专题4.3 一次函数的图像（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题4.3 一次函数的图像（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、一次函数图像的基本概念 1. 函数图像定义：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 2. 一次函数图像的形状：一次函数的图象是一条直线，也称为直线 二、图像绘制方法 1. 描点法基本步骤： 列表：选取自变量x 的若干值，计算对应的函数值y ，列出表格。 描点：以表中每对对应值为坐标，在直角坐标系中描出相应的点。 连线：用平滑的直线连接所描的点。 2. 简便画法（两点法）： 通常选取直线与坐标轴的交点：与y 轴交点 。 对于正比例函数快速绘制。 三、图像与解析式的关系 1. k值的影响： 倾斜方向：当k > 0 时，直线从左到右上升，y 随x 的增大而增大；当k < 0 时，直线从左到右下降，y 随x 的增大而减小。 陡缓程度：|k| 越大，直线越陡峭；|k| 越小，直线越平缓。 2. b值的影响： 与y轴交点：直线与y 轴交于点(0, b) ，b 称为截距。 平移规律：一次函数y = kx + b 的图像可由正比例函数y = kx 平移得到：当b > 0 时，向上平移b 个单位；当b < 0 时，向下平移|b| 个单位。 3. 图像经过的象限： k > 0, b > 0 ：一、二、三象限 k > 0, b < 0 ：一、三、四象限 k < 0, b > 0 ：一、二、四象限 k < 0, b < 0 ：二、三、四象限 四、特殊一次函数图像 1. 正比例函数： 解析式，是一次函数当b = 0 时的特殊情况。 图像特征：经过原点(0, 0) 的直线。 性质：k > 0 时经过一、三象限；k < 0 时经过二、四象限。 2. 常函数： 解析式：y = b （k = 0 ），图像是平行于x 轴的水平直线，过点(0, b) 。 五、图像的应用 1. 判断函数增减性：根据k 的符号判断y 随x 的变化趋势。 2. 求解方程与不等式： 方程kx + b = 0 的解对应图像与x 轴交点的横坐标。 不等式kx + b > 0 （或< 0 ）的解集对应图像在x 轴上方（或下方）的x 取值范围。 3. 比较函数值大小：根据图像上点的位置关系比较函数值。 4. 解决实际问题：如行程问题、成本分析等，通过图像直观反映变量关系。 培优练习 一、选择题 1．若 abc<0，直线 不经过第四象限，则直线y=(a+b)x+c一定不经过(　　). A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】【解答】解： ∵ abc<0， ∴a，b，中有3个负因数或1个负因数， ∵直线 不经过第四象限， ∴，， ∴ab同号，ac异号， ∴a＞0，b＞0，c＜0， ∴a+b＞0， ∴ 则直线y=(a+b)x+c 经过一，三，四象限。 故答案为：B . 【分析】根据abc<0，以及直线 不经过第四象限，可得出a＞0，b＞0，c＜0，再根据有理数加法法则，可得出a+b＞0，故而可得出则直线y=(a+b)x+c 经过一，三，四象限，即可得出答案。 2．已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（　　） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】∵k是斜率，b是y轴上的截距，且一次函数经过点(-1，2)和(0，-1)， ∴， b=y-kx=-1-(-3)×0=-1， ∴一次函数的解析式为y=-3x -1. ∴当时，． 故答案选：C． 【分析】根据一次函数的解析式为y=kx+b可知，其中k是斜率，b是y轴上的截距，且一次函数经过点(-1，2)和(0，-1)，即可求出k和b的值，进而得到一次函数解析式，再将x=1代入即可求出m的值. 3．已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，四象限， 故答案选：A． 【分析】先确定出k、b符号，再根据一次函数的性质确定经过的象限. 4．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝kbx的图象一定经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【解析】【解答】解：根据一次函数的图象可得：k>0，b<0， ∴kb<0， ∴函数y＝kbx的图象一定经过第二、四象限， 故答案为：B. 【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可. 5．点和都在直线上，且，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：直线y=-5x+1中，y随着x的增大而减小，故当时，， 故选：D. 【分析】直线y=-5x+1中k<0，则随着x增大反而减小即可判断. 6．已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：， 当时，，即必过点 A．，，此时满足y随x的增大而增大，故A项正确，符合题意； B．，，此时不满足y随x的增大而增大，故B项错误，不符合题意； ，，在平行于轴的同一直线上，C，D不符合题意； 故答案为：A． 【分析】先得到一次函数的图象必过点，再根据一次函数的增减性逐项判断即可． 7．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，如图所示： ∵正方形的边长为1， ∴， ∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边的面积都是4， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， 故答案为：A 【分析】本题考查三角形面积的计算，求一次函数解析.设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，先根据图形得出，根据经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，可推出两边的面积都是4，再利用三角形面积公式得出，进而可求出，得出，把代入，可求出k的值，进而可选出答案． 8．在直角坐标系中，已知点A（，m），点B（3，n）是直线y＝﹣2x+1上的两点，则m，n的大小关系是（　　） A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 直线y＝﹣2x+1，k=-2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵ 点A（，m），点B（3，n）是直线y＝﹣2x+1上的两点， ， ∴m＞n， 故答案为：B。 【分析】根据一次函数的性质求出y随x的增大而减小，再根据判断求解即可。 二、填空题 9．对于正比例函数，当时，的最大值等于　 　． 【答案】12 【解析】【解答】解：由题意可得：k=3>0 ∴y随x的增大而增大 当时，在x=4处取得最大值 ∴3×4=12 ∴y的最大值为12 故答案为：12 【分析】根据正比例函数的性质即可求出答案. 10．将正比例函数y＝﹣3x的图象向上平移5个单位，得到函数　 　的图象. 【答案】y=-3x+5 【解析】【解答】解：原直线的k=-3，b=0；向上平移5个单位得到了新直线，那么新直线的k=-3，b=0+5=5. ∴新直线的解析式为y=-3x+5. 故答案为：y=-3x+5. 【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化，其规律是“左加右减自变量，上加下减常数项”，从而即可得出答案. 11．直线平行于直线，且过点，则其解析式为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： 由直线平行于直线 ，可知k=3， 所以直线y=kx+b=3x+b， 而过点(1，-2)，代入y=3x+b，即-2=3×1+b，解得b=-5， 所以直线的解析式为y=3x-5， 故填：y=3x-5. 【分析】由两直线平行，斜率相等可知k=3，且过点（1，-2），代入可解得b的值，进而写出直线的解析式. 12．已知一次函数y=ax+b(a≠0)的图象过点(-2，3)，且不经过第三象限，则a的取值范围是　 　，若2a+b是正整数，则a的值为　 　 【答案】；或 【解析】【解答】解：一次函数y=ax+b(a≠0)的图象过点(-2，3)， ∴-2a+b=3， 图象不经过第三象限， ∴a＜0，b=3+2a≥0， ∴， 若2a+b是正整数， 即4a+3是正整数， ∵， ∴-3＜4a+3＜3 ∴4a+3=1或4a+3=2， 解得：或. 故答案为：；或. 【分析】一次函数图象不经过第三象限，所以a＜0，b≥0，即可确定a的范围，再根据2a+b是正整数，进而确定a的值. 13．如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，直线交x轴于点，直线的函数表达式为，则直线的函数表达式为　 　． 【答案】y=-x+1 【解析】【解答】解：∵点P在直线与上，代入， ∴， ∴P（-1，2）， 设直线的函数表达式为：y=kx+b， ，解得：， ∴直线的函数表达式为：y=-x+1， 故答案为：y=-x+1． 【分析】先求出点P坐标，然后利用待定系数法求解析式即可． 三、解答题 14．已知，是一次函数图象上的两点． （1）若，两点的坐标分别是，，求这个一次函数的表达式； （2）若，两点的坐标分别是，，求的值． 【答案】（1）解：将，代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：将，代入，得 ， 解得 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将，两点的坐标代入（1）中的解析式求出值即可． （1）解：将，代入，得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：将，代入，得 ， 解得． 15．在平面直角坐标系 中， 直线 上有一点 A， 其横坐标为 1 ， 经过点 的直线交 轴负半轴于一点 ， 且 ， （1）求 的面积； （2）求经过点 且平分 面积的直线解析式. 【答案】（1）解：∵ 直线 上有一点 ， 其横坐标为 1 ， ∴y=2， ∴点A（1，2）， ∵OP=3， ∴， ∴△AOP的面积为3. （2）解：如图，设直线l交AO于点Q， ∵ 经过点P且平分△AOP的面积， ∴ 解之：yQ=±1， ∵点Q在第一象限， ∴yQ=1， 当y=1时2x=1， 解之： ∴点Q 设直线PQ的解析式为y=kx+b ∴ 解之： ∴直线PQ的函数解析式为 【解析】【分析】（1）将x=1代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，再利用三角形的面积公式求出△AOP的面积. （2）设直线l交AO于点Q，利用经过点P且平分△AOP的面积，可求出△POQ的面积，利用三角形的面积公式求出点Q的纵坐标，由此可得到点Q的横坐标，即可得到点Q的坐标，设设直线PQ的解析式为y=kx+b，将点P、Q的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到直线PQ的函数解析式. 16．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且. （1）求的值； （2）若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标. 【答案】（1）解：把代入中， 得，解得. （2）解：一次函数的图象与轴交于点，， ，，即. ， ， ， 点的坐标为. （3）解：. ①当时，点在原点的左侧，点的坐标为； 点在原点的右侧，点的坐标为； ②当时，点在原点的左侧，点的坐标为. 【解析】【解答】 解：（3）. ①当时， 点在原点的左侧，点的坐标为； 点在原点的右侧，点的坐标为； ②当时，点在原点的左侧，点的坐标为. 综上，点P的坐标为：，，， 故答案为：，，. 【分析】（1）将点A的坐标代入，再求出k的值即可； （2）利用求出AC的长，再结合点A的坐标可得OA的长，再求出OC的长即可得到点C的坐标； （3）先利用勾股定理求出BC的长，再分类讨论： ①当时，②当时， 再分别求出点P的坐标即可. 17．如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），已知直线y＝kx+b与x轴y轴分别交于点A（﹣2，0）、点B（0，﹣1），点C的坐标是（0，2）． （1）求直线AB的表达式． （2）设点D为直线AB上一点，且CD＝BD．求点D的坐标． 【答案】（1）解：∵直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、点B（0，﹣1）， ∴， 解得， ∴直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣1； （2）解：过点D作DH⊥BC，垂足为H，如图所示： ∵CD＝BD， ∴HC＝HB＝BC， ∵ B（0，﹣1），C（0，2） ∴BC＝3，OC=2 ∴CH＝， ∴OH＝， ∴把y＝代入直线y＝﹣x﹣1， 得＝﹣x﹣1，解得x＝﹣3 ∴D点坐标为（﹣3，）． 【解析】【分析】（1）将点 A（﹣2，0）、点B（0，﹣1） 分别代入直线y＝kx+b，可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而得到抛物线的解析式； （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，根据等腰三角形的三线合一得HC＝HB＝BC，由点B、C的坐标可得BC=3，从而得出CH＝，进而求出OH=，即得点D的纵坐标为，将y=代入直线y＝﹣x﹣1，算出对应的自变量x的值，从而得出点D的坐标. 18．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求一次函数解析式，并在图中画出一次函数图象； （2）点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线分别交正比例函数和一次函数于点，，当时，求的值． 【答案】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 画出解析式的图形如图； （2）解：∵ ∴，， ∵根据图形可知，在x轴的负半轴，一次函数的图象在正比例函数图象的上方， ∴点在点上方， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出函数的解析式，最后利用列表、描点、连线作出图形即可； （2）根据点在点上方，可得，再求出m的值即可. 19．已知是关于的一次函数，如表列出了这个函数部分的对应值： 1 2 0 （1）求这个一次函数的表达式． （2）求，的值． （3）已知点，和点，在该一次函数图象上，设，判断正比例函数的图象是否有可能经过第一象限，并说明理由． 【答案】（1）解：设， 当时，；时，． 据此列出方程组， 解得， 一次函数的解析式， （2）解：把代入，得到． 把代入得出，得出，解得：； （3）解：正比例函数的图象不可能经过第一象限， 理由：， 该一次函数随的增大而减小， 点，和点，在该一次函数图象上， ， ， 正比例函数的图象经过二、四象限，不经过第一象限． 【解析】【分析】（1）利用表中数据，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式. （2）分别将x=1和y=-4代入函数解析式，可求出m，n的值. （3）利用一次函数的性质可知该一次函数随的增大而减小，结合已知条件可求出t-3＜0，据此可作出判断. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 一次函数的图像（暑期预习衔接讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册 知识点梳理 一、一次函数图像的基本概念 1. 函数图像定义：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 2. 一次函数图像的形状：一次函数的图象是一条直线，也称为直线 二、图像绘制方法 1. 描点法基本步骤： 列表：选取自变量x 的若干值，计算对应的函数值y ，列出表格。 描点：以表中每对对应值为坐标，在直角坐标系中描出相应的点。 连线：用平滑的直线连接所描的点。 2. 简便画法（两点法）： 通常选取直线与坐标轴的交点：与y 轴交点 。 对于正比例函数快速绘制。 三、图像与解析式的关系 1. k值的影响： 倾斜方向：当k > 0 时，直线从左到右上升，y 随x 的增大而增大；当k < 0 时，直线从左到右下降，y 随x 的增大而减小。 陡缓程度：|k| 越大，直线越陡峭；|k| 越小，直线越平缓。 2. b值的影响： 与y轴交点：直线与y 轴交于点(0, b) ，b 称为截距。 平移规律：一次函数y = kx + b 的图像可由正比例函数y = kx 平移得到：当b > 0 时，向上平移b 个单位；当b < 0 时，向下平移|b| 个单位。 3. 图像经过的象限： k > 0, b > 0 ：一、二、三象限 k > 0, b < 0 ：一、三、四象限 k < 0, b > 0 ：一、二、四象限 k < 0, b < 0 ：二、三、四象限 四、特殊一次函数图像 1. 正比例函数： 解析式，是一次函数当b = 0 时的特殊情况。 图像特征：经过原点(0, 0) 的直线。 性质：k > 0 时经过一、三象限；k < 0 时经过二、四象限。 2. 常函数： 解析式：y = b （k = 0 ），图像是平行于x 轴的水平直线，过点(0, b) 。 五、图像的应用 1. 判断函数增减性：根据k 的符号判断y 随x 的变化趋势。 2. 求解方程与不等式： 方程kx + b = 0 的解对应图像与x 轴交点的横坐标。 不等式kx + b > 0 （或< 0 ）的解集对应图像在x 轴上方（或下方）的x 取值范围。 3. 比较函数值大小：根据图像上点的位置关系比较函数值。 4. 解决实际问题：如行程问题、成本分析等，通过图像直观反映变量关系。 培优练习 一、选择题 1．若 abc<0，直线 不经过第四象限，则直线y=(a+b)x+c一定不经过(　　). A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（　　） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 3．已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝kbx的图象一定经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 5．点和都在直线上，且，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 6．已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 7．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（　　） A． B． C． D． 8．在直角坐标系中，已知点A（，m），点B（3，n）是直线y＝﹣2x+1上的两点，则m，n的大小关系是（　　） A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n 二、填空题 9．对于正比例函数，当时，的最大值等于　 　． 10．将正比例函数y＝﹣3x的图象向上平移5个单位，得到函数　 　的图象. 11．直线平行于直线，且过点，则其解析式为　 　． 12．已知一次函数y=ax+b(a≠0)的图象过点(-2，3)，且不经过第三象限，则a的取值范围是　 　，若2a+b是正整数，则a的值为　 　 13．如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，直线交x轴于点，直线的函数表达式为，则直线的函数表达式为　 　． 三、解答题 14．已知，是一次函数图象上的两点． （1）若，两点的坐标分别是，，求这个一次函数的表达式； （2）若，两点的坐标分别是，，求的值． 15．在平面直角坐标系 中， 直线 上有一点 A， 其横坐标为 1 ， 经过点 的直线交 轴负半轴于一点 ， 且 ， （1）求 的面积； （2）求经过点 且平分 面积的直线解析式. 16．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，且. （1）求的值； （2）若将一次函数的图象绕点顺时针旋转90°，所得的直线与轴交于点，且，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若是轴上任意一点，当是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标. 17．如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），已知直线y＝kx+b与x轴y轴分别交于点A（﹣2，0）、点B（0，﹣1），点C的坐标是（0，2）． （1）求直线AB的表达式． （2）设点D为直线AB上一点，且CD＝BD．求点D的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求一次函数解析式，并在图中画出一次函数图象； （2）点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线分别交正比例函数和一次函数于点，，当时，求的值． 19．已知是关于的一次函数，如表列出了这个函数部分的对应值： 1 2 0 （1）求这个一次函数的表达式． （2）求，的值． （3）已知点，和点，在该一次函数图象上，设，判断正比例函数的图象是否有可能经过第一象限，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$