 售价不能低于进价； 商品库存有限，销量不能超过库存上限； 价格只能为整数，求出顶点小数时取临近整数对比利润。 4. 标准解题流程示例 西瓜进价 2 元 / 千克，售价 3 元，日销 200kg；每降价 0.1 元，多卖 40kg，求最大利润定价。 设降价0.1x元，单件利润=1-0.1x，销量=200+40x W=(1-0.1x)(200+40x)=-4x2+20x+200 a=-4<0，对称轴x=2.5，对应定价3-0.25=2.75元时利润最大。 知识点04：模型三：抛物线型实际建模（拱桥、隧道、喷泉、建筑） 1. 坐标系建立两种常用方法 方法 1：顶点在原点（最简推荐） 抛物线顶点(0,0)，开口向下，解析式y=ax2 (a<0)，代入地面端点坐标求a。 方法 2：顶点在\((h,k)\) 顶点式y=a(x-h)2+k，适合对称轴不在 y 轴的场景。 2. 三类典型实景考点表格 实景类型 已知条件 常考问题 拱桥 / 隧道 水面宽、拱顶高度、车道高度限制 ①求抛物线解析式；②判断货车能否通行；③求水面上涨后宽度 喷泉 / 抛射小球 抛出高度、落地水平距离 ①最大喷射高度；②水平射程；③特定高度对应的水平距离 建筑轮廓（东方之门） 底部宽度、最高点高度 给定高度求水平跨度 3. 通用解题步骤 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放原点简化计算）； （2）标出图像已知点坐标； （3）代入顶点式 / 一般式求a； （4）将高度 / 距离代入解析式，解方程求对应横坐标； （5）结合左右对称计算宽度。 4. 易错提醒 （1）开口向下a一定为负数，容易符号写错； （2）求宽度要取左右两个x值做差，不可只算单侧； （3）货车通行问题：先算车辆对应宽度处拱高，对比车高判断能否通过。 知识点05：模型四：动态几何中的二次函数（压轴难点） 1. 常见载体：直角三角形、矩形、菱形动点 动点沿边匀速运动，设运动时间 / 路程为x，用相似、勾股表示线段长，推导出面积 / 线段长二次函数。 2. 两类函数图像特征 单段动点：完整抛物线（开口向上 / 向下）； 分段动点：分两段，前一段开口向上，后一段开口向下，图像为两段抛物线拼接。 3. 核心考点 求面积S关于路程x的函数； 求面积最大值； 给定面积反求动点位置。 知识点06：补充拓展：自由落体物理模型 下落高度公式：h=-gt2+v0t+h0（g重力加速度） h0：初始高度；v0：初速度； 对称轴对应到达最高点时间，顶点纵坐标为最大高度； 令h=0可求出落地总时间。 知识点07：最值两大求解方法（答题二选一） 方法 1：配方法（推荐书写步骤） 方法 2：顶点公式法（计算更快） 对称轴x=-，将x代入原式计算最值。 知识点08：自变量取值范围核心判定规则（必考扣分点） 1.长度、价格、销量：x>0； 2.几何动点：运动路程不超过图形边长，0<x<L； 3.销售涨价：售价≥进价，销量≥0； 4.实际物品数量：x为正整数； 5.若对称轴不在取值区间： a<0：区间左端点为最大值； a>0：区间右端点为最小值。 知识点09全节高频易错汇总 1.利润计算混淆涨价 / 降价后销量增减，符号写反； 2.靠墙矩形隔断数量搞错，平行边长列式出错； 3.抛物线建模a正负混淆，开口向下写成正数； 4.求水平宽度只算单侧横坐标，忘记左右相减； 5.忽略自变量取值范围，直接用顶点当实际最值； 6.配方法提取二次项系数后，常数项漏乘系数； 7.面积公式漏乘（三角形题型）； 8.题目要求整数价格 / 长度时，直接使用小数顶点值作答。 知识10全节核心速记表格 应用模型 解析式a符号 核心求最值思路 典型限制条件 矩形面积 a<0 顶点取最大面积 边长 > 0，总长限制 销售利润 a<0 顶点取最大利润 售价≥进价，库存上限 拱桥抛物线 a<0 顶点为最大高度 高度、宽度非负 三角形动点面积 a<0 顶点面积最大 动点路程≤边长 自由落体 a<0 顶点为最高高度 时间t≥0 题型1.图形问题 【典例】小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 【跟踪专练1】如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练2】如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【跟踪专练3】如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 题型2.图形运动问题 【典例】如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 【跟踪专练3】如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 题型3.拱桥问题 【典例】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 【跟踪专练1】如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【跟踪专练3】某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 题型4.销售问题 【典例】已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为______时，获得的利润最大，最大利润为______元． 【跟踪专练1】道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【跟踪专练2】某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． (1)商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 题型5.投球问题 【典例】绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度(米)与前行距离(米)之间的关系为：，那么当足球落地时距离原来的位置有（ 　） A．25米 B．35米 C．45米 D．50米 【跟踪专练1】如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线的对称轴的右侧，则抛物线的对称轴为直线______． 【跟踪专练2】篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 题型6.喷水问题 【典例】如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【跟踪专练2】如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． (1)求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 题型7.增长率问题 【典例】最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 _____． 【跟踪专练2】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型8.其他实际应用问题 【典例】飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【跟踪专练2】水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 题型9.线段周长问题 【典例】如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【跟踪专练1】如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【跟踪专练2】已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型10.面积问题 【典例】以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【跟踪专练2】已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 题型11.角度问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【跟踪专练2】已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，下列结论：①点的坐标为；②时，；③无论b为何值，抛物线的顶点都在x轴下方；④若抛物线的顶点为点D，时，其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型12.特殊三角形问题 【典例】在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（   ） A． B． C．0 D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于、两点，在的左侧，与轴交于，点为对称轴右侧的抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，则点的坐标______． 题型13.特殊四边形问题 【典例】如图，边长为1的正方形顶点；抛物线过点，若顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），则的取值范围是__________． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 题型14.相似三角形问题 【典例】某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为_________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为______．    解答题 1．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 2．如图，在中，，，，于点D，点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 3．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 4．今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 5．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 6．如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌． 7．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 8．已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 9．已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 11．综合与探究 如图（a），抛物线与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图（b），过点作轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接． ①设点的横坐标为，当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12二次函数的应用暑假预习讲义 1. 建模能力：能够分析实际问题中的变量关系，建立二次函数模型，设定自变量并列出对应的函数解析式。 2. 最值求解：掌握利用二次函数顶点求最大、最小值的方法，同时结合自变量实际取值范围，取舍顶点处最值。 3. 几何面积题型：针对三角形、四边形、不规则组合图形，用含x代数式表示边长，构建面积二次函数，求解面积最值。 4. 线段周长题型：在抛物线上找点，表达线段长度、封闭图形周长，借助二次函数性质解决周长、单条线段最值问题。 5. 特殊图形存在性：理解等腰、直角三角形，平行四边形、矩形这类特殊四边形的判定条件，结合抛物线坐标，探究动点存在情况。 6. 角度与相似综合：依托坐标系内角度相等、相似三角形对应边成比例的特点，结合二次函数图象，列方程求解动点坐标。 7. 实际生活应用：熟练处理销售利润、抛球运动、拱桥隧道这类经典应用题，读懂题意找准等量关系。 8. 数形结合识图：结合函数图象与平面几何图形，实现坐标、线段长、角度之间的相互转化。 9. 易错规避：忽略自变量取值范围盲目取顶点最值；几何列式时线段符号出错；存在性问题漏解、少分类讨论。 10. 综合素养：融合函数、方程、几何知识，强化分类讨论、数形结合思想，攻克二次函数压轴类基础综合题型 预习必备 知识梳理 1.核心通用解题步骤 2.几何图形最值问题 3.销售利润最值问题 4.抛物线型实际建模 5.动态几何中的二次函数 6.自由落体物理模型 7.最值两大求解方法 8.自变量取值范围核心判定规则 9.高频易错点汇总 10.全节核心速记表格 常考题型 精讲精练 1.图形问题(常考) 2.图形运动问题(常考+重点) 3.拱桥问题(常考) 4.销售问题(常+重难点) 5.投球问题(常考) 6.喷水问题(常考) 7.增长率问题 8.其他实际应用问题 9.线段周长问题 10.面积问题 11.角度问题 12.特殊三角形问题 13.特殊四边形问题 14.相似三角形问题 强化题型 解答题11题 知识点01：核心通用解题步骤（所有应用题通用模板，答题必写） 1.设变量：根据题意设合适自变量x，明确x代表的实际意义； 2.找等量关系：根据面积、利润、高度、几何相似等关系列出y与x的关系式； 3.整理成二次函数标准形式：y=ax2+bx+c\(a≠0)； 4.确定自变量取值范围：结合长度、数量、价格等实际意义，x>0、整数、不超过上限等限制； 5.求顶点横坐标：对称轴x=- 6.判断最值 a>0，开口向上，顶点处为最小值； a<0，开口向下，顶点处为最大值； 7.范围校验：若对称轴x在取值范围内，顶点为实际最值；若不在区间，最值出现在区间端点； 8.作答：结合题意写出完整答案。 知识点02：模型一：几何图形面积最值问题（高频基础题型） 1. 常见图形分类与公式表格 几何模型 题干条件 面积函数推导思路 a符号（最值类型） 靠墙矩形 一边靠墙，篱笆总长固定，垂直墙边长为x 平行墙边长=总长-2x，S=x(总长-2x) a=-2<0，求最大面积 内部隔栏矩形 篱笆中间有平行隔断（多段竖边） 隔断数量决定总边长系数，S=x(总长-nx) a<0，最大值 直角三角形 两直角边和固定，一条直角边为x 另一直角边 = 定值-x，S=(定值-x) a=-<0，最大值 内接矩形（直角三角形内） 矩形一边在直角边上，相似三角形求边长 用相似表示矩形长、宽，乘积得二次函数 a<0，最大值 2. 关键易错点 （1）自变量必须大于 0，边长不能为负数； （2）靠墙题型容易算错平行墙边长（隔断数量决定系数，隔 1 道墙减2x，隔 2 道减3x）； （3）求完顶点后必须校验：对称轴数值不能超过篱笆总长度限制。 3. 典型模板例题 用 40m 篱笆围矩形花圃，一边靠墙，垂直墙边长为x，求最大面积。 解：平行墙边长=40-2x，S=x(40-2x)=-2x2+40x a=-2<0，对称轴x=10，在0<x<20范围内 Smax=200m2 知识对：模型二：销售利润最值应用题（中考必考核心大题） 1. 基础利润公式（必须背诵） 单件利润 = 实际售价 − 单件进价 总利润W = 单件利润 × 销售数量 2. 两类价格调整题型对比表 题型分类 题干特征 数量变化规律 函数形式特征 降价促销 单价每降m元，销量增加n件 销量 = 原销量+n（x降价金额） a<0，求最大利润 涨价提价 单价每涨m元，销量减少n件 销量 = 原销量-n （x涨价金额） a<0，求最大利润 3. 附加限制条件（高频坑点） 售价不能低于进价； 商品库存有限，销量不能超过库存上限； 价格只能为整数，求出顶点小数时取临近整数对比利润。 4. 标准解题流程示例 西瓜进价 2 元 / 千克，售价 3 元，日销 200kg；每降价 0.1 元，多卖 40kg，求最大利润定价。 设降价0.1x元，单件利润=1-0.1x，销量=200+40x W=(1-0.1x)(200+40x)=-4x2+20x+200 a=-4<0，对称轴x=2.5，对应定价3-0.25=2.75元时利润最大。 知识点04：模型三：抛物线型实际建模（拱桥、隧道、喷泉、建筑） 1. 坐标系建立两种常用方法 方法 1：顶点在原点（最简推荐） 抛物线顶点(0,0)，开口向下，解析式y=ax2 (a<0)，代入地面端点坐标求a。 方法 2：顶点在\((h,k)\) 顶点式y=a(x-h)2+k，适合对称轴不在 y 轴的场景。 2. 三类典型实景考点表格 实景类型 已知条件 常考问题 拱桥 / 隧道 水面宽、拱顶高度、车道高度限制 ①求抛物线解析式；②判断货车能否通行；③求水面上涨后宽度 喷泉 / 抛射小球 抛出高度、落地水平距离 ①最大喷射高度；②水平射程；③特定高度对应的水平距离 建筑轮廓（东方之门） 底部宽度、最高点高度 给定高度求水平跨度 3. 通用解题步骤 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放原点简化计算）； （2）标出图像已知点坐标； （3）代入顶点式 / 一般式求a； （4）将高度 / 距离代入解析式，解方程求对应横坐标； （5）结合左右对称计算宽度。 4. 易错提醒 （1）开口向下a一定为负数，容易符号写错； （2）求宽度要取左右两个x值做差，不可只算单侧； （3）货车通行问题：先算车辆对应宽度处拱高，对比车高判断能否通过。 知识点05：模型四：动态几何中的二次函数（压轴难点） 1. 常见载体：直角三角形、矩形、菱形动点 动点沿边匀速运动，设运动时间 / 路程为x，用相似、勾股表示线段长，推导出面积 / 线段长二次函数。 2. 两类函数图像特征 单段动点：完整抛物线（开口向上 / 向下）； 分段动点：分两段，前一段开口向上，后一段开口向下，图像为两段抛物线拼接。 3. 核心考点 求面积S关于路程x的函数； 求面积最大值； 给定面积反求动点位置。 知识点06：补充拓展：自由落体物理模型 下落高度公式：h=-gt2+v0t+h0（g重力加速度） h0：初始高度；v0：初速度； 对称轴对应到达最高点时间，顶点纵坐标为最大高度； 令h=0可求出落地总时间。 知识点07：最值两大求解方法（答题二选一） 方法 1：配方法（推荐书写步骤） 方法 2：顶点公式法（计算更快） 对称轴x=-，将x代入原式计算最值。 知识点08：自变量取值范围核心判定规则（必考扣分点） 1.长度、价格、销量：x>0； 2.几何动点：运动路程不超过图形边长，0<x<L； 3.销售涨价：售价≥进价，销量≥0； 4.实际物品数量：x为正整数； 5.若对称轴不在取值区间： a<0：区间左端点为最大值； a>0：区间右端点为最小值。 知识点09全节高频易错汇总 1.利润计算混淆涨价 / 降价后销量增减，符号写反； 2.靠墙矩形隔断数量搞错，平行边长列式出错； 3.抛物线建模a正负混淆，开口向下写成正数； 4.求水平宽度只算单侧横坐标，忘记左右相减； 5.忽略自变量取值范围，直接用顶点当实际最值； 6.配方法提取二次项系数后，常数项漏乘系数； 7.面积公式漏乘（三角形题型）； 8.题目要求整数价格 / 长度时，直接使用小数顶点值作答。 知识10全节核心速记表格 应用模型 解析式a符号 核心求最值思路 典型限制条件 矩形面积 a<0 顶点取最大面积 边长 > 0，总长限制 销售利润 a<0 顶点取最大利润 售价≥进价，库存上限 拱桥抛物线 a<0 顶点为最大高度 高度、宽度非负 三角形动点面积 a<0 顶点面积最大 动点路程≤边长 自由落体 a<0 顶点为最高高度 时间t≥0 题型1.图形问题 【典例】小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 【答案】 11 【分析】首先由求出D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 【跟踪专练1】如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 【跟踪专练3】如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】(1)； (2)当时，面积取最大值为 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 题型2.图形运动问题 【典例】如图，在中，，，．动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合），同时动点从点出发，沿边向点以的速度移动（不与点重合）．当四边形的面积最小时，经过的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用含代数式表示四边形的面积，通过配方求解． 【详解】解：设运动时间为秒，四边形的面积为， 则，， ， ， 即， 当时，有最小值为12， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值． 【跟踪专练1】如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 【跟踪专练2】如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据题意列出函数关系式．设与交于点R，三角形是等腰直角三角形，且正方形的边长等于三角形的直角边长，所以当三角形移动时，它与正方形的重叠部分始终是一个等腰直角三角形，设三角形移动的距离为，那么重叠部分的等腰直角三角形的两条直角边的长度都是，因此，重叠部分的面积就是这个等腰直角三角形的面积． 【详解】解：如图，设与交于点R． 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ． 【跟踪专练3】如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据“路程=速度×时间”得，同时出发后经过时，，，根据可求出； （2）设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】（1）解：当，同时出发后经过时，，， 又， ∴； （2）解：设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，， 则． ∵，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为． 题型3.拱桥问题 【典例】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 【跟踪专练3】某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 【答案】防护栏支柱的长度为． 【分析】建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式，再将点的横坐标代入解析式，即可得出点的纵坐标，则可得出答案． 【详解】解：以防护栏的最高点为原点，以的中垂线为轴，建立如图所示坐标系，由题意可知：点坐标为， 设抛物线的解析式为：，将点坐标代入得： ， 抛物线的解析式为：， 由题意可得点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 防护栏支柱的长度为． 题型4.销售问题 【典例】已知某快餐店卖出盒饭的数量x（单位：盒）与所获利润y（单位：元）满足函数解析式，则当卖出盒饭的数量为______时，获得的利润最大，最大利润为______元． 【答案】 600 2400 【分析】将函数解析式化成顶点式，即可得到利润最大时卖出的盒饭数量和最大利润。 【详解】解：函数解析式的二次项系数为 开口向下，有最大值； 当卖出盒饭的数量为600时，获得的利润最大，最大利润为2400元． 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点为二次函数的图像与性质以及二次函数的顶点解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键。 【跟踪专练1】道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 【跟踪专练2】某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量，即可推导得到函数关系式． 【详解】解：每件利润为元， 实际每天销售量为：， ∴． 【跟踪专练3】某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． (1)商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每个定价为元，应进货个 (2)每个定价增加元时可获得最大利润，可获得的最大利润是元 【分析】（1）设每个定价增加元，根据题意列一元二次方程，解方程求出的值，根据进货量较少，确定符合题意的的值，进而可得出答案； （2）设每个定价增加元，获得利润为元，可得，根据二次函数的性质求出的最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：设每个定价增加元， ∵每个进价为元，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个，准备获得利润元， ∴， 解得：，， ∵要使进货量较少， ∴每个定价为（元），应进货（个）． 答：每个定价为元，应进货个． （2）解：设每个定价增加元，获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：每个定价增加元时，可获得最大利润，最大利润是元． 题型5.投球问题 【典例】绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度(米)与前行距离(米)之间的关系为：，那么当足球落地时距离原来的位置有（ 　） A．25米 B．35米 C．45米 D．50米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，令，求出此时s的值，即可计算出足球落地时距离原来的位置的距离． 【详解】解：令，则， 解得：（舍去），， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线的对称轴的右侧，则抛物线的对称轴为直线______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意设出抛物线顶点式是解题关键．根据已知得抛物线L的顶点是，设抛物线L为，把代入解析式可求出a，把代入抛物线L的解析式求出点A坐标，再根据题意设抛物线解析式为，把点A坐标代入抛物线解析式求出m即可． 【详解】解：根据已知得抛物线L的顶点是， 设抛物线L为， 把代入解析式得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为． ∵点A在抛物线L上， ∴当时，即， 解得：， ∴． ∵开口方向及大小不变，反弹后高度变为第一次高度的， ∴抛物线顶点纵坐标为2， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得：或（舍去）， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 【跟踪专练2】篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 【跟踪专练3】为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【答案】(1)； (2)小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）略． 题型6.喷水问题 【典例】如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可 【详解】解：把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 【跟踪专练1】如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 【跟踪专练2】如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出点B的坐标，可得到点A的坐标，即可求解． 【详解】解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵水流是关于轴对称的两条抛物线， ∴点A，B关于y轴对称， ∴点， ∴． 【跟踪专练3】在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． (1)求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)手心到台面的高度h的取值范围是 【分析】（1）抛物线的顶点坐标为，且过，再求解析式即可； （2）由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为．先求出当洗手液恰好落到手心左端M或手心右端N时的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线的表达式为，将代入表达式可得， 解得， 故抛物线的表达式为． （2）解：由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∴手心到台面的高度h的取值范围是． 题型7.增长率问题 【典例】最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 【跟踪专练1】为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 _____． 【答案】20% 【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ∴x的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【跟踪专练2】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型8.其他实际应用问题 【典例】飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意得出行驶路程是解题关键．根据题意分别得出第秒和第时行驶的总路程进而得到答案． 【详解】解：由题意可得，当时，飞机停下， 此时，． 当时，． 故飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 【跟踪专练2】水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 【跟踪专练3】如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 【答案】(1)，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为 (2)运动员着陆时他能越过点 【分析】（1）由题意可得，，将其代入抛物线解析式即可得到的值，进而求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，利用函数的性质即可求解； （2）在函数解析式中令，求出的值，再与比较，即可判断． 【详解】（1）解：由题意可得，， 将代入，得， 解得， ， 化为顶点式为， ， 当时，有最大值，最大值为， ，该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为； （2）由（1）可得，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线， 令，则， 解得，， ，且， ，舍去， ， ， ， ， 即运动员着陆时他能越过点． 题型9.线段周长问题 【典例】如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于点B，连接．动点P在线段上，连接，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出，根据垂线段最短得出：当时，最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解∶当时，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴的纵坐标为3，轴， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，，则可得直线的解析式为，然后得出点C坐标，由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，进而求解即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 假设点B是过点P的直线与的交点，∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，如图所示： ∴，， ∴， ∴的周长最小值为； 故选A． 题型10.面积问题 【典例】以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可，掌握二次函数图象与坐标交点坐标的求法是解题的关键． 【详解】解：如图，设抛物线与相交于点，与轴相交于点， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 【跟踪专练2】已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数图像的对称轴确定点的坐标，易得，然后根据，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，该二次函数的图像的对称轴为直线，且与轴负半轴交于点， 则与轴正半轴的交点的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 题型11.角度问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．设点的坐标为，求出点A的坐标，再由轴，，可得点Q的坐标为，再根据是等腰直角三角形，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵轴，， ∴点Q的坐标为， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据，在上取一点，使得，则．进而得出，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． 当时，如图所示， ∵ 在上取一点，使得，则 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） 当时，同理可得 综上所述， 故答案为： 【跟踪专练3】如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，下列结论：①点的坐标为；②时，；③无论b为何值，抛物线的顶点都在x轴下方；④若抛物线的顶点为点D，时，其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令，得到，利用因式分解法解方程，得到抛物线与轴的一个交点恒为，即可判定①正确；先求出，两点的坐标，再求出，，可得，即可判定②正确；求出，由，推出，即可判断③错误；先将代入抛物线，得到，然后求出顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，再求得，，，根据勾股定理的逆定理即可判断④正确． 【详解】解：令，得到， ∴， 解得，，， ∴抛物线与轴的一个交点恒为，即为点，故①正确； 当时，另一个交点的坐标为， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线顶点的纵坐标为：， ∵， ∴， ∴当时，顶点的纵坐标为0，顶点在轴上，并非在x轴下方，故③错误； 当时，抛物线为， ∴顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 题型12.特殊三角形问题 【典例】在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 【答案】2 【分析】先求得，接着过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，那么，结合点坐标得到，然后解方程算得答案即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， 两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∴， 如图所示：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，通过构造“型全等”三角形，结合点在抛物线上的坐标关系建立方程求解是关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先化简抛物线解析式，求出A、B、C三点的坐标，判断直角位置，只有可能为直角，再利用勾股定理列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到的值． 【详解】解：∵， 令，得，解得，， ∵点A在点B左侧，∴，，可得， 令，得， ∴，C不与A、B重合，故， 若为直角三角形，分情况讨论： 若， ∵在轴上， ∴轴，A的横坐标等于C的横坐标为0，即，得， 此时，C与A重合，舍去； 若，同理得，， 此时，C与B重合，舍去； 因此只有，由勾股定理得， 计算得，，， 代入等式得：， 解得或， 舍去不符合题意的，得． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于、两点，在的左侧，与轴交于，点为对称轴右侧的抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，则点的坐标______． 【答案】或 【分析】求得点B的坐标为，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，设点P的坐标为，证明，得到，，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， 对称轴为直线， 令，则， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示． 设点P的坐标为，则，． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，即或， 解得：（舍去），，， ∴点P的坐标为或． 题型13.特殊四边形问题 【典例】如图，边长为1的正方形顶点；抛物线过点，若顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的解析式中的、、对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了数形结合的方法，展开讨论是解题的关键． 由于抛物线的顶点在正方形内部（包括在正方形的边上），分别讨论抛物线的顶点在正方形各个顶点上时的取值，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， ∵顶点是正方形上的一个动点， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， 当抛物线的顶点与点重合时，顶点坐标为 则抛物线的解析式为：， 将代入： ∴， ∵顶点在正方形内部， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（   ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线的对称轴，即可求出b的值，可判断①；分别求出两抛物线的顶点坐标以及它们的交点，可判断②；由抛物线的对称性得：，根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分，从而得到，可判断③；根据，可求出c的值，可判断④． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两抛物线的对称轴相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 联立得：， 解得：或， ∴两抛物线的的交点分别为或， 即它们交点所在的直线为， ∴抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为， 即两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∵两抛物线的对称轴相同，且二次项的系数互为相反数， ∴两抛物线的开口大小一样， ∴两抛物线组成的图象为轴对称图形，对称轴分别为两抛物线的对称轴以及它们交点所在的直线，共有两条对称轴，故②正确； 如图，连接， 由抛物线的对称性得：， 根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴， ∴， ∵两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故③正确； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴不符合题意， ∴满足四边形为正方形的的值有1个，故④错误； 故选：C 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线上运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时（一个交点），此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（舍去）， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， 则二次函数与矩形有两个交点时，二次函数图象在与矩形第一次相交和与矩形最后一次相交之间，且不包含第一次相交和最后一次相交， ∴． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 【答案】 【分析】过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由正方形的性质得到， 可得是等腰直角三角形，得到，设，则，利用待定系数法可得，则，可得正方形的周长为，同理可求出正方形的周长为，正方形的周长为，则可推出正方形的周长为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为； ∵， ∴； 同理可得， 设，则， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为， 同理可得正方形的周长为， ……， 以此类推，可知，正方形的周长为 ∴正方形的周长为． 题型14.相似三角形问题 【典例】某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了阅读运用新知识能力，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．作于G，作于K，由得，从而，即可 求得结果． 【详解】解：如图，作于G，作于K， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 【跟踪专练2】如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为______．    【答案】 【分析】本题考查的知识点是一次函数与二次函数的 综合应用，涉及到联立方程求交点、根与系数的关系的运用、全等三角形的判定与性质以及两点间距离公式等知识；利用相似三角形的性质找出是解题的关键．联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可求出、、的长度，设直线与轴的交点为，由直线的解析式为可得出，结合公共角可得出∽，根据相似三角形的性质可得出，代入数据即可得出，解之即可得出值． 【详解】：联立两函数解析式成方程组， ， 解得：，， 点，， ，，． 设直线与轴的交点为如图所示，则点的坐标为．    直线的解析式为， ． 又， ∽， ， ，即， 整理得：， 解得：或不合题意，舍去． 故答案为：． 解答题 1．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 【答案】(1) (2)x的值为1 (3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 【分析】（1）利用长方形的面积计算公式得出y与x的函数关系式； （2）将代入函数解析式求出x的值； （3）利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． 2．如图，在中，，，，于点D，点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可； （2）过点作，垂足为，证明，求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 解得：； （2）解：过点P作于点H，如图， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ∵，， ∴， 即． 3．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 4．今年清明节前后，阜南中岗四里湖的万亩油菜花吸引了众多的孩子去那里玩耍，锁大爷看到了商机，决定进一批风筝销售，经过他几天的市场调研：燕子型风筝进价每个为元，当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高元，销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)求出燕子型风筝销售量个与售价元之间的函数关系式； (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为多少？ (3)当售价定为多少时，锁大爷获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)) (2)锁大爷为了让利给孩子，并同时获得元利润，售价应定为元 (3)当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设燕子型风筝售价为元时，销售量为个，根据题意列出一次函数关系式； （2）设锁大爷获得的利润为元，根据题意写出函数关系式，令，解方程，即可求解． （3）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设燕子型风筝售价为元时，销售量为个， 根据题意可知：)， 销售量与售价之间的函数关系式为)； （2）解：设锁大爷获得的利润为元， 则， 令，则， 解得：，， ∵锁大爷为了让利给孩子， ∴， 答：售价应定为元； （3）解：∵， ， 当时，取最大值，最大值为． 答：当售价定为元时，锁大爷获得利润最大，最大利润是元． 5．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 6．如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌． 【答案】(1)上边缘喷出水的最大射程为8米 (2)当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 【分析】（1）易得上边缘抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点H的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式，取，求得合适的x的值，即为上边缘喷出水的最大射程； （2）易得点E的横坐标为7，取，代入（1）中得到的解析式，求得y的值，与的高0.9比较即可判断上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 【详解】（1）解：根据题意可得：喷水口的坐标为，上边缘抛物线的最高点A的坐标为， 设上边缘抛物线的解析式为： 将代入得：， ， 解得． 因此，上边缘抛物线的解析式为： 当时，， （舍），． 即米． 答：上边缘喷出水的最大射程OC为8米． （2）解：因为绿化带水平宽度米，竖直高度米． 所以，当时， 当时：（米）米 当时：（米）米 因为时，，所以上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 解决方法： 设抛物线向右平移个单位，则关系式为 将代入上边缘函数关系式，得： （舍）， （米） 当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 7．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据、关于对称轴对称，可得点坐标，根据待定系数法，可得答案； （2）根据，可得到的距离是的4倍，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）解：由、关于对称轴对称， 得． 将、点坐标代入函数解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：由，得到的距离是的4倍， 即点的横坐标为4或， 当时，， 当时，，即， 综上所述，点P的坐标为或． 8．已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）将m的值代入到抛物线解析式，再将解析式配成顶点式即可求得顶点的坐标； （2）令求出C点坐标，联立直线与抛物线的解析式求出A、B的坐标，①根据点的坐标表示出，即可求出此时m的值；②作且与抛物线相切于P点，直线交x轴于G点，过P点作于Q点，可知此时线段为最大值，过G点作于D点，则有，根据直线的图像可知，根据矩形的性质可知，则可得到直线的解析式，根据与抛物线只有一个交点，即可求得m的值． 【详解】（1）解：将代入到中，得， 配成顶点式得：， 则顶点D的坐标为； （2）解：令，可得，则C点坐标为， 根据题意联立： ，解得：或者， ∵点B在y轴的右侧， ∴B点坐标为，A点坐标为， ①∵B点坐标为，A点坐标为，C点坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）； ②作，直线交x轴于G点，过P点作于Q点， 当直线与抛物线只有一个交点时，此时线段的值最大为5， 过G点作于D点，如图， ∵直线的解析式为， ∴直线与x轴所夹锐角为，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴则直线相当于是将直线向右平移了个单位得到的， ∴直线的解析式为：， ∴联立， 可得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相同的解， ∴方程的， 解得， 即m的值为：． 9．已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②抛物线恒过定点，定点坐标为； 证明：∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ， ， 将上述式子代入得： 整理得， 提取公因式得， ∵，且， ∴， ∴，即， 由①得，将代入得：， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，结果与的取值无关， ∴抛物线恒过定点，定点坐标为． 【分析】（1）将给定的代入抛物线解析式，用配方法即可求出顶点坐标； （2）①将，两点坐标代入抛物线解析式，两式作差后因式分解，结合和即可推导出关于的表达式； ②利用勾股定理结合求出的值，再推导得到为定值，即可证明抛物线恒过定点并求出定点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为 配方得 因此抛物线的顶点坐标为 （2）①因为点，都在抛物线上 所以可得 两式作差得 整理得 因式分解得 ∵， ∴， ∴ ②略 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 11．综合与探究 如图（a），抛物线与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图（b），过点作轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接． ①设点的横坐标为，当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，面积的最大值为；②点N的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）①证明，得，将，，代入，求出，由此求出，根据二次函数的性质求出面积的最大值为． ②求出直线的表达式为，得到，由①知，得到轴，且．分三种情况分别求出点N的坐标． 【详解】（1）解：将点和代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）①∵轴，轴， ∴． ∵， ∴． ∴． 设点P的坐标为，则， ． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． ∴ ． ∴当时，面积的最大值为． ②易求直线的表达式为． ∴点F的坐标为． ∴．由①知． ∴轴，且． Ⅰ． 如图（a），当四边形为正方形时，此时点M与点G重合，点N与点D重合， ∴点N的坐标为． Ⅱ． 如图（b），当四边形为正方形时，此时点N与点G重合，点M与点D重合， ∴．则．解得． ∴点N的坐标为． Ⅲ． 如图（c），当为对角线时，此时，由正方形的性质得． ∴． 解得． ∴点G的坐标为． ∴点M的坐标为，． ∴点N的坐标为． 综上，点N的坐标为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $