专题07函数与认识一次函数暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题07函数与认识一次函数暑假预习讲义 1. 辨析常量变量：在实际变化情境中，区分数值固定的常量、数值发生改变的变量，理解变化过程中变量间的依存关系。 2. 理解函数核心定义：牢记函数判定关键：对于自变量x每一个确定的值，因变量y有唯一值与之对应；分清自变量、因变量，能判定两个变量是否构成函数关系。 3. 掌握函数三种表达形式：看懂关系式、表格、图像三类函数表示方法，可在三种形式之间简单互相转化，读取变量对应数值。 4. 确定自变量取值范围：结合代数式要求、实际生活场景，判断自变量可取数值，剔除不符合现实意义的取值。 5. 识记一次函数定义：熟记一次函数标准形式y=kx+b（k、b为常数，k≠0），明确自变量最高次数为1、且为整式解析式两大硬性条件。 6. 理清正比例函数从属关系：知晓b=0时，y=kx（k≠0）为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 7. 函数类型判定：给出各类代数式，快速区分一次函数、正比例函数、非一次函数；根据函数定义，求解解析式中参数的取值。 8. 实际问题列函数式：分析行程、收费、销售等生活化问题，提炼数量关系，列出一次函数关系式，并标注自变量合理范围。 9. 函数值基础运算：已知自变量x取值，代入解析式求出对应y的函数值；已知函数值，反向求解自变量的值。 10. 规避高频易错点：判定函数时忽略“y唯一对应x”；一次函数忘记k≠0限制；混淆正比例函数与一次函数包含关系；实际列式遗漏自变量取值范围。 11. 搭建函数思维：初步建立变量思维，告别固定算数思维，为后续一次函数图像、性质及综合应用打好理论基础。 预习必备 知识点梳理 1.常量与变量 2.函数的定义 3.自变量的取值范围 4.函数的三种表示方法 5.函数值 6.一次函数与正比例函数定义 7.函数图象的画法 8.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.函数的概念 2.求自变量的取值范围 3.求自变量的值或函数值 4.函数的三种表示方法 5.函数解析式 6.函数图象识别 7.从函数的图象获取信息 8.动点问题的函数图象 9.正比例函数的定义 10.识别一次函数 11.由一次函数定义求参数 12.求一次函数自变量或函数值 13.列一次函数解析式并求值 强化题型 解答题6题 知识点 01 变量与常量 常量：在某一变化过程中，数值始终固定不变的量。 变量：在某一变化过程中，数值可以发生改变的量。 区分关键：看量在变化过程中是否固定。 例：汽车匀速 60km/h 行驶，路程s=60t，速度 60 是常量，时间t、路程s是变量。 细分变量 自变量：主动发生变化的量； 因变量：随着自变量变化而随之改变的量。 知识点 02 函数的定义（核心概念） 1.定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x的值，相应地就唯一确定一个y的值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 2.判定三要素 ① 存在两个变量； ② x取一个确定值； ③ 有且只有一个y与之对应（一对多不是函数，一对一、多对一才是函数）。 反例辨析：y2=x，当x=4时，y=2或y=-2，一个x对应两个y，不是函数。 知识点 03 自变量的取值范围（必考） 1. 纯代数式型（无实际背景） 代数式类型 取值限制规则 举例 整式（一次、多项式） 自变量可取全体实数 y=2x+3，x任意实数 分式（分母含x） 分母≠0 y=，x≠2 二次根式（根号内含x） 被开方数≥0 y= x≥-1 分式 + 二次根式结合 同时满足分母≠0、被开方数≥0 y=，x>3 2. 实际应用型 自变量取值除满足式子要求，还要贴合现实意义：长度、人数、时间不能为负数，人数为正整数等。 例：购买铅笔，总价y=0.5x，x代表铅笔支数，x取正整数。 知识点 04 函数的三种表示方法（对比表格） 表示方法 书写形式 优点 缺点 适用场景 解析式法 等式y=kx+b用代数式表示变量关系 简洁准确，方便计算函数值 无法直观观察变化趋势 计算、求值类题目 列表法 表格罗列多组x、y对应值 数值清晰，直接读取对应值 只能列出有限组值，无法体现整体变化 统计数据、实验记录 图象法 坐标系内点连成的图形 直观看到增减、最值、变化规律 读数存在误差，无法精确计算 观察变化趋势、数形结合题 知识点 05 函数值 1.定义：当自变量x取指定数值时，代入解析式计算得到的对应的y数值，叫做函数值。 2.求函数值步骤： 1 把指定x代入解析式； ② 按运算法则计算，求出y； 3.已知函数值求自变量：令y=已知数，解方程求x。 知识点06:一次函数与正比例函数定义 1.一次函数 形如 y=kx+b(k、b)为常数，k≠0）的函数，x是自变量，y是x的一次函数。 2.正比例函数 当一次函数中 b=0 时，式子简化为 y=kx（k为常数，(k≠0），叫做正比例函数。 3.二者从属关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 左图一次函数 右图正比例函数 4.一次函数判定步骤 (1)整理式子，化为y=含x项+常数的形式； (2)x的最高次数必须为 1； (3)x的系数k不能等于 0； (4)满足以上两点即为一次函数；常数项b=0时为正比例函数。 举例判断 y=3x：k=3≠0，b=0 → 正比例函数（也是一次函数） y=-2x+5：k=-2≠0，b=5 → 普通一次函数 y=x2+1：x次数为 2 → 不是一次函数 y=：x在分母，次数-1 → 不是一次函数 5.含参数的一次函数求值题型（难点） 解题核心：根据定义列出限制条件，联立方程求解字母。 例：已知y=(m-2)x+3是一次函数，求m取值 解：一次函数要求k≠0，即m-2≠0，得m≠2。 知识点7:函数图象的画法（三步） 1.描点法作图 2.从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 知识点08：高频易错点 1.❌ 误区 1：认为 “只要有两个变量，就是函数” ✅ 正解：必须满足 “x 每一个确定值，y 有唯一确定值”，一对多不是函数（比如：y=±√x 不是函数）。 2.❌ 误区 2：求自变量取值范围，忽略实际意义 ✅ 正解：比如 “y 表示购买笔记本的总价，x 表示数量”，x 必须是正整数（不能是负数、小数）。 3.❌ 误区 3：解读图象时，横纵坐标颠倒 ✅ 正解：横坐标是 x（自变量），纵坐标是 y（因变量），不能搞反。 4.❌ 误区 4：绘制图象时，随意连接点、不考虑取值范围 ✅ 正解：必须平滑连接，实际情境中，要排除不符合题意的点（比如负数点）。 题型1.函数的概念 【典例】下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列图象中，不能表示是的函数的是_____．（填序号） 【跟踪专练2】下列表达形式中，能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． 年份x 2010 2020 人口数y/亿 13.71 14.12 D．   题型2.求自变量的取值范围 【典例】在函数中，自变量的取值范围是______． 【跟踪专练1】函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】函数中的取值范围为___________． 【跟踪专练3】已知是关于的函数，函数图象如图，则当时，自变量的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 题型3.求自变量的值或函数值 【典例】在函数中，当时，函数值____________． 【跟踪专练1】下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】为了鼓励居民节约用电，晋中市采用居民阶梯电价以“双月”为周期计算每户家庭电费，如图所示．小红根据下表给出了每户家庭双月的电费（单位：元）与用电量（单位：度）之间的关系式：．已知小红家双月用电量为400度，则她家双月的电费一共是__________元． 【跟踪专练3】定义：对任意的，都有．例如：当时，，即；当时，，即．当时，则，解得，即．下列选项中错误的是（     ） A． B．当时，则 C． D．当时，则 题型4.函数的三种表示方法 【典例】表示变量之间关系的方法有列表法、______、______． 【跟踪专练1】科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 温度/℉ 76 78 80 82 84 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 144 152 160 168 176 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为88℉时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．190 D．192 【跟踪专练2】如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 【跟踪专练3】下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   题型5.函数解析式 【典例】已知正方形的边长为x，则其周长y关于边长x的函数解析式为________． 【跟踪专练1】一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（）和搬运货物的重量y（）记录如下表： 搬运时间x（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量y（） 160 250 340 430 … 则y与x之间的关系式为________． 【跟踪专练3】定义符号函数则（     ） A． B． C． D． 题型6.函数图象识别 【典例】如图所示的是我省某市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的最高气温为______． 【跟踪专练1】下列图象能近似地刻画苹果开始下落到落地前的过程中速度与时间的关系的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【跟踪专练3】下列曲线中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 题型7.从函数的图象获取信息 【典例】环卫工打扫公园，某天上午累计打扫面积与工作时间的函数关系图象如下．已知这天上午环卫工打扫中途休息了一段时间．由图象可知，环卫工休息之后每小时打扫的面积为___________． 【跟踪专练1】如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（     ） A．B． C．D． 【跟踪专练2】某物理学习小组探究甲，乙，丙，丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度按照从小到大的顺序为________． 【跟踪专练3】一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水的深度与注水时间的关系如图所示．当池中水的深度达到警戒水位时，水泵会自动报警，并且会改变注水的速度．根据图象，下列说法错误的是（     ） A．注水前，蓄水池水的初始深度为0.2米 B．水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C．注水时间为1.6小时时水泵报警 D．注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.2米 题型8.动点问题的函数图象 【典例】如图①，在长方形中，动点P从点B出发，沿折线匀速运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系如图②所示，则长方形的面积为__________． 【跟踪专练1】如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，点P从点B出发，沿方向运动，经过D，C两点到点B停止，点P的速度为，时点P改变速度，速度变为．点P运动过程中的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系图像如图②所示． __________，__________，__________． 【跟踪专练3】七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A．B． C．D． 题型9.正比例函数的定义 【典例】下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【跟踪专练2】已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 【跟踪专练3】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型10.识别一次函数 【典例】下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【跟踪专练2】下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型11.由一次函数定义求参数 【典例】函数是一次函数，则m的值为______． 【跟踪专练1】如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知：是关于的一次函数，则________． 【跟踪专练3】一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（　　） A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4 题型12.求一次函数自变量或函数值 【典例】若点在一次函数的图象上，则______． 【跟踪专练1】已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是________． 【跟踪专练3】定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 题型13.列一次函数解析式并求值 【典例】已知点是直线上一点，则点的坐标可以是__________． 【跟踪专练1】若点在一次函数图象上，则的值是________． 【跟踪专练2】“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 解答题 1．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系．根据表格，回答以下问题： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 (1)写出海拔高度11千米以内，气温与海拔高度的关系式：______； (2)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15千米时，求气温是多少？ 2．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … 5 25 20 … 3．书法是我国特有的一种传统艺术．小明暑假在家练习毛笔书法，他计划每天练习个字，若小明平均每分钟可以练习个字，则每天需要练习分钟，随的变化而变化． (1)是否是关于的函数？若是，请写出关于的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）；若不是，请说明理由； (2)若小明平均每分钟可以练习个字，则他每天需要练习多少分钟？ 4．已知函数． (1)当为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 5．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 6．如图1，在中，，，，动点P从点C出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，到达点D时停顿1秒，然后以原速继续运动．的面积y随点P运动的时间的关系图像如图2所示，请结合图像信息解答下列问题： (1)_________；线段_________；线段_________； (2)当x为时，求出的面积； (3)在点P的运动过程中，当的面积为4时，求出x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07函数与认识一次函数暑假预习讲义 1. 辨析常量变量：在实际变化情境中，区分数值固定的常量、数值发生改变的变量，理解变化过程中变量间的依存关系。 2. 理解函数核心定义：牢记函数判定关键：对于自变量x每一个确定的值，因变量y有唯一值与之对应；分清自变量、因变量，能判定两个变量是否构成函数关系。 3. 掌握函数三种表达形式：看懂关系式、表格、图像三类函数表示方法，可在三种形式之间简单互相转化，读取变量对应数值。 4. 确定自变量取值范围：结合代数式要求、实际生活场景，判断自变量可取数值，剔除不符合现实意义的取值。 5. 识记一次函数定义：熟记一次函数标准形式y=kx+b（k、b为常数，k≠0），明确自变量最高次数为1、且为整式解析式两大硬性条件。 6. 理清正比例函数从属关系：知晓b=0时，y=kx（k≠0）为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 7. 函数类型判定：给出各类代数式，快速区分一次函数、正比例函数、非一次函数；根据函数定义，求解解析式中参数的取值。 8. 实际问题列函数式：分析行程、收费、销售等生活化问题，提炼数量关系，列出一次函数关系式，并标注自变量合理范围。 9. 函数值基础运算：已知自变量x取值，代入解析式求出对应y的函数值；已知函数值，反向求解自变量的值。 10. 规避高频易错点：判定函数时忽略“y唯一对应x”；一次函数忘记k≠0限制；混淆正比例函数与一次函数包含关系；实际列式遗漏自变量取值范围。 11. 搭建函数思维：初步建立变量思维，告别固定算数思维，为后续一次函数图像、性质及综合应用打好理论基础。 预习必备 知识点梳理 1.常量与变量 2.函数的定义 3.自变量的取值范围 4.函数的三种表示方法 5.函数值 6.一次函数与正比例函数定义 7.函数图象的画法 8.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.函数的概念 2.求自变量的取值范围 3.求自变量的值或函数值 4.函数的三种表示方法 5.函数解析式 6.函数图象识别 7.从函数的图象获取信息 8.动点问题的函数图象 9.正比例函数的定义 10.识别一次函数 11.由一次函数定义求参数 12.求一次函数自变量或函数值 13.列一次函数解析式并求值 强化题型 解答题6题 知识点 01 变量与常量 常量：在某一变化过程中，数值始终固定不变的量。 变量：在某一变化过程中，数值可以发生改变的量。 区分关键：看量在变化过程中是否固定。 例：汽车匀速 60km/h 行驶，路程s=60t，速度 60 是常量，时间t、路程s是变量。 细分变量 自变量：主动发生变化的量； 因变量：随着自变量变化而随之改变的量。 知识点 02 函数的定义（核心概念） 1.定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x的值，相应地就唯一确定一个y的值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 2.判定三要素 ① 存在两个变量； ② x取一个确定值； ③ 有且只有一个y与之对应（一对多不是函数，一对一、多对一才是函数）。 反例辨析：y2=x，当x=4时，y=2或y=-2，一个x对应两个y，不是函数。 知识点 03 自变量的取值范围（必考） 1. 纯代数式型（无实际背景） 代数式类型 取值限制规则 举例 整式（一次、多项式） 自变量可取全体实数 y=2x+3，x任意实数 分式（分母含x） 分母≠0 y=，x≠2 二次根式（根号内含x） 被开方数≥0 y= x≥-1 分式 + 二次根式结合 同时满足分母≠0、被开方数≥0 y=，x>3 2. 实际应用型 自变量取值除满足式子要求，还要贴合现实意义：长度、人数、时间不能为负数，人数为正整数等。 例：购买铅笔，总价y=0.5x，x代表铅笔支数，x取正整数。 知识点 04 函数的三种表示方法（对比表格） 表示方法 书写形式 优点 缺点 适用场景 解析式法 等式y=kx+b用代数式表示变量关系 简洁准确，方便计算函数值 无法直观观察变化趋势 计算、求值类题目 列表法 表格罗列多组x、y对应值 数值清晰，直接读取对应值 只能列出有限组值，无法体现整体变化 统计数据、实验记录 图象法 坐标系内点连成的图形 直观看到增减、最值、变化规律 读数存在误差，无法精确计算 观察变化趋势、数形结合题 知识点 05 函数值 1.定义：当自变量x取指定数值时，代入解析式计算得到的对应的y数值，叫做函数值。 2.求函数值步骤： 1 把指定x代入解析式； ② 按运算法则计算，求出y； 3.已知函数值求自变量：令y=已知数，解方程求x。 知识点06:一次函数与正比例函数定义 1.一次函数 形如 y=kx+b(k、b)为常数，k≠0）的函数，x是自变量，y是x的一次函数。 2.正比例函数 当一次函数中 b=0 时，式子简化为 y=kx（k为常数，(k≠0），叫做正比例函数。 3.二者从属关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 左图一次函数 右图正比例函数 4.一次函数判定步骤 (1)整理式子，化为y=含x项+常数的形式； (2)x的最高次数必须为 1； (3)x的系数k不能等于 0； (4)满足以上两点即为一次函数；常数项b=0时为正比例函数。 举例判断 y=3x：k=3≠0，b=0 → 正比例函数（也是一次函数） y=-2x+5：k=-2≠0，b=5 → 普通一次函数 y=x2+1：x次数为 2 → 不是一次函数 y=：x在分母，次数-1 → 不是一次函数 5.含参数的一次函数求值题型（难点） 解题核心：根据定义列出限制条件，联立方程求解字母。 例：已知y=(m-2)x+3是一次函数，求m取值 解：一次函数要求k≠0，即m-2≠0，得m≠2。 知识点7:函数图象的画法（三步） 1.描点法作图 2.从图象获取信息 看起点 / 终点：初始 / 结束状态； 看增减性：上升（y随x增大而增大）、下降（y随x增大而减小）； 看交点：两函数值相等的点； 看特殊点：最值点、与坐标轴交点。 知识点08：高频易错点 1.❌ 误区 1：认为 “只要有两个变量，就是函数” ✅ 正解：必须满足 “x 每一个确定值，y 有唯一确定值”，一对多不是函数（比如：y=±√x 不是函数）。 2.❌ 误区 2：求自变量取值范围，忽略实际意义 ✅ 正解：比如 “y 表示购买笔记本的总价，x 表示数量”，x 必须是正整数（不能是负数、小数）。 3.❌ 误区 3：解读图象时，横纵坐标颠倒 ✅ 正解：横坐标是 x（自变量），纵坐标是 y（因变量），不能搞反。 4.❌ 误区 4：绘制图象时，随意连接点、不考虑取值范围 ✅ 正解：必须平滑连接，实际情境中，要排除不符合题意的点（比如负数点）。 题型1.函数的概念 【典例】下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与它对应． 【详解】解：A、对于每一个x，都有唯一的y值与之对应，符合函数定义，故本选项符合题意； B、对于部分x值，有两个y值与之对应，不符合函数定义，故本选项不符合题意； C、对于的部分，有两个y值与之对应，不符合函数定义，故本选项不符合题意； D、对于圆内的x值，有两个y值与之对应，不符合函数定义，故本选项不符合题意． 【跟踪专练1】下列图象中，不能表示是的函数的是_____．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 【跟踪专练2】下列表达形式中，能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． 年份x 2010 2020 人口数y/亿 13.71 14.12 D．   【答案】C 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：A和B，在的取值范围内，对于的每一个确定的值，有两个值与其对应，故A和B不符合题意； C，能表示是的函数，故C符合题意； D，在的取值范围内，对于的每一个确定的值，有多个值与其对应，故D不符合题意． 题型2.求自变量的取值范围 【典例】在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意，得 ， 移项得， 系数化为得． 【跟踪专练1】函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练2】函数中的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可． 【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知是关于的函数，函数图象如图，则当时，自变量的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象和数据即可求出答案． 【详解】解：时，即轴上方的部分， 自变量的取值范围分两个部分是，． 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 题型3.求自变量的值或函数值 【典例】在函数中，当时，函数值____________． 【答案】 【分析】将给定的自变量的值代入函数解析式，依据有理数运算法则计算即可得到对应函数值． 【详解】解：把代入函数， 得． 【跟踪专练1】下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将各点横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】解：∵函数图象上的点满足函数解析式， ∴将各选项横坐标代入计算： A、当时，，故A不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，故B不符合题意； C、当时，，与点的纵坐标相等，故C符合题意； D、当时，，故D不符合题意． 【跟踪专练2】为了鼓励居民节约用电，晋中市采用居民阶梯电价以“双月”为周期计算每户家庭电费，如图所示．小红根据下表给出了每户家庭双月的电费（单位：元）与用电量（单位：度）之间的关系式：．已知小红家双月用电量为400度，则她家双月的电费一共是__________元． 【答案】 【分析】根据分段函数以及自变量取值范围，求出函数值． 【详解】解：根据题意得，当时，（元）． 【跟踪专练3】定义：对任意的，都有．例如：当时，，即；当时，，即．当时，则，解得，即．下列选项中错误的是（     ） A． B．当时，则 C． D．当时，则 【答案】C 【分析】根据给出的函数定义，通过代入求值和解分式方程，逐一判断选项正误即可解答． 【详解】解：已知对任意，，逐一验证选项： 对选项：，正确； 对选项：当时，，解得，经检验是该分式方程的解，正确； 对选项：，错误； 对选项：当时，，解得，经检验是该分式方程的解，正确． 题型4.函数的三种表示方法 【典例】表示变量之间关系的方法有列表法、______、______． 【答案】 解析式法 图象法 【详解】解：表示变量之间关系的常用方法有列表法、解析式法、图象法. 【跟踪专练1】科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录： 温度/℉ 76 78 80 82 84 蟋蟀每分钟鸣叫的次数 144 152 160 168 176 如果这种数量关系不变，那么当室外温度为88℉时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（    ） A．178 B．184 C．190 D．192 【答案】D 【分析】根据表中的数据可知，温度每升高2℉，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次，据此列式计算即可． 【详解】解：（次）， 即当室外温度为88℉时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是192． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，理清题意，正确列出算式是解题关键． 【跟踪专练2】如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 【跟踪专练3】下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义是在一个变化过程中有两个变量，对于每一个变量取一个值，有唯一值与其对应，就说是的函数，判断即可． 【详解】解：∵C选项的图象显示对于一个有两个值与其对应， ∴C选项不能表示是的函数． 题型5.函数解析式 【典例】已知正方形的边长为x，则其周长y关于边长x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据正方形周长公式，周长等于4倍边长，已知边长为，可直接推导周长关于边长的函数解析式. 【详解】解：正方形的周长等于倍边长，正方形边长为，且， ∴正方形周长y关于边长x的函数解析式为. 【跟踪专练1】一个水箱里装有30升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2升／分钟，则水箱中剩余水量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余水量等于总水量减去流出的水量，先求出t分钟流出的水量，再列出函数关系式即可求解． 【详解】∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的水量为升， 又∵剩余水量总水量流出水量，总水量为升， ∴． 【跟踪专练2】在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（）和搬运货物的重量y（）记录如下表： 搬运时间x（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量y（） 160 250 340 430 … 则y与x之间的关系式为________． 【答案】 【分析】观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加90千克，据此求解即可． 【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加90千克， ∴. 【跟踪专练3】定义符号函数则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 题型6.函数图象识别 【典例】如图所示的是我省某市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的最高气温为______． 【答案】 【分析】观察图象可知横坐标表示时间，纵坐标表示温度，再根据温度随着时间的变化可得答案． 【详解】解：观察图象可知这一天的最高温度在之间是． 【跟踪专练1】下列图象能近似地刻画苹果开始下落到落地前的过程中速度与时间的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：苹果开始下落到落地前的过程中，速度从0开始，逐渐增大， 故只有C选项的图象符合题意. 【跟踪专练2】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 【跟踪专练3】下列曲线中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于两个变量，若对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就叫做的函数，据此可得答案． 【详解】解：A、B、C三个选项中，对于的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； D选项中，对于的某些取值， 都有两个确定的值与之对应，故不是的函数 ． 题型7.从函数的图象获取信息 【典例】环卫工打扫公园，某天上午累计打扫面积与工作时间的函数关系图象如下．已知这天上午环卫工打扫中途休息了一段时间．由图象可知，环卫工休息之后每小时打扫的面积为___________． 【答案】50 【分析】由图象可知，休息后，环卫工2小时的打扫面积为，进行求解即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（     ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据小明的运动过程分段分析离家距离随时间的变化情况，重点关注时间节点和距离变化趋势． 【详解】解：根据小明的运动过程分段分析离家距离随时间的变化情况如下： 第一阶段：从家走到报亭， 走了20分钟到达离家900米的报亭， 在到分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标900的线段； 第二阶段：在报亭看报，看了10分钟报纸，此时离家距离不变， 在到分钟内，图象应为平行于轴的水平线段； 第三阶段：返回家，用了15分钟返回到家， 在到分钟内，图象应为从纵坐标900下降至0的线段，且终点横坐标为45， 观察各选项图象，只有D选项符合上述特征． 【跟踪专练2】某物理学习小组探究甲，乙，丙，丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度按照从小到大的顺序为________． 【答案】丁乙丙甲 【详解】解：甲物质的密度为（千克/立方米）； 乙物质的密度为（千克/立方米）； 丙物质的密度为（千克/立方米）； 丁物质的密度为（千克/立方米）； ， 四种物质中密度按照从小到大的顺序为丁乙丙甲． 【跟踪专练3】一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水的深度与注水时间的关系如图所示．当池中水的深度达到警戒水位时，水泵会自动报警，并且会改变注水的速度．根据图象，下列说法错误的是（     ） A．注水前，蓄水池水的初始深度为0.2米 B．水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C．注水时间为1.6小时时水泵报警 D．注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.2米 【答案】C 【详解】解：注水前，蓄水池水的初始深度为米，故A选项正确，不符合题意； 水泵报警前的注水速度是每小时米，故B选项正确，不符合题意； 由图象可得，当时，，即注水时间为小时时水泵报警，故C选项错误，符合题意； 注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时米，故D选项正确，不符合题意． 题型8.动点问题的函数图象 【典例】如图①，在长方形中，动点P从点B出发，沿折线匀速运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系如图②所示，则长方形的面积为__________． 【答案】12 【详解】解：根据题意得，当点P在上时，y随x的增大而增大；当点P在上时，y为定值；当点P在上时，y随x的增大而减小， ∴由图像可得，，， ∴长方形的面积为． 【跟踪专练1】如图，小虎在篮球场上从点O出发，沿着O→A→B→C→O的路径匀速跑动． 下列选项能刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t的关系的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据函数图象理解题意即可解答． 【详解】解：由题意分析可知，在O→A是直线且匀速奔跑，s是由小变大；在A→B→C是在圆弧上，s是不变的；在C→O是直线且匀速奔跑，s是由大变小；且A→B→C较长，所以符合题意的是B． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，点P从点B出发，沿方向运动，经过D，C两点到点B停止，点P的速度为，时点P改变速度，速度变为．点P运动过程中的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系图像如图②所示． __________，__________，__________． 【答案】 5 4 【分析】根据a秒时的面积可求a的值，由秒时，点P与点D重合，利用路程速度时间，即可求出k的值，由时间路程速度即可求出b的值； 【详解】解：根据图像可得：a秒时的面积为12，即， ， 解得：， ， 秒时，点P与点D重合，秒， ； 点P从点D运动到点B的速度为每秒， ， 长方形中，， ， 则，， 【跟踪专练3】七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】根据题意将行程分为去程、参观、返程三个阶段，分别分析离学校的距离y随时间x的变化情况即可得到答案． 【详解】解：第一阶段：从学校出发匀速行驶，离学校的距离y随时间x的增大而增大，图象为从原点出发的上升线段； 第二阶段：参观博物馆，离学校的距离y保持不变，图象为平行于x轴的水平线段； 第三阶段：按原路匀速返程，离学校的距离y随时间x的增大而减小，直至回到学校，图象为下降线段； ∴符合题意的图象是先上升，再水平，最后下降， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 题型9.正比例函数的定义 【典例】下列各函数中表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，只需根据正比例函数的定义，逐一判断各选项函数的形式即可得到结果． 【详解】解：根据定义，形如（为常数，且）的函数叫做关于的正比例函数， ∵ 是一次函数，常数项不为，不符合正比例函数定义，排除A； ∵ 是二次函数，的次数为，不符合定义，排除B； ∵ 是反比例函数，不符合定义，排除C； ∵ 符合的形式，且，满足正比例函数定义； ∴ 选D． 【跟踪专练1】若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【答案】B 【分析】正比例函数要求常数项为0，且一次项系数不为0，据此列出条件计算即可得到的值． 【详解】解：是正比例函数， ，， 解得， 解，得或， 综上可得，m的值为5． 【跟踪专练2】已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，则当时，的值为_____． 【答案】0 【分析】根据正比例的定义设出和的表达式，得到关于的函数式，再代入已知的，的值求出待定系数，最后代入计算的值即可． 【详解】解：∵与成正比例，与成正比例， ∴，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，． 【跟踪专练3】已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数的定义可得到，，解之代入求值即可 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， ， 故选：D． 题型10.识别一次函数 【典例】下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（，为常数，且）的函数为一次函数，逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、，不是一次函数，不符合题意； B、中，不是一次函数，不符合题意； C、，符合的形式，其中，符合题意； D、未明确，若则不是一次函数，不符合题意． 【跟踪专练1】新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 【跟踪专练2】下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（，为常数，）的函数叫做一次函数，逐一所给函数是否符合该定义．本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握“一次函数的形式为（，、为常数）”是解题的关键． 【详解】解：函数①，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数②，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数③，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，不是一次函数． 函数④，可写成，自变量的次数是，不符合一次函数定义，不是一次函数． 综上，①②是一次函数，共个． 故选： ． 题型11.由一次函数定义求参数 【典例】函数是一次函数，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，列出关于的方程和不等式，即可求解的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 【跟踪专练1】如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数定义，自变量x的系数不为0，据此列不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意， 解得． 【跟踪专练2】已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 【跟踪专练3】一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（　　） A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4 【答案】B 【分析】把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9求解，注意m的取值范围． 【详解】解：把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9得m2﹣9＝0， 解得m＝3或m＝﹣3， ∵m+3≠0， ∴m＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，注意一次函数一次项系数不为0． 题型12.求一次函数自变量或函数值 【典例】若点在一次函数的图象上，则______． 【答案】3 【分析】已知点在一次函数图象上，把点代入，列一元一次方程求解的值． 【详解】解：将点代入，得， 解得． 【跟踪专练1】已知一次函数，下列各点在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式计算出y值，和点的纵坐标对比即可得到答案. 【详解】将各选项坐标依次代入验证： 选项A，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项B，把代入得，，该点不在函数图象上； 选项C，把代入得，，该点在函数图象上； 选项D，把代入得，，该点不在函数图象上． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】计算出当在直线上时a的值，再计算出当在直线上时a的值，即可得答案． 【详解】解：当点在直线上时，， 当在直线上时，， ∴当点在直线与直线之间时，的取值范围是． 【跟踪专练3】定义：对于给定的一次函数（k，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”．已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值为_____________． 【答案】或 【分析】本题考查新定义分段函数的求值问题，先根据题目给出的“衍生函数”定义写出一次函数的衍生函数，再根据点横坐标的取值范围分两种情况代入计算，验证解的合理性后即可得到的值. 【详解】解：由“衍生函数”的定义可知，一次函数的“衍生函数”为 ， 点在这个“衍生函数”的图象上， 分两种情况讨论： 当时，将点坐标代入得 ， 解得，满足，符合题意. 当时，将点坐标代入得 解得，满足，符合题意. 综上：的值为或. 题型13.列一次函数解析式并求值 【典例】已知点是直线上一点，则点的坐标可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为．（答案不唯一） 【跟踪专练1】若点在一次函数图象上，则的值是________． 【答案】 【详解】解：将点代入，得， 移项，得． 【跟踪专练2】“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 解答题 1．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系．根据表格，回答以下问题： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 (1)写出海拔高度11千米以内，气温与海拔高度的关系式：______； (2)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15千米时，求气温是多少？ 【答案】(1) (2)当气温为时，海拔高度是7千米；当海拔高度为时，气温是 【分析】（1）根据表格中气温随海拔高度变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （2）把代入中，求出h；根据海拔高度超过11千米，气温几乎不变，求出时的t值，进行解答即可． 【详解】（1）解：在的基础上，高度每增加1千米，气温降低， ∴； （2）解：当时，由， 解得； ∵海拔高度超过11千米，气温几乎不变， ∴当海拔高度为15千米时，气温与海拔高度为11千米时相同， 将代入， 则， 答：当气温为时，海拔高度是7千米；当海拔高度为千米时，气温是． 2．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 【答案】(1)2；30 (2) 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … 5 25 20 … (3) (4)骑行或时，东东与家相距 【分析】（1）由图象信息，即可求解； （2）由图象信息，即可求解； （3）由图象信息，可求出第小时这一段共走的路程及时间，再求速度即可，求第小时的速度，方法类似； （4）根据图象可以得到有两个时间点，再分别确定时间即可． 【详解】（1）解：从图象知：东东出发后到达离家最远的地方，此时离家； （2）略 （3）解：第小时的速度： （km/h）， 所以，． （4）解：去时：当时，代入得：，． 出发至返回途中：由图可知骑行4h时，东东与家相距也为20km， 所以当骑行或时，东东与家相距． 3．书法是我国特有的一种传统艺术．小明暑假在家练习毛笔书法，他计划每天练习个字，若小明平均每分钟可以练习个字，则每天需要练习分钟，随的变化而变化． (1)是否是关于的函数？若是，请写出关于的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）；若不是，请说明理由； (2)若小明平均每分钟可以练习个字，则他每天需要练习多少分钟？ 【答案】(1)是关于的函数，函数解析式为 (2)他每天需要练习分钟 【分析】（1）根据函数的定义：一般地，在一个变化过程中存在两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数．进行判断即可； （2）把代入（1）中的解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，当小明平均每分钟可以练习个字时，练习的时间y随x的变化而变化，且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，因此y是关于x的函数． 由得， 所以关于的函数解析式为． （2）解：当时，， 答：他每天需要练习30分钟． 4．已知函数． (1)当为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【答案】(1)当时，函数是一次函数 (2) 【分析】（1）根据一次函数的定义得到，且，求出即可； （2）求出一次函数解析式，再把代入求解函数值． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 解得， 当时，函数是一次函数； （2）将代入函数， 得， 当时，得， 当的函数值为． 5．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 【答案】(1)124 (2) (3) 【分析】（1）观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少，由此计算即可得出结果； （2）由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少，由此即可得出结果； （3）设双层部分的长度为，则单层部分长度为，根据背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少， ∴； （2）解：由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少， ∴， 即与之间的关系式为． （3）解：设双层部分的长度为，则单层部分长度为， 背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和， ， 解得， 故此时双层部分的长度． 6．如图1，在中，，，，动点P从点C出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，到达点D时停顿1秒，然后以原速继续运动．的面积y随点P运动的时间的关系图像如图2所示，请结合图像信息解答下列问题： (1)_________；线段_________；线段_________； (2)当x为时，求出的面积； (3)在点P的运动过程中，当的面积为4时，求出x的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)x的值为， 【分析】（1）根据点P在点C时，，根据三角形面积公式进行求解，再根据点P到达点D时停顿1秒并结合图可得，进而求解即可； （2）先求出，再根据三角形面积公式求解即可； （3）先求出，再分情况：点P在线段上时；点P在射线上时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在点C时，此时， ∵， ∴， ∴； ∵点P到达点D时停顿1秒， ∴由图可得，， ∵， ∴ 解得， ∴； （2）解：当时，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ①点P在线段上时，， ∴； ②点P在射线上时，， ∴； 综上所述，x的值为，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $