第16讲 二次函数与一元二次方程（知识点+7题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

第16讲 二次函数与一元二次方程（知识点+7题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求抛物线与x轴的交点坐标 题型2 求抛物线与y轴的交点坐标 题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4 抛物线与x轴的交点问题 题型5 求x轴与抛物线的截线长 题型6 图象法确定一元二次方程的近似根 题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数与一元二次方程的内在联系 抛物线与x轴的交点判别式的几何意义 利用二次函数图像解一元二次方程 二次函数与一元二次不等式的初步联系 函数与方程思想 1. 经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，理解两者的内在联系，知道一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标。 2. 掌握一元二次方程根的判别式Δ=b^2-4ac的几何意义，能根据判别式的值判断抛物线与x轴的交点个数，也能根据抛物线与x轴的交点情况求参数的取值范围。 3. 能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，体会“数形结合”是解方程的重要方法，理解代数问题与几何问题的相互转化。 4. 初步了解二次函数与一元二次不等式的关系，能通过观察二次函数的图像，直接写出简单一元二次不等式的解集。 5. 能综合运用二次函数的图像与性质、一元二次方程的知识解决实际问题和代数综合题，发展函数与方程思想和数形结合能力。 学习重点：二次函数与一元二次方程的内在联系，判别式的几何意义，利用二次函数图像求一元二次方程的近似解。 学习难点：理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者之间的相互转化关系，数形结合思想在函数与方程综合问题中的灵活应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数与一元二次方程的基本关系 核心结论：对于二次函数（），当时，函数转化为一元二次方程。 方程的实数根就是抛物线与轴交点的横坐标。 数学语言： 若是方程的根，则点是抛物线与轴的交点。 即时即练 1．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明，是方程的两个根，解方程得到两个根后，即可计算的值． 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， 对方程变形得， 解得，， ∴． 【易错提醒】 切勿混淆抛物线与x轴、y轴的交点：与x轴交点对应y=0，与y轴交点对应x=0（坐标为(0,c)） 只有当y=0时，二次函数才转化为一元二次方程，y取其他非零值时对应一元二次方程的解是抛物线与水平线y=k的交点横坐标 知识点02 抛物线与x轴的交点个数和判别式的关系 对于二次函数（），判别式的符号决定了抛物线与轴的交点个数： 判别式的符号 一元二次方程根的情况 抛物线与轴的交点个数 有两个不相等的实数根 2个不同的交点 有两个相等的实数根 1个公共点（顶点） 没有实数根 0个交点 即时即练 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点M的坐标为 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）求得，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况求解，即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵，，， ∴， 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，不符合题意； 综上，点M的坐标为． 【易错提醒】 时是一个公共点（顶点在轴上），不是没有交点，也不是两个不同的交点 时，方程没有实数根，但二次函数本身仍然存在，抛物线与轴没有交点 此结论仅适用于抛物线与轴的交点，与轴的交点个数始终为1个（坐标） 知识点03 利用二次函数图像求一元二次方程的近似根 方法：夹逼法 画出二次函数的图像，确定抛物线与轴交点的大致位置 在交点两侧取两个靠近的自变量值和，计算对应的函数值和 若和异号，则在和之间必有一个根 逐步缩小自变量的取值范围，直到达到所需的精度 即时即练 3．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， 当时，；当时，， 当时，，只有选项C符合， 故选：C． 【易错提醒】 夹逼法的原理是：当函数值由正变负或由负变正时，中间必有一个根 近似根的精度取决于取值范围的大小，范围越小，精度越高 不要将函数值的大小与根的大小混淆，根是自变量的值，不是函数值 题型1 求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】已知关于x的函数 (1)若该二次函数的对称轴是直线，求该函数的解析式； (2)当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，求整数m的值． 【答案】(1) (2)当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，整数m的值为0或1或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次函数和一元二次方程的关系，解一元二次方程． （1）根据对称轴是直线，得到，据此求解即可； （2）当时，求得该函数与x轴的交点的横坐标为；当时，利用因式分解法解方程，得到，，据此求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， 解得， 经检验，是该方程的解， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 由，得， 该函数与x轴的交点的横坐标为，是整数，符合题意，m的值为0， 当时，函数是二次函数， 由， 解得，， 该函数与x轴的交点的横坐标为整数，即是整数， 或 综上所述，当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，整数m的值为0或1或． 【技巧归纳】 解方程的根就是交点的横坐标，交点坐标为、 方程有两个不相等实根→两个交点；有两个相等实根→一个交点；无实根→无交点 优先用因式分解法解方程，其次用公式法 【变式1-1】 1．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 【变式1-2】 2．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)①证明：∵令，则，即，，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线与轴恒有两个交点； ②抛物线与轴交点坐标为和 ． (2)①；②或或． 【分析】（1）①将二次函数转换成一元二次方程，利用判别式判断出一元二次方程解的情况即二次函数与轴交点的情况，②再运用公式法求解交点即可； （2）①先根据题意求出二次函数解析式和一次函数解析式，以及点坐标，再根据题意判断出三点共线，即，即可求出，最后根据求解即可；②根据题意判断出三点共线，即，即可求出，再根据求出是关于的二次函数解析，分类讨论（），（），根据二次函数的性质和不等方程的性质分别求解即可． 【详解】（1）①略； ②由①得且， ∴， ∵， ∴解得：，， ∴抛物线与轴交点坐标为和 ； （2）①∵， ∴抛物线解析式为：，直线解析式为：， ∵， ∴， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴； ②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴， 分类讨论： （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， ∵， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴ ∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或． 题型2 求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】抛物线 的对称轴是直线，与x轴负半轴的交点坐标为，且 与轴交于点，则下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到抛物线的基本参数范围，再结合抛物线的对称性，交点性质和最值性质逐个判断选项． 【详解】解：抛物线过点， ， 对称轴为直线， ， 可得， 抛物线与轴的一个交点满足，对称轴为， 另一个交点满足，可得抛物线开口向下， ， ，， ， 选项A：，，，，故A选项错误； 选项B：与关于对称轴对称，时，即，不满足，故B选项错误； 选项C：抛物线与轴有两个交点，，即，故C选项错误； 对选项D：抛物线开口向下，顶点在对称轴处，对任意，都有，即：，移项整理得：，因式分解得，故D选项正确． 【技巧归纳】 交点坐标恒为，常数项就是交点的纵坐标 当时，抛物线过原点 无需计算，直接看一般式的常数项即可得出 【变式2-1】 1．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 【变式2-2】 2．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)雕塑的高为 (2) (3)当时，， ∴点在抛物线上． 又∵， ∴顶部不会碰到水柱． 【分析】（1）直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． （2）解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． （3）略 题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 【技巧归纳】 步骤：列方程→移项化为标准式→解方程 方程有几个解，就有几个对应的自变量值 实际问题中，需舍去不符合实际意义的解 【变式3-1】 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 【变式3-2】 2．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 【答案】(1)， (2) (3)或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为 【分析】（1）高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，因为抛物线过原点，所以当时，，代入求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据抛物线的解析式确定和的值； （2）根据点的纵坐标为，可得，解方程求出的值，即可得到的长度； （3）因为高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，根据抛物线的对称性可知，解方程即可求出的值，把的值代入二次函数的解析式即可求出此时高尔夫球的高度． 【详解】（1）解：高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 当时，， 可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 整理可得：， ，； （2）解：点的纵坐标为， ， 解得：（舍去），， ； （3）解：由（1）得：． 抛物线的对称轴为：， 秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同， ， 解得：， 当时，， 答：或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为． 题型4 抛物线与x轴的交点问题 【例4】若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 【答案】 【分析】根据定弦抛物线的定义和对称轴求出原抛物线的解析式，得到原抛物线顶点坐标，再根据二次函数图象平移规律计算平移后抛物线的顶点坐标. 【详解】解：定弦抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点间的距离为， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向左平移个单位，横坐标减，再向下平移个单位，纵坐标减， 可得平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 平移后抛物线顶点坐标为. 【技巧归纳】 →抛物线与x轴有两个不同的交点 →抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上） →抛物线与x轴没有交点 隐含前提：二次项系数，否则是一次函数 【变式4-1】 1．将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 【答案】3 【分析】先根据二次函数图像平移的上加下减规律，得到平移后抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴只有1个公共点，可得一元二次方程根的判别式，据此列方程即可求解m的值． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度后，得到的抛物线解析式为， 平移后抛物线与轴有个公共点， ，即， 整理得，， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】 2．已知二次函数．（m为常数，） (1)求证：该函数图象与x轴总有两个公共点． (2)设该函数图象与x轴交于A，B两点．若，求线段的长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）令，则，求出，即可得证； （2）由（1）可得，从而可得，，表示出，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：令，则， ， ∵， ∴，即， ∴该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）解：由（1）可得， 设函数图象与轴交于点，， ∵利用公式法解方程可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，即． 题型5 求x轴与抛物线的截线长 【例5】若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 【技巧归纳】 通用公式： 截线长只与和有关，与抛物线的对称轴位置无关 已知截线长，可反推的值，进而求参数 【变式5-1】 1．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 【详解】解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【变式5-2】 2．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)过点与y轴平行的直线交抛物线于点B，若，求t的值； (3)若点，为二次函数图象上的两点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，即可解答； （2）把代入函数，得点B的坐标为，，求出t的值，再根据即可解答； （3）由得到，从而得到，求出，由于，则随的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：∵过点与y轴平行的直线交抛物线于点B， ∴把代入函数，得， ∴点B的坐标为， ∵， ∴， 解得，， ∵二次函数自变量的取值范围为， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵点，为二次函数图象上， ∴，即， 解得， ∵ ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，为． 题型6 图象法确定一元二次方程的近似根 【例6】二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 【技巧归纳】 步骤：画出抛物线→找到与x轴交点的大致位置→代入区间端点计算函数值 当时，时，则根在和之间 利用抛物线的对称性，可快速确定另一个根的范围 通常精确到十分位即可满足题目要求 【变式6-1】 1．数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是，且对称轴是，则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是， 所以方程的负实数根可能是． 【变式6-2】 2．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 【答案】(1)①，，；②，；③左，，下， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的根即可； ②根据顶点坐标公式求解即可； ③根据顶点的坐标，确定平移即可； （2）假设与轴交于点，求出直线的解析式，然后求出点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴与轴交点坐标为，即； 当时，， 解得， ∴与轴交点坐标为； ∵与轴的交点坐标为和， ∴方程的两根为，； 故答案为：，，； ②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 故答案为：，； ③∵， ∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象； 故答案为：左，，下，； （2）解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例7】已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 【技巧归纳】 交点个数=方程实数根的个数 交点在x轴正半轴→根为正；在负半轴→根为负；在原点→有一个根为0 顶点在x轴上→方程有两个相等的实数根 可结合图象判断根的大小关系、正负性 【变式7-1】 1．如图，二次函数与轴，轴分别交于，两点，对称轴为直线，一次函数的图象也经过，两点，则下列结论错误的是(     )    A． B．当时， C．方程有两个不相等的实数根 D．二次函数的图象的最低点的坐标为 【答案】D 【分析】由抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，得到，，由抛物线的对称轴为直线得到，即可判断A选项；求出A，B的坐标，结合图象即可判断B选项；根据抛物线与直线有两个交点即可判断C选项；由得到二次函数，进而求出图象的最低点的坐标，即可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴．故A选项正确． ∵与y轴交于点A，与x轴交于点B ∴令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴由图象可得，当时，．故B选项正确． ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程，即有两个不相等的实数根．故C选项正确． ∵， ∴， ∴二次函数， 当时，， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴二次函数的图象的最低点的坐标为．故D选项错误． 【变式7-2】 1．已知二次函数（）的图象经过点和． (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)求证：无论a取何值，方程总有实数根． (3)直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当或时，公共点个数为；当且或时，公共点个数为；当 时，公共点个数为 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意可得，再利用一元二次方程根的判别式解答即可； （3）分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（）的图象经过点，，原点， ∴， 解得：， 即； （2）解：∵二次函数（）的图象经过点，， ∴， ∴， ， 整理得：， ∴， ∴无论a取何值，方程总有实数根； （3）解：联立得：， 整理得：， 当时，没有交点； 由（2）得：， 即， ， 即， ∴， ∴或， 解不等式得：无解； 解不等式得：， ∴当时，没有公共点，即公共点个数为； 当时，公共点个数为， 即， 解得：或1， ∴当或1时，公共点个数为； 当时，公共点个数为， 即， ∴③或④， 解不等式③得：； 解不等式④得：， ∴当或且时，公共点个数为； 综上所述，当或时，公共点个数为；当且或时，公共点个数为；当 时，公共点个数为． 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【答案】B 【分析】把代入计算，得出，故该抛物线一定经过点；对于选项，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于的表达式的最小值；对于选项，利用抛物线对称性，由点和求出对称轴，进而求的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点的横坐标，再列式计算，即可作答． 【详解】解：将代入抛物线解析式，得， ∴该抛物线一定经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴顶点纵坐标为， ∵， ∴顶点纵坐标的最小值为，不是， 故B选项符合题意； ∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线对称轴为， ∴， 得， 故C选项不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令，得， 解得，， 即两个交点之间的距离为， 故D选项不符合题意． 2．抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 3．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 4．函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 5．如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴与在对称轴处取得最值，即可判断A、B、D选项；根据抛物线的对称性，可由抛物线的对称轴与轴的一个交点坐标，直接得到另一个交点坐标，即可判断C选项． 【详解】解：从函数图象可知抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，当时，有最大值是3． 故A、B、D正确． 抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点是． 故C选项错误，符合题意． 6．在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【分析】先根据二次函数与y轴交点位置得到a的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值． 【详解】解：将代入，得， ∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， 解得， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∴该二次函数的最大值为． 7．已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到的值和与的关系，再结合对称轴在轴右侧的条件，逐一判定每个结论的正确性即可. 【详解】解：将点代入，得，， 将点代入抛物线解析式，得，整理得，即，故结论③错误； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴对称轴， ∴与异号， ∴， ∵， ∴，故结论①正确. 将代入，得，解得，故结论②正确； ∵抛物线与轴已经有一个交点在轴的左侧，且对称轴在轴右侧， ∴顶点不可能在轴上， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，即，故结论④正确； 综上，正确结论为①②④. 8．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 9．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象与x轴的一个交点在和之间，且对称轴为直线，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】先根据对称轴公式得到与的关系，设二次函数与轴的左交点横坐标为，右交点横坐标为，根据对称性可得，结合该二次函数的增减性，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 设二次函数与轴的左交点横坐标为，右交点横坐标为， 由题意得， ∵两个交点关于对称轴对称， ∴，即， ∵， ∴， ∵，抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧，即时，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大， ∵当时，，时，，又， ∴，故A选项正确； ∵当时，， ∵， ∴，故B选项正确； ∵当时，，当时，， 又， ∴，故C选项错误； ∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项正确． 10．已知二次函数的图象分别经过点，点，且顶点在第四象限，下列说法中，正确的是（     ） A．该函数图象开口向下 B．该函数图象与x轴只有一个交点 C．a的取值范围是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】先将已知点代入二次函数，得到用表示的式子，再结合顶点在第四象限的性质，逐一判断选项正误． 【详解】二次函数 经过点 ， 代入得 ， 将 代入函数得 ， 代入得 ， 二次函数解析式为 ， 顶点在第四象限， 顶点横坐标大于，纵坐标小于， 顶点纵坐标为 ，可知分子分母异号，由题意得， 恒成立， 可得，函数开口向上，故选项A错误； 判别式 ， ， ， 函数图象与轴有两个交点，故选项B错误； 顶点横坐标为， ， ， 解得， 综上可得 ，故选项C正确； 对称轴 ，函数开口向上， 当 时， 随的增大而减小， ， 时 ， 随增大而减小，故选项D错误． 11．如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】将点坐标代入抛物线解析式求出的值，确定函数解析式，根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解 ． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误； 令，则， 解得， ∴， ∴， 故C选项正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； ∴当时，在时，的值随的增大而减小，在时，随的增大而增大； 故D选项错误． 12．对于题目“一段抛物线与直线有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是，乙的结果是或4，则（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，求得，②当抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点时，得到点在抛物线L的下方，点在抛物线上或上方，据此列出不等式组，求解再结合c为整数可得，故，即可判断． 【详解】解：∵抛物线与直线有唯一公共点， ∴①如图1，抛物线与直线相切， 联立解析式得， ∴ 解得：， 当时，相切时只有一个交点，符合题意； ②如图2，抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点 ∵当时，， 当时，． 由图象可知，当点在抛物线L的下方，点在抛物线上或上方时，抛物线L与直线l不相切，且范围内只有一个交点， ∴， 解得， 又∵c为整数， ∴， 综上，，所以甲乙合在一起也不正确． 13．关于抛物线(是常数)，以下结论中错误的是() A．抛物线的顶点在一条定直线上运动 B．若点，在抛物线上，则 C．无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 D．若，是抛物线与轴交点的横坐标，则的值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，判别式的应用，顶点坐标的求解，二次函数增减性，点到直线的距离，以及代数式降次求值，逐一判断每个结论即可． 【详解】解：先整理抛物线解析式，配方得： ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ， 由顶点坐标 ，得顶点满足，即所有顶点都在定直线上，A正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，， ∴，故B正确 ； 设二次函数顶点为点， 如图所示，过点向轴作垂线，交轴于点，交直线于点，过点向直线作垂线交直线于点， ∴点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴顶点 到直线的距离为， ∴无论为何值，距离都等于，故C正确． 当时，抛物线解析式为 ， 是抛物线与轴交点的横坐标， ，即 ，依次降次计算得： ， ， ， 整理分母得：，分子为 ，因此分式，故D不正确，符合题意． 14．已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点，，其中．下列结论中错误的是（     ） A． B．若关于的方程有实数根，则 C． D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用对称轴性质、交点式、不等式变形逐一判断选项即可； 【详解】解：对于A选项，∵ 抛物线对称轴为，与轴交于， ∴ ，即 ，得； ∵ ， ∴ ，即，A正确； 对于B选项，原抛物线可写为，方程 即抛物线与直线 有交点； ∵ 抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ∴ ， ∵ ，不等式变形得 ，即 ，B正确； 对于C选项，由对称轴 得； ∵ 抛物线与轴有两个交点，顶点在轴下方， ∴时，；代入得 ，即 ； ∴ ，C错误； 对于D选项，整理不等式 ：移项得 ，即 ； ∵ 在抛物线上， ∴ ，两边除以得 ，即 ；代入得 ， ∵， ∴ 解集为，D正确； 二、填空题 1．抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】由进行求解即可． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， ， 解得， 取． 2．二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 3．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标，是一元二次方程的两个根， ∴． 4．已知二次函数（为常数）的图象与轴的两个交点为，，若，则的值是__________ 【答案】2 【分析】先把代入得，则抛物线解析式为，然后解方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 解得，． 故答案为：2． 5．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到对应的另一个的值，即可得到一元二次方程的解 【详解】解：根据表格可得，点，都在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得，当时，， 点关于对称轴的对称点为， 关于的一元二次方程的解是. 6．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 7．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 8．抛物线 （a，b，c为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程 的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数t，总有； ④若一元二次方程（p为常数）有两实数根m，n，则． 其中正确的结论是_________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】利用抛物线与轴交点和一元二次方程的关系，抛物线的对称性，增减性，最值性质以及根与系数的关系，逐一验证每个结论即可． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴一元二次方程的根为，，结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， ∵点关于对称轴的对称点坐标为，且， ∴，结论②错误； ∵抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点，顶点横坐标为， ∴对任意实数，都有，不等式两边同时减，得 ，因此对任意实数，总有，结论③正确； 将方程整理为， 若方程的两实数根为，，由根与系数的关系可得， 由对称轴公式， 整理得， 即，结论④正确； 综上所述，正确的有①③④． 9．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 10．抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③关于x的一元二次方程的两根为，；④当时，二次函数有最大值．其中正确的有_______． 【答案】①③ 【分析】由图象可知，，则有，然后根据二次函数的图象与性质可进行排除答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①是正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴根据二次函数的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的两根为，，故③正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值，故④错误； 综上所述：正确的有①③． 11．如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是________． 【答案】 3或4或5 【分析】先求初始抛物线与x轴的交点M的坐标，确定原抛物线L在x轴上的跨度，因为每次平移距离为，且每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，因此可以确定平移距离的范围，根据点平移的坐标规律，初始点M经过次向右平移个单位后得到，结合的坐标列关系式求解的值． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴令， 即， 解得，， ∴由题意可得，， ∵图像依次向右平移个单位， ∴点的坐标也依次向右平移个单位， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点， ∴， 即， 解得， ∵为整数， ∴或或． 三、解答题 1．用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． 【答案】(1)与x轴交点坐标为和，与y轴交点坐标为 (2)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了描点作图法画二次函数图象以及二次函数图象的相关性质． （1）根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数的图象，令，求得函数与y轴的交点坐标；令，求得函数与x轴的交点坐标； （2）根据函数图象以及函数增减性的定义求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 2 y 2 1 1 描点作图如图所示： 令，则，即二次函数与y轴的交点为； 令，则，解得，即二次函数与x轴的交点为和； （2）解：由图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 2．已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】(1) 证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； (2) 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故． 3．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 【答案】(1)24米 (2)球的水平距离是30米 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求解即可． 【详解】（1）解：当米时， （米）． （2）解：由题意得， 解得 ∵第一次到达， ∴． 答：球的水平距离是30米． 4．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 5．如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画． (1)求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标； (2)如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了把化成顶点式，求抛物线与x轴的交点坐标，投球问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先将解析式转化为顶点式，从而可求得小球到达的最高点的坐标，再取，，解一元二次方程求得即可得出小球落回地面点的坐标； （2）联立两解析式可得：，求出方程组的解即可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，． 故小球到达的最高点的坐标为； 当时，，解得（不合题意，舍去），， 故小球落回地面点的坐标为； （2）解：联立两解析式可得：， 解得：，或， 故可得点的坐标为． 6．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求解函数解析式，与面积的综合问题． （1）先令求解，再由三角形面积公式求解，即可得到点坐标； （2）将点代入即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴，即 ∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴ （2）解：将点代入， 则， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 7．已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，另一个交点的坐标为 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根的判别式； （1）通过计算判别式的值，再根据判别式的符号即可证明； （2）代入到，求出k的值，进而求出另一个交点的坐标． 【详解】（1）证明：令，则， ， ∵， ∴， 即， ∴无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：代入得，， 解得， 当时，， 令，则， 解得，， ∴另一个交点的坐标为． 8．已知抛物线 （b，c为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知，在该抛物线上，当时，求m的取值范围； (2)若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①， ；②或 (2) 【分析】（1）①根据题意得抛物线过点和，用待定系数法即可求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可求顶点坐标；②根据抛物线的对称性求出关于的对称点为，结合增减性，列不等式求解即可； （2）由抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，得，再求出，画出抛物线图象，找出临界点求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知抛物线过点和， ∴解得， ∴； ∴顶点坐标为； ②由①可知抛物线关于对称，开口向上， 则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴关于的对称点为， ∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3， ∴，即， 将代入得，， 解得， ∴， 又∵直线在第四象限内与抛物线有两个交点， ∴令，解得（舍去）或， ∴当经过点时，在第四象限内与抛物线有1个交点， 即解得； 令即， 当时，解得； ∴直线在第四象限内与抛物线有两个交点时，． 9．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 10．如图是某跳水运动员在进行跳水训练时的截面图，运动员身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． (1)画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点，）入水时才能达到训练要求，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)5米 (3) 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线解析为：，将点代入求得a的值即可； （2）先求得抛物线与x轴交点为：，进而完成解答； （3）若跳水运动员在区域内（不含点E，F）入水达到训练要求，则在函数中，当时，；当米，时，据此列关于的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为． （2）解：依题意，当，则． 解得：，． 故抛物线与x轴交点为：． ∴观察图中，得出运动员落水点与点C的距离为5米． （3）解： ∵跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，是固定不变的， ∴设抛物线的解析式为，且过点， ∴， 则， ∵米，米， ∴当时，， 则， 解得：； 当时，， 则， 解得． 综上所述，的取值范围是． 11．已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时， ； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得， 令，即，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴二次函数的图像与轴总有两个公共点． ②． 【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知，然后解关于a的方程即可； （2）①先把函数解析式化成一般式，令，得到关于x的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明结论；②当，即，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程可得，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x的方程，然后让解的最小值大于零，据此列不等式求得a的取值范围；由（1）可知，再根据二次函数的性质确定n的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线顶点坐标为，， ∴，解得：或， ∵， ∴． （2）①证明：略； ②解：当，即，由题意可知该方程的根都是大于零的实数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程的最小解为， ∴，解得：， ∴； 由（1）可得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为， ∴当时，n随a的增大而减小， ∴当，n随a的增大而减小， ∵当时，n有最大值；当时，n有最小值； ∴的取值范围为． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点A为二次函数图象上点O与点P之间的一点，过点A作x轴的垂线，交于点M，交x轴于点N． (1)若点P为该二次函数图象的顶点． ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． (2)若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为，且，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；②当时，线段的长度取得最大值 (2) 【分析】（1）①根据二次函数的性质和待定系数法求解即可； ②先求出正比例函数的表达式为，设点M的坐标为，则点A的坐标为，列出关于的解析式，利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象经过点，求出，令，求出，．然后根据和求解即可． 【详解】（1）解：①∵点为二次函数图象的顶点， ∴可得方程组 解得 ∴二次函数的表达式为． ②正比例函数的图象经过点， ，解得． ∴正比例函数的表达式为． 设点M的坐标为，则点A的坐标为， ． ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：a的取值范围是． ∵二次函数的图象经过点， ， 化简，得． 令，则， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，且， ∴． ， ，即． ， 解得． ， ∴a的取值范围是． 13．2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检＋电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数（人）随时间（分钟）变化的图象（图象段为抛物线，段与轴重合，对应）．请根据图象回答： (1)时，等待安检的球迷有多少人； (2)当时，求等待人数y与x的函数关系式； (3)从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？ 【答案】(1)245人 (2) (3) 【分析】（1）观察图象，对应，对应，此时； （2）写出抛物线的顶点式解析式，代入，求出，即可得到y与x的函数关系式； （3）当时，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队，求解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：观察图象，对应，对应，此时， 时，等待安检的球迷有245人； （2）解：观察图象得，， 所以设抛物线的解析式为（）， 把代入抛物线的解析式中，得， 解得， 所以抛物线的解析式为（）； （3）解：由（2）知，抛物线的解析式为， 令，则， 解得或（不合题意，舍去）， 答：从开始65分钟后，即从开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队． 14．已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写<、=或>）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)=；>；< (2) (3)b的值为或 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由的最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 是由向下平移1个单位得到，且与x轴交点的坐标分别为，，， ，且， ，，； （2）解： ，， ， 由（1）可知：， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得 （不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得或（不符合题意，舍去）， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 15．抛物线经过点． (1)求c的值； (2)已知B是x轴上方的抛物线上一点，轴，垂足为H，且 ①求证：为定值； ②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得的面积相等，求该抛物线的函数表达式． 【答案】(1) (2)①证明：设， 点在轴上方， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ，为定值． ②抛物线的函数表达式为或 【分析】（1）把点代入抛物线，即可求解； （2）①设，则，根据，得到，因此，从而可推出，得到，即可证明，为定值； ②根据同底三角形面积相等得点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于，结合交点个数要求，利用一元二次方程判别式求出b的值，即可得到抛物线解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）①略； ②∵的面积相等，且它们有公共边，在x轴上， ∴点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于， ∴点B，C，D是直线或直线与抛物线的交点， 由方程组得， ∵， ∴该方程总有2个不同实根，对应抛物线上2个点，其中一个为B，因此异于B有1个点满足条件． 由方程组得， ∵要求异于B共有2个点满足条件， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为或． 16．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据： （秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 … （米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 … （米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 … (1)探究与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．求出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求发出的乒乓球经过多少秒落在桌面上？ (3)球网高度为0.14米，球桌长（）米，若乒乓球弹起后，其运动路线仍是抛物线且与原抛物线形状相同，若球弹起后在最高点击球，球沿直线擦网而过扣杀到原点，直接写出乒乓球落在桌面上弹起后的抛物线顶点的横坐标． 【答案】(1)， (2)秒 (3) 【分析】（1）观察表格数据，与的比值恒为2.5，故关于为一次函数．与的数据关于对称，顶点为，故关于为二次函数，用顶点式求解． （2）令求出乒乓球落在桌面上时与端点的水平距离，再由求出时间． （3）形状相同"即二次项系数不变．设弹起后抛物线顶点为，击球路线为过原点和球网上端中点的直线，由此得与的关系．再利用抛物线过落地点列方程求． 【详解】（1）解：由表格数据可知，， 关于的函数解析式为． 由表格数据可知，关于的函数图象关于直线对称，顶点为， 可设， 将代入， 得， 解得：， 关于的函数解析式为． （2）解：当时，， ， ， 解得，（舍去）， 乒乓球落在桌面上时，与端点的水平距离为2.5米． ， ， ， 发出的乒乓球经过秒落在桌面上． （3）解：弹起后抛物线与原抛物线形状相同， 二次项系数为． 设弹起后抛物线的顶点坐标为， 则． 球在最高点（即顶点处）击球，沿直线擦网而过扣杀到原点， 扣杀路线为过点和的直线． 设直线解析式为， 将代入，得， 解得， 扣杀路线为． 顶点在直线上， ． 由（2）知乒乓球落在桌面上时的坐标为， 将代入， 得， 解得：， 球从处弹起后向原点方向运动，顶点横坐标应满足， （舍去）， ，符合题意， 乒乓球落在桌面上弹起后的抛物线顶点的横坐标为． 17．某校数学小组开展以“10米跳台跳水路线”为主题的综合实践活动． 研究背景：跳水路线所在的平面与水面垂直，且不考虑空气阻力． 建立方法： 以水面所在直线为x轴，跳台最前端点A垂直水面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息：①某次训练中运动员的重心相对于水面的高度与水平距离的对应值如下表： 水平距离 0 1 1.1 1.2 1.5 … 高度 10 10 9.78 9.52 8.5 … ②数学小组借助计算机画图软件，发现此次跳水路线是抛物线的一部分． ③运动员起跳后达到最高点时的重心相对水面的高度为且．从达到最高点开始计时，他的重心相对水面的高度与时间之间满足． 建立模型 (1)求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； 应用模型 (2)从达到最高点开始计时，求他的重心相对水面的高度为所用的时间； (3)运动员进行第二次跳水训练，此次他的重心相对于水面的高度与水平距离的关系为．若他从达到最高点开始，至他的重心入水前需要完成某个动作，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的数据及抛物线，将，代入抛物线的解析式即可； （2）首先，将转化为顶点式，得到当时，，进而得到，再由，得到，解得，，(舍去)，即可得出答案； （3）根据题意得到，可知当时，，进而得，再由当时，，得到，当时，，得，综上，即可得出结论． 【详解】（1）解：将，代入，得，解得． 与的函数解析式是； （2）解：， ， 抛物线开口向下， 当时，． ． 当时，，解得，，(舍去) 他的重心相对水面的高度为所用的时间是； （3）解：， ， 当时，． ． 当时，， ， 当时，， ． ∴n的取值范围为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 二次函数与一元二次方程（知识点+7题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求抛物线与x轴的交点坐标 题型2 求抛物线与y轴的交点坐标 题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4 抛物线与x轴的交点问题 题型5 求x轴与抛物线的截线长 题型6 图象法确定一元二次方程的近似根 题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数与一元二次方程的内在联系 抛物线与x轴的交点判别式的几何意义 利用二次函数图像解一元二次方程 二次函数与一元二次不等式的初步联系 函数与方程思想 1. 经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，理解两者的内在联系，知道一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标。 2. 掌握一元二次方程根的判别式Δ=b^2-4ac的几何意义，能根据判别式的值判断抛物线与x轴的交点个数，也能根据抛物线与x轴的交点情况求参数的取值范围。 3. 能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，体会“数形结合”是解方程的重要方法，理解代数问题与几何问题的相互转化。 4. 初步了解二次函数与一元二次不等式的关系，能通过观察二次函数的图像，直接写出简单一元二次不等式的解集。 5. 能综合运用二次函数的图像与性质、一元二次方程的知识解决实际问题和代数综合题，发展函数与方程思想和数形结合能力。 学习重点：二次函数与一元二次方程的内在联系，判别式的几何意义，利用二次函数图像求一元二次方程的近似解。 学习难点：理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者之间的相互转化关系，数形结合思想在函数与方程综合问题中的灵活应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数与一元二次方程的基本关系 核心结论：对于二次函数（），当时，函数转化为一元二次方程。 方程的实数根就是抛物线与轴交点的横坐标。 数学语言： 若是方程的根，则点是抛物线与轴的交点。 即时即练 1．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【易错提醒】 切勿混淆抛物线与x轴、y轴的交点：与x轴交点对应y=0，与y轴交点对应x=0（坐标为(0,c)） 只有当y=0时，二次函数才转化为一元二次方程，y取其他非零值时对应一元二次方程的解是抛物线与水平线y=k的交点横坐标 知识点02 抛物线与x轴的交点个数和判别式的关系 对于二次函数（），判别式的符号决定了抛物线与轴的交点个数： 判别式的符号 一元二次方程根的情况 抛物线与轴的交点个数 有两个不相等的实数根 2个不同的交点 有两个相等的实数根 1个公共点（顶点） 没有实数根 0个交点 即时即练 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【易错提醒】 时是一个公共点（顶点在轴上），不是没有交点，也不是两个不同的交点 时，方程没有实数根，但二次函数本身仍然存在，抛物线与轴没有交点 此结论仅适用于抛物线与轴的交点，与轴的交点个数始终为1个（坐标） 知识点03 利用二次函数图像求一元二次方程的近似根 方法：夹逼法 画出二次函数的图像，确定抛物线与轴交点的大致位置 在交点两侧取两个靠近的自变量值和，计算对应的函数值和 若和异号，则在和之间必有一个根 逐步缩小自变量的取值范围，直到达到所需的精度 即时即练 3．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】 夹逼法的原理是：当函数值由正变负或由负变正时，中间必有一个根 近似根的精度取决于取值范围的大小，范围越小，精度越高 不要将函数值的大小与根的大小混淆，根是自变量的值，不是函数值 题型1 求抛物线与x轴的交点坐标 【例1】已知关于x的函数 (1)若该二次函数的对称轴是直线，求该函数的解析式； (2)当该函数与x轴的交点的横坐标为整数时，求整数m的值． 【技巧归纳】 解方程的根就是交点的横坐标，交点坐标为、 方程有两个不相等实根→两个交点；有两个相等实根→一个交点；无实根→无交点 优先用因式分解法解方程，其次用公式法 【变式1-1】 1．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【变式1-2】 2．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 题型2 求抛物线与y轴的交点坐标 【例2】抛物线 的对称轴是直线，与x轴负半轴的交点坐标为，且 与轴交于点，则下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 交点坐标恒为，常数项就是交点的纵坐标 当时，抛物线过原点 无需计算，直接看一般式的常数项即可得出 【变式2-1】 1．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】 2．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例3】将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【技巧归纳】 步骤：列方程→移项化为标准式→解方程 方程有几个解，就有几个对应的自变量值 实际问题中，需舍去不符合实际意义的解 【变式3-1】 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【变式3-2】 2．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 题型4 抛物线与x轴的交点问题 【例4】若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 【技巧归纳】 →抛物线与x轴有两个不同的交点 →抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上） →抛物线与x轴没有交点 隐含前提：二次项系数，否则是一次函数 【变式4-1】 1．将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 【变式4-2】 2．已知二次函数．（m为常数，） (1)求证：该函数图象与x轴总有两个公共点． (2)设该函数图象与x轴交于A，B两点．若，求线段的长的取值范围． 题型5 求x轴与抛物线的截线长 【例5】若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【技巧归纳】 通用公式： 截线长只与和有关，与抛物线的对称轴位置无关 已知截线长，可反推的值，进而求参数 【变式5-1】 1．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【变式5-2】 2．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)过点与y轴平行的直线交抛物线于点B，若，求t的值； (3)若点，为二次函数图象上的两点，且，求的最大值． 题型6 图象法确定一元二次方程的近似根 【例6】二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【技巧归纳】 步骤：画出抛物线→找到与x轴交点的大致位置→代入区间端点计算函数值 当时，时，则根在和之间 利用抛物线的对称性，可快速确定另一个根的范围 通常精确到十分位即可满足题目要求 【变式6-1】 1．数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【变式6-2】 2．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例7】已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【技巧归纳】 交点个数=方程实数根的个数 交点在x轴正半轴→根为正；在负半轴→根为负；在原点→有一个根为0 顶点在x轴上→方程有两个相等的实数根 可结合图象判断根的大小关系、正负性 【变式7-1】 1．如图，二次函数与轴，轴分别交于，两点，对称轴为直线，一次函数的图象也经过，两点，则下列结论错误的是(     )    A． B．当时， C．方程有两个不相等的实数根 D．二次函数的图象的最低点的坐标为 【变式7-2】 1．已知二次函数（）的图象经过点和． (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)求证：无论a取何值，方程总有实数根． (3)直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 2．抛物线与轴交点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 4．函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 5．如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 6．在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 7．已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 8．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象与x轴的一个交点在和之间，且对称轴为直线，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时，y的值随x值的增大而增大 10．已知二次函数的图象分别经过点，点，且顶点在第四象限，下列说法中，正确的是（     ） A．该函数图象开口向下 B．该函数图象与x轴只有一个交点 C．a的取值范围是 D．当时，y随x的增大而增大 11．如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 12．对于题目“一段抛物线与直线有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是，乙的结果是或4，则（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 13．关于抛物线(是常数)，以下结论中错误的是() A．抛物线的顶点在一条定直线上运动 B．若点，在抛物线上，则 C．无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 D．若，是抛物线与轴交点的横坐标，则的值为 14．已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点，，其中．下列结论中错误的是（     ） A． B．若关于的方程有实数根，则 C． D．不等式的解集是 二、填空题 1．抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________． 2．二次函数与轴交于，则的值为______． 3．若二次函数与x轴的交点分别为，，则______． 4．已知二次函数（为常数）的图象与轴的两个交点为，，若，则的值是__________ 5．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 6．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 7．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 8．抛物线 （a，b，c为常数，）经过，两点，下列四个结论： ①一元二次方程 的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数t，总有； ④若一元二次方程（p为常数）有两实数根m，n，则． 其中正确的结论是_________．（填序号） 9．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 10．抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③关于x的一元二次方程的两根为，；④当时，二次函数有最大值．其中正确的有_______． 11．如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是________． 三、解答题 1．用描点法画函数的图象，并完成下列问题： (1)求曲线与x轴、y轴交点坐标； (2)根据图象分析，y随x变化而变化的情况． x 0 1 2 y 2 1 1 2．已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 3．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 4．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 5．如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画． (1)求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标； (2)如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标． 6．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为6． (1)直接写出两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式． 7．已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 8．已知抛物线 （b，c为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式及顶点坐标； ②已知，在该抛物线上，当时，求m的取值范围； (2)若该抛物线与x轴的两个交点的横坐标的和为3，直线在第四象限内有两个交点，请直接写出n的取值范围． 9．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 10．如图是某跳水运动员在进行跳水训练时的截面图，运动员身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． (1)画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点，）入水时才能达到训练要求，直接写出的取值范围是__________． 11．已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时， ； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点A为二次函数图象上点O与点P之间的一点，过点A作x轴的垂线，交于点M，交x轴于点N． (1)若点P为该二次函数图象的顶点． ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． (2)若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为，且，请直接写出a的取值范围． 13．2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检＋电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数（人）随时间（分钟）变化的图象（图象段为抛物线，段与轴重合，对应）．请根据图象回答： (1)时，等待安检的球迷有多少人； (2)当时，求等待人数y与x的函数关系式； (3)从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？ 14．已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写<、=或>）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 15．抛物线经过点． (1)求c的值； (2)已知B是x轴上方的抛物线上一点，轴，垂足为H，且 ①求证：为定值； ②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得的面积相等，求该抛物线的函数表达式． 16．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据： （秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 … （米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 … （米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 … (1)探究与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．求出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求发出的乒乓球经过多少秒落在桌面上？ (3)球网高度为0.14米，球桌长（）米，若乒乓球弹起后，其运动路线仍是抛物线且与原抛物线形状相同，若球弹起后在最高点击球，球沿直线擦网而过扣杀到原点，直接写出乒乓球落在桌面上弹起后的抛物线顶点的横坐标． 17．某校数学小组开展以“10米跳台跳水路线”为主题的综合实践活动． 研究背景：跳水路线所在的平面与水面垂直，且不考虑空气阻力． 建立方法： 以水面所在直线为x轴，跳台最前端点A垂直水面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息：①某次训练中运动员的重心相对于水面的高度与水平距离的对应值如下表： 水平距离 0 1 1.1 1.2 1.5 … 高度 10 10 9.78 9.52 8.5 … ②数学小组借助计算机画图软件，发现此次跳水路线是抛物线的一部分． ③运动员起跳后达到最高点时的重心相对水面的高度为且．从达到最高点开始计时，他的重心相对水面的高度与时间之间满足． 建立模型 (1)求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； 应用模型 (2)从达到最高点开始计时，求他的重心相对水面的高度为所用的时间； (3)运动员进行第二次跳水训练，此次他的重心相对于水面的高度与水平距离的关系为．若他从达到最高点开始，至他的重心入水前需要完成某个动作，求n的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $