专题06位置与坐标暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年北师大版八年级数学上册

专题06位置与坐标暑假预习讲义 1. 定位认知：理解平面内确定物体位置需要两个数据，掌握行列、方位距离两类生活定位方式，明白一维数据无法精准确定平面点位。 2. 坐标系构建：熟记平面直角坐标系组成要素（x轴、y轴、原点、四个象限），分清横轴、纵轴正负方向，能准确判断点所属象限。 3. 点与坐标互化：根据坐标系内点的位置写出横、纵坐标；已知坐标，在坐标系中规范描点，牢记坐标书写格式（横坐标，纵坐标）。 4. 特殊点位辨析：熟记坐标轴上点的坐标特征（x轴点纵坐标为0，y轴点横坐标为0），区分原点、象限内点、坐标轴上点的不同特点。 5. 对称点坐标规律：熟练掌握点关于x轴、y轴、原点对称的坐标变换口诀，快速写出任意点的对称点坐标。 6. 距离计算：会求点到x轴、y轴的距离；掌握平行于坐标轴两点间线段长度的计算方法。 7. 坐标与平移结合：理解点左右、上下平移时横纵坐标的变化规律，实现平移方向与坐标增减的相互推导。 8. 实际场景应用：结合方格地图、座位、方位图，利用坐标表示现实中物体的具体位置。 9. 规避高频易错点：横纵坐标书写顺序颠倒；混淆各象限正负符号；坐标轴上的点误判入象限；平移坐标增减搞反。 10. 核心数学思想：建立数形结合思想，搭建点与有序实数对一一对应的认知，为一次函数图像学习做好前置铺垫。 预习必备 知识梳理 1.有序数对 2.平面直角坐标系构成 3.平面内点的坐标定义 坐标轴上点的坐标特征 4.四大象限坐标符号规律 5.点的坐标表示 6.点的对称坐标变换 7.点平移的坐标变化规则 8.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.用有序数对表示位置 2.用有序数对表示位路线 3.方向角和距离确定物体位置 4写出直角坐标系中点的坐标. 5.求点到坐标轴的距离 6.判断点所占的象限 7.由点所在象限求参数 8.坐标系中描点 9.由两点坐标求两点距离 10.实际问题中用坐标表示位置 11.点坐标规律探索 12.中点坐标 13.求点沿x轴y轴平移后坐标 14.由平移方式确定点的坐标 15.由点坐标判断平移方式 16.由图形的平移.求点的坐标 17.由平移后的坐标求原坐标 18.坐标系中的对称 19.坐标与图形变化--轴对称 20.坐标系中的动点问题 强化题型 解答题7题 知识点 01 有序实数对（平面定位基础） 1.定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作 (a,b)，叫做有序实数对。 2.核心性质：有序不可互换，(2,5) 与 (5,2) 是平面内两个不同点。 3.书写规范：括号包裹，中间用逗号分隔，格式\((横坐标,纵坐标)\)。 4.生活两类定位模型 定位类型 书写示例 解读规则 行列定位（教室 / 影院） （4 排，6 号） 前数字代表行 / 排，后代表列 / 座位号 经纬定位（地理） （东经 116°，北纬 40°） 先经度、后纬度两组数据确定地点 关键结论：平面内确定点必须两个数据，单一数字无法锁定唯一位置。 知识点 02 平面直角坐标系的构成 1.组成条件：同一平面内，互相垂直、拥有公共原点的两条数轴。 2.坐标轴定义 横轴（x 轴）：水平放置，向右为正方向； 纵轴（y 轴）：竖直放置，向上为正方向； 3.原点：x 轴与 y 轴交点，坐标(0,0)； 4.单位长度：同一坐标系内 x、y 轴单位长度统一（应用题特殊说明除外）； 5.象限划分：坐标轴将平面分成 4 个区域，称为第一、二、三、四象限； 6.重要边界：x 轴、y 轴上的点不属于任何一个象限。 知识点 03 平面内点的坐标定义 作图求坐标方法：过点分别向 x 轴、y 轴作垂线； 横坐标：点向 x 轴作垂线，垂足对应数字； 纵坐标：点向 y 轴作垂线，垂足对应数字； 完整记法：点P 坐标写作 P(x,y)，固定先横、后纵，顺序不能颠倒。 知识点04:四大象限坐标符号规律（必背） 知识点 05. 点的坐标表示 点的坐标： 如图所示，对于平面内任意一点 M，作 MM1 ⊥x 轴，MM2 ⊥ y轴，设垂足 M1，M2 在各自数轴上所表示的数分别为 x, y，则 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，有序实数对 (x,y) 叫做点 M 的坐标。 注意：写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来，简记：横前纵后逗隔开。 平面上的点与有序实数对的关系：建立了平面直角坐标系后，对于坐标平面内任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 结论：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系。 知识点05:点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点06：点关于坐标轴、原点对称的坐标变换 对称对象 原点点\(P(x,y)\) 对称点坐标 变换口诀 关于 x 轴对称 P(a,b) (a,-b) a不变，b变相反数 关于 y 轴对称 P(a,b) (-a,b) b不变，a变相反数 关于原点对称 P(a,b) (-a,-b) a、b全变相反数 知识点 07 点平移的坐标变化规则 设原始点：P(x,y) 平移方向 平移操作 平移后坐标 记忆口诀 向右平移 h 个单位 横坐标加h，纵坐标不变 P(x+h,y) 右加 向左平移 h 个单位 横坐标减h，纵坐标不变 P(x-h,y) 左减 向上平移 k 个单位 纵坐标加k，横坐标不变 P(x,y+k) 上加 向下平移 k 个单位 纵坐标减k，横坐标不变 P(x, y-k) 下减 补充备注 整体口诀总结：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。 连续平移示例： 点P(-3,4)\)向右平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位 新坐标：(-3+5,4-2)=(2,2) 图形平移规律：图形所有顶点按照相同规则同步平移，图形形状、大小不变。 知识点 08 全章高频易错点汇总 1.混淆有序数对顺序，(a,b)与(b,a)混用； 2.书写坐标颠倒，先写纵坐标后写横坐标； 3.坐标轴上的点误判属于某一象限； 4.求到坐标轴距离忘记加绝对值，出现负数； 5.对称变换口诀记反（x 对称变 x，y 对称变 y）； 6.平移口诀记错：左加右减、正确为左减右加； 7.给出距离只写一组坐标，遗漏正负两种情况； 8.画图时坐标轴无正方向、单位长度不统一。 题型1.用有序数对表示位置 【典例】在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标点A，B的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，点C的位置表示为____________． 【跟踪专练1】如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为( )． 【跟踪专练2】如图的密码表是用来玩听声音猜字母的，如果听到“叮叮—叮叮，叮—叮，叮叮叮—叮”表示的是“”，那么听到“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”时，表示的是（   ） A． B． C． D． 题型2.用有序数对表示位路线 【典例】从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【跟踪专练1】在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【跟踪专练2】如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 题型3.方向角和距离确定物体位置 【典例】如图，描述点的位置：点在点的北偏东_______方向上处． 【跟踪专练1】据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【跟踪专练2】如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　） A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°） 题型4写出直角坐标系中点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 【跟踪专练1】孔明灯（又称天灯）是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，使得孔明灯，的坐标分别为、，则孔明灯的坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是中国象棋棋盘的一部分，已知“炮”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为，则“车”所在位置的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型5.求点到坐标轴的距离 【典例】点到轴的距离为________． 【跟踪专练1】七年级（1）班同学开展“数学趣味闯关”活动，第一关的题目是：若点在x轴上，且到y轴的距离为3，则点P的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，经测量的长度为5，则原点O到的最短距离为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 题型6.判断点所占的象限 【典例】在平面直角坐标系中，点位于第______象限． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型7.由点所在象限求参数 【典例】若点在第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果点在坐标轴上，那么点P的坐标为________________． 【跟踪专练2】已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 题型8.坐标系中描点 【典例】经过点Q（1，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 _____． 【跟踪专练1】如图，小伙伴们玩藏宝游戏，藏宝图上有几句话：一号宝藏在坐标为的点处，二号宝藏在坐标为的点处，三号宝藏在坐标为处，则三号宝藏在（  ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【跟踪专练2】如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点O，A，B都在方格纸的交点（格点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，在x轴下方的格点上找点C，使的面积为3，则这样的点C共有_________个． ．【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 题型9.由两点坐标求两点距离 【典例】在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，且到和点的距离相等，则线段的长度为______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型10.实际问题中用坐标表示位置 【典例】为展示我国强大的军力，面向青少年开展爱国主义教育，某科技馆在广场上空组织飞机模型公益活动．如图所示的是飞机模型试飞过程中的部分飞行队形，如果A、C两架飞机模型的平面坐标分别是和，那么飞机模型B的平面坐标是___________． 【跟踪专练1】如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，则黑棋①的坐标为_________． 【跟踪专练2】五子棋是人们喜爱的一种休闲小游戏，规则为：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流摆子，在任意方向（横向、竖向或斜向）上先连成五枚棋子者获胜，如图是小明和小亮的部分对弈图，若白棋子的坐标为，黑棋子的坐标为，则黑棋子的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型11.点坐标规律探索 【典例】如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【跟踪专练1】如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 【跟踪专练2】利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型12.中点坐标 【典例】在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【跟踪专练1】如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 【跟踪专练2】如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为_____． 【跟踪专练3】如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 题型13.求点沿x轴y轴平移后坐标 【典例】将点沿着轴正方向平移个单位长度到达点，则点的坐标为_______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为______________． 【跟踪专练3】已知与的和为0，则点向右平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型14.由平移方式确定点的坐标 在【典例】平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点B，则点B的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，中，点，，．将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后（点A，B，C的对应点分别为点，，）三个顶点的坐标分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】如图，过点作直线轴，过点作直线轴，直线m，n相交于点C，若点C向上平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度后的坐标是________________． 【跟踪专练3】如图，线段在平面直角坐标系中，将线段沿x轴正方向平移4个单位长度得到线段，连接．若，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型15.由点坐标判断平移方式 【典例】5将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，的顶点A坐标是，经平移后，得到其对应点，若的内部任意一点D坐标是，则其对应点坐标一定是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ______． 【跟踪专练3】如图，已知点，若将线段平移至，其中点，，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 题型16.由图形的平移.求点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_________． 【跟踪专练1】如图，在中，点，，将向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点B的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，A、B的坐标分别为，若将线段平移至，的坐标分别为，则的立方根为_____． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将平移后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型17.由平移后的坐标求原坐标 【典例】在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则t的值为______． 【跟踪专练1】若将点P向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度，得到点．则点P坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】点P先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P坐标为__ 【跟踪专练3】平面上的点通过上下平移，不能与下面的点重合的是（    ） A． B． C． D． 题型18.坐标系中的对称 【典例】在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【跟踪专练1】已知：点与点关于x轴对称，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．3 【跟踪专练2】如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 题型19.坐标与图形变化--轴对称 【典例】若点和关于x轴对称，则的值是______． 【跟踪专练1】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型20.坐标系中的动点问题 【典例】如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是________． 【跟踪专练2】连江县某校数学兴趣小组记录了2025年12月10日至12月27日当地的白昼时长（单位：h），其中20日至22日部分数据缺失．他们根据数据绘制成如下的趋势图（见下图）．观察发现：12月10日至19日的点大致分布在一条下降趋势的直线附近；12月23日至27日的点大致分布在一条上升趋势的直线附近． 结合冬至日日落最早、冬季白昼时长在冬至前逐渐变短、冬至后逐渐变长的规律，他们推测：这两条直线交点处的纵坐标恰好为冬至日的白昼时长．根据以上信息，推测该年冬至的日期和白昼时长约为（     ） A．21日； B．21日； C．22日； D．22日； 解答题 1．人们在野外时，会用“点钟方向”来描述方位．如图中，点O所在地为营地，巨石堆点A的位置在营地的北偏东方向，也可以描述为在营地的“2点钟方向”． (1)点B的位置有一个鸟巢，在营地的（     ）点钟方向． (2)在营地的北偏西方向150米处有一条小溪，用点C表示出小溪的位置．我们也可以说在营地的（     ）点钟方向有一条小溪． 2．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求a的值； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P位于第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值. 3．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 4．下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：__________，线段的中点坐标：________． (2)探究迁移：如果有，两点，那么线段的中点坐标是__________． (3)拓展应用：已知三点，，，点与点，，中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1)________；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； 6．在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 7．在平面直角坐标系中，如图1，第一象限内有一点，过点作线段垂直于轴，垂足为，实数、满足．，将线段向左平移使点和点重合得到线段，连接与轴相交于点，动点从点出发，沿折线运动，运动到点停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒． (1)直接写出点的坐标： (2)当点在线段上运动时，请直接用含的代数式表示在这一运动过程中线段的长（规定：点与点重合时，线段的长为0．），并直接写出的取值范围： (3)若点运动的同时，在线段上有一动点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，当轴时，点的坐标是多少； (4)如图2，轴上有一点，在点沿折线运动过程中是否存在值，使三角形的面积为2.5？若存在，求出的值，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06位置与坐标暑假预习讲义 1. 定位认知：理解平面内确定物体位置需要两个数据，掌握行列、方位距离两类生活定位方式，明白一维数据无法精准确定平面点位。 2. 坐标系构建：熟记平面直角坐标系组成要素（x轴、y轴、原点、四个象限），分清横轴、纵轴正负方向，能准确判断点所属象限。 3. 点与坐标互化：根据坐标系内点的位置写出横、纵坐标；已知坐标，在坐标系中规范描点，牢记坐标书写格式（横坐标，纵坐标）。 4. 特殊点位辨析：熟记坐标轴上点的坐标特征（x轴点纵坐标为0，y轴点横坐标为0），区分原点、象限内点、坐标轴上点的不同特点。 5. 对称点坐标规律：熟练掌握点关于x轴、y轴、原点对称的坐标变换口诀，快速写出任意点的对称点坐标。 6. 距离计算：会求点到x轴、y轴的距离；掌握平行于坐标轴两点间线段长度的计算方法。 7. 坐标与平移结合：理解点左右、上下平移时横纵坐标的变化规律，实现平移方向与坐标增减的相互推导。 8. 实际场景应用：结合方格地图、座位、方位图，利用坐标表示现实中物体的具体位置。 9. 规避高频易错点：横纵坐标书写顺序颠倒；混淆各象限正负符号；坐标轴上的点误判入象限；平移坐标增减搞反。 10. 核心数学思想：建立数形结合思想，搭建点与有序实数对一一对应的认知，为一次函数图像学习做好前置铺垫。 预习必备 知识梳理 1.有序数对 2.平面直角坐标系构成 3.平面内点的坐标定义 坐标轴上点的坐标特征 4.四大象限坐标符号规律 5.点的坐标表示 6.点的对称坐标变换 7.点平移的坐标变化规则 8.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.用有序数对表示位置 2.用有序数对表示位路线 3.方向角和距离确定物体位置 4写出直角坐标系中点的坐标. 5.求点到坐标轴的距离 6.判断点所占的象限 7.由点所在象限求参数 8.坐标系中描点 9.由两点坐标求两点距离 10.实际问题中用坐标表示位置 11.点坐标规律探索 12.中点坐标 13.求点沿x轴y轴平移后坐标 14.由平移方式确定点的坐标 15.由点坐标判断平移方式 16.由图形的平移.求点的坐标 17.由平移后的坐标求原坐标 18.坐标系中的对称 19.坐标与图形变化--轴对称 20.坐标系中的动点问题 强化题型 解答题7题 知识点 01 有序实数对（平面定位基础） 1.定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作 (a,b)，叫做有序实数对。 2.核心性质：有序不可互换，(2,5) 与 (5,2) 是平面内两个不同点。 3.书写规范：括号包裹，中间用逗号分隔，格式\((横坐标,纵坐标)\)。 4.生活两类定位模型 定位类型 书写示例 解读规则 行列定位（教室 / 影院） （4 排，6 号） 前数字代表行 / 排，后代表列 / 座位号 经纬定位（地理） （东经 116°，北纬 40°） 先经度、后纬度两组数据确定地点 关键结论：平面内确定点必须两个数据，单一数字无法锁定唯一位置。 知识点 02 平面直角坐标系的构成 1.组成条件：同一平面内，互相垂直、拥有公共原点的两条数轴。 2.坐标轴定义 横轴（x 轴）：水平放置，向右为正方向； 纵轴（y 轴）：竖直放置，向上为正方向； 3.原点：x 轴与 y 轴交点，坐标(0,0)； 4.单位长度：同一坐标系内 x、y 轴单位长度统一（应用题特殊说明除外）； 5.象限划分：坐标轴将平面分成 4 个区域，称为第一、二、三、四象限； 6.重要边界：x 轴、y 轴上的点不属于任何一个象限。 知识点 03 平面内点的坐标定义 作图求坐标方法：过点分别向 x 轴、y 轴作垂线； 横坐标：点向 x 轴作垂线，垂足对应数字； 纵坐标：点向 y 轴作垂线，垂足对应数字； 完整记法：点P 坐标写作 P(x,y)，固定先横、后纵，顺序不能颠倒。 知识点04:四大象限坐标符号规律（必背） 知识点 05. 点的坐标表示 点的坐标： 如图所示，对于平面内任意一点 M，作 MM1 ⊥x 轴，MM2 ⊥ y轴，设垂足 M1，M2 在各自数轴上所表示的数分别为 x, y，则 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，有序实数对 (x,y) 叫做点 M 的坐标。 注意：写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来，简记：横前纵后逗隔开。 平面上的点与有序实数对的关系：建立了平面直角坐标系后，对于坐标平面内任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 结论：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系。 知识点05:点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点06：点关于坐标轴、原点对称的坐标变换 对称对象 原点点\(P(x,y)\) 对称点坐标 变换口诀 关于 x 轴对称 P(a,b) (a,-b) a不变，b变相反数 关于 y 轴对称 P(a,b) (-a,b) b不变，a变相反数 关于原点对称 P(a,b) (-a,-b) a、b全变相反数 知识点 07 点平移的坐标变化规则 设原始点：P(x,y) 平移方向 平移操作 平移后坐标 记忆口诀 向右平移 h 个单位 横坐标加h，纵坐标不变 P(x+h,y) 右加 向左平移 h 个单位 横坐标减h，纵坐标不变 P(x-h,y) 左减 向上平移 k 个单位 纵坐标加k，横坐标不变 P(x,y+k) 上加 向下平移 k 个单位 纵坐标减k，横坐标不变 P(x, y-k) 下减 补充备注 整体口诀总结：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。 连续平移示例： 点P(-3,4)\)向右平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位 新坐标：(-3+5,4-2)=(2,2) 图形平移规律：图形所有顶点按照相同规则同步平移，图形形状、大小不变。 知识点 08 全章高频易错点汇总 1.混淆有序数对顺序，(a,b)与(b,a)混用； 2.书写坐标颠倒，先写纵坐标后写横坐标； 3.坐标轴上的点误判属于某一象限； 4.求到坐标轴距离忘记加绝对值，出现负数； 5.对称变换口诀记反（x 对称变 x，y 对称变 y）； 6.平移口诀记错：左加右减、正确为左减右加； 7.给出距离只写一组坐标，遗漏正负两种情况； 8.画图时坐标轴无正方向、单位长度不统一。 题型1.用有序数对表示位置 【典例】在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示方法，目标点A，B的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，点C的位置表示为____________． 【答案】 【详解】解：根据题意可得点C的位置表示为． 【跟踪专练1】如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为( )． 【答案】 【分析】根据已知点甲、乙的坐标确定有序数对中三个数分别代表的几何意义，即列数、行数和层数，进而确定丙的坐标． 【详解】解：由正方体甲的位置可知，有序数对的第一个数表示列数，第二个数表示行数，第三个数表示层数， 由正方体乙的位置可知，乙位于第列，第行，第层，符合图形特征， 观察图形可知，正方体丙位于第列，第行，第层， 所以正方体丙的位置可以表示为． 【跟踪专练2】如图的密码表是用来玩听声音猜字母的，如果听到“叮叮—叮叮，叮—叮，叮叮叮—叮”表示的是“”，那么听到“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”时，表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键． 根据题意求解即可． 【详解】解：∵“叮叮—叮叮，叮—叮，叮叮叮—叮”表示的是“”，表示对应的字母为“”， ∴“叮叮—叮叮叮，叮叮叮叮—叮叮叮叮，叮叮叮—叮叮叮叮”表示，对应表格中的“”． 故选B． 题型2.用有序数对表示位路线 【典例】从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】分别从2、3、5三个数字中选出两个组成有序实数对，然后计算出总数目即可． 【详解】解：可以组成，，，，，共6个有序实数对， 故选D． 【点睛】本题考查函数的基础知识，熟练掌握有序实数对的意义及组合方法是解题关键． 【跟踪专练1】在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 【跟踪专练2】如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【分析】用有序实数对表示位置，依次找到不同的走法． 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 题型3.方向角和距离确定物体位置 【典例】如图，描述点的位置：点在点的北偏东_______方向上处． 【答案】40 【详解】解：， ∴点在点的北偏东方向上处． 【跟踪专练1】据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【答案】 南 西 3 【分析】根据方向角的定义，以天璇为观测点建立方向坐标系，结合图形中的角度标注确定天玑相对于天璇的方向，根据比例尺和线段上的刻度确定两点间的距离． 【详解】解：由图可知，方向标指示向上为北，则向下为南，向左为西，向右为东， 以天璇为观测点，天玑位于天璇的左下方，即南偏西方向， 图中标注的角表示天璇与天玑连线与正南方向的夹角， ∴方向为南偏西， 观察天璇与天玑之间的线段，该线段被短竖线分为段，根据右下角比例尺可知每段长度为， ∴天璇与天玑之间的距离为， 综上所述，天玑在天璇的南偏西方向处． 故答案为：南，西，3． 【跟踪专练2】如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　） A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°） 【答案】C 【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标（5，30°），（2，90°），（4，240°），（3，300°），即可判断． 【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 由题意可知、、、的坐标可表示为：（5，30°），故A不正确； （2，90°），故B不正确； （4，240°），故C正确； （3，300°），故D不正确． 故选择：C． 【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C、F两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数是解题关键． 题型4写出直角坐标系中点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 【答案】0 【分析】根据x轴上点的坐标特征，纵坐标为0，即可求出结果． 【详解】解：∵点在轴上， 点的纵坐标为，即． 【跟踪专练1】孔明灯（又称天灯）是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，使得孔明灯，的坐标分别为、，则孔明灯的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示： 由图可知，孔明灯的坐标为． 【跟踪专练2】如图，是中国象棋棋盘的一部分，已知“炮”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为，则“车”所在位置的坐标为______． 【答案】 【分析】根据已知点“炮”和“马”的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，建立平面直角坐标系，进而确定“车”的坐标． 【详解】解：∵“炮”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示， ∴“车”所在位置的坐标为． 【跟踪专练3】如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 在正方形中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 题型5.求点到坐标轴的距离 【典例】点到轴的距离为________． 【答案】 【分析】根据点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：点的纵坐标为， 点到轴的距离为． 【跟踪专练1】七年级（1）班同学开展“数学趣味闯关”活动，第一关的题目是：若点在x轴上，且到y轴的距离为3，则点P的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：x轴上的点纵坐标为0，到y轴距离为横坐标的绝对值， 故坐标为或． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则m的值为______． 【答案】或 【分析】根据平面直角坐标系中点到轴的距离为，到轴的距离为，由点到两坐标轴距离相等列出绝对值方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：， 解得； 情况2：， 解得； ∴的值为或． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，，经测量的长度为5，则原点O到的最短距离为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】如图，过作于，再利用等面积法求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵点，，经测量的长度为5， ∴， ∴， ∴原点O到的最短距离为. 题型6.判断点所占的象限 【典例】在平面直角坐标系中，点位于第______象限． 【答案】二 【分析】平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：对于点，其横坐标，纵坐标，符号特征符合第二象限的点的特征， 因此该点位于第二象限． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先判断点横纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标特征即可判断点所在的象限． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴． ∵任意实数的绝对值是非负数， ∴， ∴． ∵点横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴点一定在第二象限． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】第一象限内的点的横纵坐标都为正数；第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限内的点的横纵坐标都为负数；第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数．据此即可解答． 【详解】解：点所在的象限是第二象限． 题型7.由点所在象限求参数 【典例】若点在第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于，得到的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：点在第二象限，且纵坐标， ， 观察选项，只有满足． 【跟踪专练1】如果点在坐标轴上，那么点P的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，分两种情况：点在轴上和点在轴上，分别列方程求出的值，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：点在坐标轴上， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，轴上点的纵坐标为，可得 ， 解得或， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； ②当点在轴上时，轴上点的横坐标为，可得 ， 解得， 当时，，此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 【跟踪专练2】已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 【答案】C 【分析】先根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到的值，再根据的长度得到的所有可能值，结合点在第四象限的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， ， 解得或， 点在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负数， ， ． 题型8.坐标系中描点 【典例】经过点Q（1，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 _____． 【答案】y＝﹣3 【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等，为-3，所以为直线：y=-3． 【详解】解：由题意得：经过点Q（1，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线y＝﹣3， 故答案为：y＝﹣3． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相 【跟踪专练1】如图，小伙伴们玩藏宝游戏，藏宝图上有几句话：一号宝藏在坐标为的点处，二号宝藏在坐标为的点处，三号宝藏在坐标为处，则三号宝藏在（  ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出藏宝位置． 【详解】解：∵一号宝藏在坐标为的点处，二号宝藏在坐标为的点处， ∴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵三号宝藏在坐标为处， ∴三号宝藏在点处． 【跟踪专练2】如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点O，A，B都在方格纸的交点（格点）上，建立如图所示的平面直角坐标系，在x轴下方的格点上找点C，使的面积为3，则这样的点C共有_________个． 【答案】6 【分析】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系中图形的面积是解题的关键，根据点A、B的坐标判断出轴，然后根据三角形的面积求出点C到的距离，最后根据题意即可判断出点C的位置，进而得到答案． 【详解】解：如图 由题可得：， 设点C到的距离为， ∴， ∴， ∴点到的距离是2，且在x轴下方，并与平行的直线上的格点有6个， 故答案为：6． ．【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查根据点的坐标，利用网格计算三角形的面积，根据点的坐标，在平面直角坐标系中描出点是解题的关键． 先在平面直角坐标系中描出点C，再根据点的坐标，利用网格，由割补法求出，，再比较即可． 【详解】解：如图，连接，，    ∵，，， 当点C坐标为时， ∴， ∴ ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 当点C坐标为时， ∴， ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴， ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 综上，可作为点的有和，共2个， 故选：B． 题型9.由两点坐标求两点距离 【典例】在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   【答案】6 【分析】根据点A和点B纵坐标相同，线段平行于轴，线段长度可通过横坐标差的绝对值计算． 【详解】解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点到原点的距离为． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，且到和点的距离相等，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据两点间的距离公式列方程，即可得解． 【详解】解：设点， 根据题意得， 即， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式，解题的关键是准确运用公式计算线段长度． 根据两点间距离公式计算的长度，然后逐一分析选项． 【详解】解：根据两点间距离公式，已知，则： ， ， ， A、，所以．，该选项正确．； B、由选项A可知，该选项正确； C、，所以，该选项正确； D、，该选项错误． 故选：D． 题型10.实际问题中用坐标表示位置 【典例】为展示我国强大的军力，面向青少年开展爱国主义教育，某科技馆在广场上空组织飞机模型公益活动．如图所示的是飞机模型试飞过程中的部分飞行队形，如果A、C两架飞机模型的平面坐标分别是和，那么飞机模型B的平面坐标是___________． 【答案】 【详解】解：根据A、C两架飞机模型的平面坐标分别是和，可知坐标原点位置如图所示： 飞机模型B的平面坐标是． 【跟踪专练1】如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，则黑棋①的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据已有点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，进行求解即可． 【详解】解：由题意，画出坐标系，如图所示： 由图可知：黑棋①的坐标为． 【跟踪专练2】五子棋是人们喜爱的一种休闲小游戏，规则为：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流摆子，在任意方向（横向、竖向或斜向）上先连成五枚棋子者获胜，如图是小明和小亮的部分对弈图，若白棋子的坐标为，黑棋子的坐标为，则黑棋子的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以得到点C的坐标． 【详解】解：如图，根据已知可建立平面直角坐标系， 所以点C的坐标是． 题型11.点坐标规律探索 【典例】如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据图象可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每7次运动组成一个循环，再根据规律直接求解即可． 【详解】解：由图可知，，，，，，，，，， 可以发现规律：横坐标与运动次数相等， 纵坐标每次运动组成一个循环：； ， 点的纵坐标是， ∴点的坐标是． 【跟踪专练1】如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 【答案】 【详解】解：依题意可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴是第二象限的点， ∴的坐标是． 【跟踪专练2】利用平移，人们可以设计出美丽的图案，如图所示的是小明利用甲骨文“山”字在平面直角坐标系中通过平移设计的图案，已知点，点，点，点，点，点，点若继续平移，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0，求出2026除以6的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，点，点，点，点，点，点， 以此类推可知，每6个点为一个循环，每个循环内横坐标增加6，纵坐标依次为2，1，3，1，2，0， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为1， ∴点的坐标为． 题型12.中点坐标 【典例】在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． 【跟踪专练1】如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理解题． 【详解】解：由题意知，，即， ∴． 【跟踪专练2】如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查平面组合图形的重心的坐标，A，B是两个图形的重心，平面组合图形的重心的坐标是两重心坐标的平均值，据此求解即可． 【详解】解：∵点A，B是两个图形的重心，且、， ∴平面组合图形的重心的坐标为，即． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，分别为的中点，为的中点，则为该匀质薄板的重心 依题意，，， ∴， ∴即 题型13.求点沿x轴y轴平移后坐标 【典例】将点沿着轴正方向平移个单位长度到达点，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点在平面直角坐标系中的平移规律解答即可． 【详解】解：已知点的坐标为，将点沿轴正方向平移个单位长度， 则平移后纵坐标不变，横坐标增加， 故点的坐标为． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“右移横坐标加，下移纵坐标减”的规律计算即可得到结果． 【详解】解：已知点，先向右平移4个单位长度，横坐标变为， 再向下平移2个单位长度，纵坐标变为， ∴． 【跟踪专练2】将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点重合，则的值为______________． 【答案】 【分析】左减右加横坐标，上加下减纵坐标；根据平移后坐标列方程求出、的值，再代入计算． 【详解】解：点向左平移个单位，横坐标变为；向上平移个单位，纵坐标变为． 平移后点坐标为，与重合， 故，． 由，得； 由，得． ． 【跟踪专练3】已知与的和为0，则点向右平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 即为， ∵点向右平移个单位长度，横坐标加，向上平移个单位长度，纵坐标加， ∴平移后的横坐标为，纵坐标为， ∴平移后的坐标为． 题型14.由平移方式确定点的坐标 在【典例】平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 因此点的坐标为． 【跟踪专练1】如图，中，点，，．将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后（点A，B，C的对应点分别为点，，）三个顶点的坐标分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，点，，， ∴，，，即，，． 【跟踪专练2】如图，过点作直线轴，过点作直线轴，直线m，n相交于点C，若点C向上平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度后的坐标是________________． 【答案】 【分析】先求出点C的坐标为，再根据平移规律得出答案即可． 【详解】解：∵直线轴，直线轴，点，点， ∴点C的坐标为， ∴点C向上平移5个单位长度，再向左平移7个单位长度后的坐标为：，即． 【跟踪专练3】如图，线段在平面直角坐标系中，将线段沿x轴正方向平移4个单位长度得到线段，连接．若，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作轴于点E，则是等腰直角三角形，据此利用勾股定理求出，则可得到点C的坐标，再根据平移方式即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将线段沿x轴正方向平移4个单位长度得到线段， ∴． 题型15.由点坐标判断平移方式 【典例】5将三角形平移，得到三角形，其中三角形内任意一点平移后的对应点为．写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式：______________________________． 【答案】先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） 【分析】根据已知点平移前后的坐标特征，即可确定三角形的平移方式． 【详解】解：点平移后的对应点为， 横坐标加，符合向右平移个单位长度的坐标变化规律，纵坐标减，符合向下平移个单位长度的坐标变化规律， 三角形的平移方式为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度（或先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度） ． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，的顶点A坐标是，经平移后，得到其对应点，若的内部任意一点D坐标是，则其对应点坐标一定是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据顶点A及其对应点的坐标，确定平移规律，再根据平移规律得到点D对应点的坐标． 【详解】解：∵顶点A坐标是，平移后对应点坐标是， ∴横坐标变化为，纵坐标变化为， 即平移方式为向左平移3个单位，纵坐标不变， ∵点D坐标是， ∴对应点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质、图形与坐标等知识点，根据已知平移点确定平移方式成为解题的关键． 根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点E的坐标． 【详解】解：由题可知平移后得到点； ∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度； ∴点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； ∴点． 故答案为． 【跟踪专练3】如图，已知点，若将线段平移至，其中点，，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到与的有关系，即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵将线段平移至，点，点，， ∴， ∴， 故选：C． 题型16.由图形的平移.求点的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【分析】先由点平移前后的坐标确定平移方式，再根据平移方式计算点对应点的坐标． 【详解】解：点平移后得到点， 点的平移方式为：向左平移个单位，向上平移个单位， 线段平移时，线段上所有点的平移方式相同， 点向左平移个单位，向上平移个单位得到，即， ． 【跟踪专练1】如图，在中，点，，将向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点B的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点B的对应点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，A、B的坐标分别为，若将线段平移至，的坐标分别为，则的立方根为_____． 【答案】 【分析】先利用点A平移到得到平移的规律，再按此规律平移B点得到，从而得到点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算即可． 【详解】解：∵点先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点， ∴线段先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到线段， ∴点先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点， ∴， ∴． ∴的立方根为． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将平移后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵将平移后，点的对应点是点， 即左移2个单位下移2个单位， 则平移后为． 题型17.由平移后的坐标求原坐标 【典例】在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则t的值为______． 【答案】 【详解】解：点向左平移个单位得到点， ∴， ∴． 【跟踪专练1】若将点P向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度，得到点．则点P坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知平移后点的坐标，结合平移规律即可得到点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴根据平移规律可得：，，解得，， ∴点的坐标为． 【跟踪专练2】点P先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P坐标为__ 【答案】(6，-4) 【分析】直接利用平移中，点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】设点P的坐标为(，)，由题意， 得：，， 求得，， 所以点P的坐标为(，)． 故答案为：(，)． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 【跟踪专练3】平面上的点通过上下平移，不能与下面的点重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“点上下平移，横坐标不变”，由此可直接得到答案． 【详解】平面上的点（2，-1）通过上下平移不能与之重合的是（-2，-1）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 题型18.坐标系中的对称 【典例】在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【答案】 【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据规律先求点的坐标，再求点的坐标即可． 【详解】解：点与点关于轴对称，已知点， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 【跟踪专练1】已知：点与点关于x轴对称，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识，解题的关键是掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据点关于x轴对称的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解m和n，再计算即可解答． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，纵坐标相反：， ∴，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P关于x轴的对称点为， ∴； ∵关于y轴的对称点为， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【答案】 【分析】先在中，由勾股定理得，根据翻折性质，，，算出．设，在中，由列方程，解得，得到点坐标． 【详解】解：在中，，， ∴， 由翻折性质得：，． ，在轴上， ，即． 设，则，， ∴． 在中， 即 解得， ∴点E的坐标为． 题型19.坐标与图形变化--轴对称 【典例】若点和关于x轴对称，则的值是______． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数确定a和b的值，再计算即可． 【详解】解： ∵ 点和关于x轴对称， ∴，， ∴． 【跟踪专练1】剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点的坐标和点的坐标关于轴对称， ∴，， ∴． 【跟踪专练2】如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据物体与像关于平面镜对称，求出、的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：物体与像关于平面镜对称， 可得：， 解得：， ． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 题型20.坐标系中的动点问题 【典例】如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据垂线段最短可知，当时，最小，由点的坐标可求出的最小值． 【详解】解：如图， 当时，最小， ∵，， ∴轴， ∵点P在y轴上，且， ∴， ∴． ∴的最小值是2． 【跟踪专练1】如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是________． 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造直角三角形，利用“一线三垂直”模型证明三角形全等，进而根据对应边相等求点的坐标． 过点分别作x轴的垂线，垂足为构造和；利用推导出结合证明根据全等三角形对应边相等，得到结合点的坐标计算点B的坐标（分两种情况）． 【详解】解：过点A作轴于过点B作轴于E， 则 ∵， ∴． 又∵， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ∴（全等三角形对应边相等） 已知点点 则． ∴． 分两种情况： ①当点E在点C右侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即 ②当点E在点C左侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即． 故答案为：或． 【跟踪专练2】连江县某校数学兴趣小组记录了2025年12月10日至12月27日当地的白昼时长（单位：h），其中20日至22日部分数据缺失．他们根据数据绘制成如下的趋势图（见下图）．观察发现：12月10日至19日的点大致分布在一条下降趋势的直线附近；12月23日至27日的点大致分布在一条上升趋势的直线附近． 结合冬至日日落最早、冬季白昼时长在冬至前逐渐变短、冬至后逐渐变长的规律，他们推测：这两条直线交点处的纵坐标恰好为冬至日的白昼时长．根据以上信息，推测该年冬至的日期和白昼时长约为（     ） A．21日； B．21日； C．22日； D．22日； 【答案】B 【分析】由平面直角坐标系的信息即可求解． 【详解】解：根据下降趋势的直线与上升趋势的直线相交点的横坐标为冬至的日期：则冬至时间为21日， 交点的纵坐标为：． 解答题 1．人们在野外时，会用“点钟方向”来描述方位．如图中，点O所在地为营地，巨石堆点A的位置在营地的北偏东方向，也可以描述为在营地的“2点钟方向”． (1)点B的位置有一个鸟巢，在营地的（     ）点钟方向． (2)在营地的北偏西方向150米处有一条小溪，用点C表示出小溪的位置．我们也可以说在营地的（     ）点钟方向有一条小溪． 【答案】(1)7 (2)，11 【分析】（1）根据图形及题意进行求解即可； （2）根据图形及题意进行求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∴点B的位置有一个鸟巢，在营地的7点钟方向； （2）解：小溪的位置略， 先从正北向西偏画射线，再按比例尺（1段）量出3段的长度，标出点C即可． 营地的11点钟方向有一条小溪． 2．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求a的值； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P位于第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值. 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得：． 3．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【答案】(1)13 (2)8 【分析】（1）将点A、B的坐标代入两点间的距离公式进行解答即可； （2）点A、B两点间的距离为，进行计算即可． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离； （2）解：由题意，得：A，B两点间的距离． 4．下面是在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现：在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：__________，线段的中点坐标：________． (2)探究迁移：如果有，两点，那么线段的中点坐标是__________． (3)拓展应用：已知三点，，，点与点，，中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)连接线段，如下图；；； (2) (3) 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而根据图象确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，描点，作图见答案 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：情况1：与中点重合时，， ， 此时； 情况2：与中点重合时，， ， 此时； 情况3：与中点重合时，， ， 此时； 综上所述，点的坐标为． 5．在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1)________；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； 【答案】(1)1； (2)； (3)3 【分析】本题考查了坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程； （1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标； （2）依据点的平移可得出点、的坐标； （3）设直线与轴的交点为，则点的坐标为，可求出，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，点在轴上， ， 解得：， 点． 故答案为：1，； （2）解：将点向右平移5个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，将点向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点， 点，点，，即，， 故答案为：，； （3）解：设直线与轴的交点为，如图1，则点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ； 6．在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 【答案】(1)① ，② (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的规律探究，掌握通过分析点的坐标变化寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）①分析运动次数与坐标的关系，找出、的坐标规律为横纵坐标相等，且都为下标的； ②由①发现的规律总结出的坐标； （2）先找出这些点的下标与序号之间的规律，再据此计算序号是第676个点的下标即可． 【详解】（1）解：，运动次数1； ，运动次数2； ，运动次数3； ，运动次数4； ，运动次数5； ，运动次数6； 可以发现，每3次运动为一组，每组的第三个点（即，为正整数）的坐标为， 对于，，解得，∴坐标为， 对于，，解得，∴坐标为 故答案为：，； ②由①的规律，当为不小于1的整数时，所以的坐标为． 故答案为：； （2）解：观察的编号： 第1个点的下标是， 第2个点的下标是， 第3个点的下标是， 由此可得，第个点的下标为， 要求第676个点的下标，即， 则． 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，如图1，第一象限内有一点，过点作线段垂直于轴，垂足为，实数、满足．，将线段向左平移使点和点重合得到线段，连接与轴相交于点，动点从点出发，沿折线运动，运动到点停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒． (1)直接写出点的坐标： (2)当点在线段上运动时，请直接用含的代数式表示在这一运动过程中线段的长（规定：点与点重合时，线段的长为0．），并直接写出的取值范围： (3)若点运动的同时，在线段上有一动点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，当轴时，点的坐标是多少； (4)如图2，轴上有一点，在点沿折线运动过程中是否存在值，使三角形的面积为2.5？若存在，求出的值，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)存在，，；， 【分析】（1）根据可得，再求出解可得答案； （2）分两种情况：当时，；当时，，即可得出答案； （3）由题意，得点Q的横坐标是，再根据轴时，点P与点Q的横坐标相等，若点P在线段上，，则，求出解，并判断；若点P在线段上，，则，求出解，并得出坐标； （4）当点P在线段上运动时，，则，再根据面积相等求出解，进而得出答案；当点P在线段上运动时，，则，然后根据面积相等求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴点； （2）解：由（1）知， ，则， 所以点运动到点需要，运动到点需要， 运动到点需要， 当时，； 当时，， ∴t的取值范围是； （3）解：由题意，得点Q的横坐标是， 当轴时，点P与点Q的横坐标相等， 若点P在线段上，，则， 解得，此时，不合题意，舍去； 若点P在线段上，，则， 解得， 当时，， ∴点P的坐标为； （4）解：存在． 当点P在线段上运动时，，则． 令， 解得， 此时点P的坐标为； 当点P在线段上运动时，， ∴， 令，解得， 此时点P的坐标为， 所以存在t值，当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $