第10讲 函数（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材北师大版

第10讲 函数（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 函数 你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？下图反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度（单位：）与旋转时间（单位：）之间的关系。 （1）根据上图填写下表 （2）对于给定的时间，相应的高度确定吗? 【知识点1 函数】 1．定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量． 2．表示方法：表格法、关系式法、图像法． 3．函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于时的函数值． 【题型1 函数的概念】 【例1】下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，，满足，则是的函数 D．变量，满足，则是的函数 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义，根据函数定义：对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，逐一判断选项即可． 【详解】根据函数定义，对于自变量的每一个确定值，因变量有且只有唯一确定的值与之对应，才满足函数关系． 对选项A，∵当时，对任意确定的，满足的有两个不同的值，∴不是的函数，A错误． 对选项B，∵由得，对任意不为的确定，都有唯一确定的与之对应，∴是的函数，B正确． 对选项C，∵式子中有三个变量，的值不确定时，对任意确定的，的值不唯一，∴不是的函数，C错误． 对选项D，∵当时，对任意确定的，满足的有两个不同的值，∴不是的函数，D错误． 故选：B． 【变式1-1】已知球的体积公式为，其中V为球的体积，R为半径，则这个公式中的变量是（   ） A．V，，R B．和R C．V和R D．V和 【答案】C 【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值保持不变的量称为常量，根据定义判断即可． 【详解】解：∵在公式中，是常数，是圆周率，均为固定不变的常量 ∴数值发生变化的量是体积和半径，即公式中的变量为和 因此答案选C． 故选：C． 【变式1-2】下列式子中y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初中函数定义判断即可，若对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，否则y不是x的函数. 【详解】解：对于D选项，，当时，对于x的每一个确定的值，y都有两个值与之对应， 故y不是x的函数；符合题意； 其他选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数，不符合题意. 故选：D． 【变式1-3】以下关于x，y的方程，其中y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若两个变量x、y满足对于变量x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应， ∴y是x的函数，故此选项不符合题意； B、∵， ∴当x取任意正数时， y有两个不同的值与之对应， ∴y不是x的函数，故此选项符合题意； C、∵， ∴对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应， ∴y是x的函数，故此选项不符合题意； D、∵， ∴对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应， ∴y是x的函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型2 函数图像的识别】 【例2】下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应；从图象上看，就是作垂直于轴的直线，与图象最多只有一个交点． 【详解】解： A、对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数定义，故本选项正确； B、对于的某些值，有三个值与其对应，不符合函数定义，故本选项错误； C、对于的某些值，有两个值与其对应，不符合函数定义，故本选项错误； D、对于的某些值（），有两个值与其对应，不符合函数定义，故本选项错误． 故选：A． 【变式2-1】下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应. 结合图象，利用“垂直于轴的直线与图象最多只有一个交点”这一性质进行判断即可． 【详解】解：.对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意； . 对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意； . 存在某个的值，对应多个的值（作垂直于轴的直线与图象有多个交点），故不是的函数，该选项符合题意； . 对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，该选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应， 结合图像判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值与它对应， A、图像是一条直线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； B、图像是一条曲线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； C、图像是抛物线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； D、图像中，对于部分的值（例如或的某些区域），一个对应两个，不符合函数的定义， 不能表示是的函数的是D． 故选：D． 【变式2-3】下列各图像中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数． 【详解】解：由图象得A、C、D的图象有唯一的值与之对应，故符合题意； B选项中x取一个值时y不是唯一的值与之对应，故不能表示y是x的函数， 故选：B． 【题型3 求自变量的取值范围】 【例3】函数中的的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-1】函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式3-2】在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，需根据分式分母不为零，二次根式被开方数为非负数的性质，列出不等式求解． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：． 故答案为：． 【变式3-3】下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不同类型函数表达式的限制条件分别判断即可，整式函数自变量可取全体实数，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为零． 【详解】对选项A，是整式函数，自变量x的取值范围是全体实数； 对选项B，是二次根式形式，要求被开方数非负， 可得，解得，不是全体实数； 对选项C，是分式，要求分母不为零，可得，不是全体实数； 对选项D，是分式，要求分母不为零，可得，即，不是全体实数． 故选：A． 【题型4 求自变量的值或函数值】 【例4】当时，函数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入函数解析式计算，注意二次根式表示的算术平方根，结果为非负数． 【详解】解：∵， ∴将代入得：. 因此，函数值为． 故选：A． 【变式4-1】已知y与x之间的函数解析式为，当时，自变量x的值是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将代入解析式，解一元一次方程即可得到自变量的值． 【详解】解：∵函数解析式为，且， ∴将代入解析式得 ， 解得． 故选：D． 【变式4-2】高空抛物存在极大的安全隐患，已知物体从高空自由下落（不考虑空气阻力）时，下落高度h（m）与下落时间t（s）之间满足函数关系，g取，当物体下落2s（未落地）时，下落的高度为（     ） A．15m B．20m C．25m D．40m 【答案】B 【分析】直接将已知的和代入给定的函数关系式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 因此下落高度为． 故选：B． 【变式4-3】一架雪橇沿一斜坡滑下，经过时间t（s）滑下的路程s（m）由下式给出：．假如从坡顶滑到坡底的时间为8s，试问：坡长为多少？ 【分析】本题已知路程与时间的关系式，只需将题目给出的滑完全程的时间代入关系式计算，即可得到坡长，运用代数式代入求值的方法即可求解． 【详解】解：由题意得 ，滑到坡底的时间， 将代入关系式， 得 答：坡长为． 【题型5 从函数的图像获取信息】 【例5】下图表示水的质量（单位：g）随温度（单位：）变化的图象： （1）在这一变化过程中，自变量是什么？ （2）温度是多少时，水的质量最大？ （3）这一变化过程中，温度在什么范围内，水的质量随温度的升高而增大？温度在什么范围内，水的质量随温度的升高而减小？ 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义判断即可； （2）利用图象判断即可； （3）利用图象判断即可． 【详解】（1）解：图象表示的是水的质量m随温度t变化的情况， 在这一变化过程中，自变量是温度，因变量是质量； （2）解：观察图象知，最高点表示的质量最大， 温度是时，水的质量最大； （3）解：观察图象知， 在时，水的质量随温度的升高而增大， 在时，水的质量随温度的升高而减小． 【变式5-1】市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度与路程之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．根据图象回答下列问题： （1）y是关于x的函数吗？为什么？ （2）当路程为时，小斌的速度是多少？ 【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，判断即可； （2）根据图象，当时，找到对应的y值即可． 【详解】（1）解：y是x的函数， 理由：在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应； （2）解：根据图象可知，当时，，则小斌的速度为． 【变式5-2】渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ （2）结合图象回答：①当时，h的值是多少？ ②在内，当h随t的增大而减小，求t的取值范围． 【分析】（1）根据所给函数图象，结合函数的定义进行判断即可； （2）①观察图象t=4s时多对应的h值即可解答；②利用所给函数图象即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给函数图象可知，对于t的每一个值，总有唯一的h与之对应，所以变量h是关于t的函数； （2）解：①由函数图象可知，当时，h的值为4； ②由函数图象可知，在内，当h随t的增大而减小时，t的取值范围是． 【变式5-3】小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数； （2）结合图象回答：当时，h的值是多少？说明它的实际意义． 【分析】本题考查了函数的定义，函数图象； （1）根据函数的定义进行判断即可； （2）根据函数图象及横、纵坐标表示的实际意义可得答案． 【详解】（1）解：因为对于每一个摆动时间，都有一个唯一的的值与其对应，所以变量是关于的函数； （2）由题图可知，当时，， 它的实际意义是秋千摆动时，离地面的高度为． 【题型6 求函数关系式】 【例6】分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： （1）一个正方形的边长为，它的边长减少后，得到的新正方形周长为，y是x的函数； （2）寄一封质量在以内的市内平信，需邮资0.80元，寄n封这样的信所需邮资为y元，y是n的函数； （3）长方形的周长为，它的面积是它的一条边长的函数． 【分析】（1）先表示出新正方形的边长，再根据周长公式解答，并求出自变量的取值范围； （2）根据一封信的邮资乘以信的封数等于总邮资解答； （3）先表示出长方形的另一边，再根据面积公式解答． 【详解】（1）解：， ∵，且， ∴； （2）解：根据题意，得，自变量的取值范围是n为正整数； （3）解：根据题意，得， ∵，且， ∴． 【变式6-1】一辆汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，已知该汽车平均耗油量为． （1）写出表示y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； （2）若A，B两地相距，当油箱中油量少于时，汽车会自动报警，则这辆汽车在由A地到B地，再由B地返回A地的往返途中，汽车是否会报警请说明理由． 【分析】（1）利用油箱中的油量总油量耗油量，进而得出函数关系式，再求出x的取值范围，即可得出答案； （2）根据当油箱中油量少于时，汽车会自动报警，求出当油箱中油量等于时，汽车最多行驶的路程与地到地往返的路程进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，得与的关系式为， ∵， ∴， ∴自变量的取值范围为； （2）解：汽车会报警，理由如下： 当时，则， 解得， ∴汽车行驶超过就会报警，而往返两地路程为， ∵， ∴汽车会报警． 【变式6-2】将若干张长为、宽为的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． （1）求张白纸粘合后的总长度； （2）设张白纸粘合后的总长度为，写出与之间的关系式，并求当时，的值． 【分析】（1）4张纸不重叠总长度：；4张纸粘合，重叠段数：段，总共减少长度：；总长度=全部单张总长重叠减少的长度； （2）张纸不重叠总长：；重叠段数，总重叠减少长度：；总长度单张总长重叠减少长度，整理得到一次函数，再代入求值． 【详解】（1）解：总长度， 所以4张白纸粘合后的总长度为． （2）解：， ， ， 把代入解析式： ． 【变式6-3】抚州的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到抚州的历史文化底蕴与地方特色．某店为了减少临川白浒窑陶瓷茶具的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额（元）与日销量（盒）之间的关系如下表： 降价金额（/元） 0 10 30 40 50 60 日销量（/盒） 45 60 90 105 120 135 （1）上表中，自变量是________，因变量是________； （2）请你写出与之间的关系式； （3）若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【分析】（1）根据题意结合自变量和因变量的定义进行分析解答即可； （2）根据表格中所给数据进行分析表示出与之间的关系式； （3）根据原价计算出降价金额x，然后把代入关系式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意和表中数据可知：反映了日销量与降价金额之间的关系； 其中自变量是降价金额，因变量是日销量； （2）解：由表中的数据可知：当降价金额每增加10元时，日销量增加15盒，当开始不降价时，日销量45盒， ∴与之间的关系式为： （3）∵原价 265 元， ∴ 当时，， ∴该文创产品的日销量165盒． 【题型7 动点问题的函数图象】 【例7】某人骑车沿直线旅行，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图应是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据题意判断函数图像的起伏进行判断即可． 【详解】解：某人骑车沿直线匀速行驶，先前进了，这一过程反映在图象上应是自原点出发的一段上升线； 休息了一段时间，时间增加，但距离没有变化，故应是一段水平线； 按原路返回，这一段反映在图象上应是一段下降线； 再前进了，这一过程反映在图象上应是一段上升线，由于行驶中一直保持匀速，故第一段和最后一段上升线的倾斜度相同． 故选：C． 【变式7-1】如图，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，沿的路径匀速运动，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想，关键是将图中点P的运动与选项中的函数图象进行对应． 根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由点P的运动可知，点在边上运动时，的面积逐渐变大，可以判断选项不符合题意； 点在边上运动时，的面积不变， 点在边上运动时，的面积逐渐变小， 符合题意的选项为A， 故选：A． 【变式7-2】如图，小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为，所经过的时间为，下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，读懂题意是解题的关键．根据小明步行5分钟行驶了400米到达凉亭，然后休息5分钟，又步行5分钟行驶了400米到达公园，即可作答． 【详解】解：∵小明步行5分钟行驶了400米到达凉亭，然后休息5分钟，又步行5分钟行驶了400米到达公园， ∴A图象符合题意． 故选：A． 【变式7-3】如图，为小正方形组成的网格的边线，动点P从上一点C出发，先沿运动到达点D，再沿运动到达点E，点C，D，E均为格点（网格线的交点），设点P到的距离为d，点P运动的路程为n，，则m与n之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，理解题意是解题的关键． 根据题意推断函数的变化趋势，再根据图象的趋势求解． 【详解】解：由题意得：当P在上运动时，，此时， 当O在上时，n逐渐变大，不变，此时，m就逐渐变大， 故选：A． 模块三 课后作业 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选：B． 2．当时，函数的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接将给定的的值代入函数解析式，计算即可得到对应函数值． 【详解】解：将 代入解析式得：． 故选：D． 3．函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围． 无论x取何值，函数解析式均有意义，即取全体实数． 【详解】解：∵无论x取何值，函数解析式均有意义， ∴取全体实数． 故选：A． 4．下列各曲线中表示是的函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断是的函数依据函数定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应；图像判定方法：作垂直于轴的直线，若直线与曲线最多只有一个交点，则该曲线表示是的函数． 【详解】解：根据函数图像判定规则，逐一分析选项： 选项A、任作一条垂直于轴的直线，该直线与曲线仅有1个交点，即对任意一个，只有唯一对应，满足函数定义． 选项B、取的某一值，作垂直轴的直线，直线与曲线会出现上下2个交点，一个对应两个，不满足函数定义． 选项C、取的某一值，作垂直轴的直线，直线与图像会有个交点，一个对应两个，不满足函数要求． 选项D、取附近的横坐标，垂直轴的直线会和曲线产生2个交点，一个对应两个，不满足函数定义． 故选：A． 5．有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 【答案】①② 【分析】根据函数的定义逐个判断即可，对于的每一个确定值，有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． 【详解】解：根据函数的定义，逐一判断： ① ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ② ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ③ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义； ④ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义． 因此是的函数的是①②． 故答案为：①②． 6．如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为___________ ． 【答案】5 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，由图象可知，面积的最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积的最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 7．一个长方形的宽为，长比宽多，面积为． （1）求S与x之间的函数关系式； （2）求当时，长方形的面积为多少． 【分析】（1）先根据题意表示出长方形的长，再结合面积公式得到S与x的函数关系式，同时根据实际意义确定自变量的取值范围； （2）将代入所得函数关系式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：长方形的宽为，则长为， ∴． （2）解：当时， ． 8．地表以下岩层的温度随着深度的变化而变化．某处与之间的关系在一定范围内可以近似地表示成公式：．试分别求出该处地表以下深、、处的岩层温度． 【分析】将深度的值代入解析式计算即可得到对应温度． 【详解】解：∵ ， ∴当时，， 深处温度为； 当时，， 深处温度为； 当时，， 深处温度为． 9．游乐场的过山车上一点，在某一分钟内的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示： （1）h是否是t的函数？__________（填“是”或“不是”），并解释图中点P表示的实际意义； （2）求该点在这一分钟内，所达到的最高高度与最低高度的高度差； （3）写出h随时间t的增加而下降时，t的取值范围． 【分析】（1）根据函数的定义及图象可直接进行求解； （2）根据函数图象进行求解即可； （3）根据函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义可知：h是t的函数；点P表示的实际意义是当时间为30秒时，该点的高度为80米； （2）解：由图象可知：该点在这一分钟内，达到最高的高度为98米，最低的高度为2米， ∴米； 答：该点在这一分钟内，所达到的最高高度与最低高度的高度差为96米． （3）解：由函数图象可知：当和时，h随时间t的增加而下降． 10．某快递公司同省快递的收费标准见下表（包裹质量不足按计，超出部分不足按计）： 包裹质量/ … 运费/元 … （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）设运费为元，包裹质量为，写出与的关系式：________； （3）若包裹质量为，快递公司收取运费元，是否符合收费标准，请说明理由． 【分析】（1）根据变量的变化关系判断自变量和因变量； （2）根据表格数据总结运费与包裹质量的变化规律列出关系式； （3）根据收费规则计算对应质量的运费，判断是否符合收费标准． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，运费随包裹质量的变化而变化，因此自变量是包裹质量，因变量是运费； （2）解：根据表格数据可得，包裹质量为时，运费为8元，包裹质量每增加，运费增加3元，题目要求包裹质量不足按计， 则，整理得，（其中x为不小于实际包裹质量的最小正整数）； （3）符合收费标准 理由：包裹质量为，根据收费规则，按计算， 把代入，得， 计算所得运费与快递公司收取的运费一致，因此符合收费标准． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 函数 你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？下图反映了一个摩天轮上某一点离地面的高度（单位：）与旋转时间（单位：）之间的关系。 （1）根据上图填写下表 （2）对于给定的时间，相应的高度确定吗? 【知识点1 函数】 1．定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数，其中是自变量． 2．表示方法：表格法、关系式法、图像法． 3．函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于时的函数值． 【题型1 函数的概念】 【例1】下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，，满足，则是的函数 D．变量，满足，则是的函数 【变式1-1】已知球的体积公式为，其中V为球的体积，R为半径，则这个公式中的变量是（   ） A．V，，R B．和R C．V和R D．V和 【变式1-2】下列式子中y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】以下关于x，y的方程，其中y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 函数图像的识别】 【例2】下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列各图像中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【题型3 求自变量的取值范围】 【例3】函数中的的取值范围是______． 【变式3-1】函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】在函数中，自变量x的取值范围是______． 【变式3-3】下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求自变量的值或函数值】 【例4】当时，函数的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知y与x之间的函数解析式为，当时，自变量x的值是（     ） A． B． C．1 D．2 【变式4-2】高空抛物存在极大的安全隐患，已知物体从高空自由下落（不考虑空气阻力）时，下落高度h（m）与下落时间t（s）之间满足函数关系，g取，当物体下落2s（未落地）时，下落的高度为（     ） A．15m B．20m C．25m D．40m 【变式4-3】一架雪橇沿一斜坡滑下，经过时间t（s）滑下的路程s（m）由下式给出：．假如从坡顶滑到坡底的时间为8s，试问：坡长为多少？ 【题型5 从函数的图像获取信息】 【例5】下图表示水的质量（单位：g）随温度（单位：）变化的图象： （1）在这一变化过程中，自变量是什么？ （2）温度是多少时，水的质量最大？ （3）这一变化过程中，温度在什么范围内，水的质量随温度的升高而增大？温度在什么范围内，水的质量随温度的升高而减小？ 【变式5-1】市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度与路程之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．根据图象回答下列问题： （1）y是关于x的函数吗？为什么？ （2）当路程为时，小斌的速度是多少？ 【变式5-2】渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ （2）结合图象回答：①当时，h的值是多少？ ②在内，当h随t的增大而减小，求t的取值范围． 【变式5-3】小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数； （2）结合图象回答：当时，h的值是多少？说明它的实际意义． 【题型6 求函数关系式】 【例6】分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： （1）一个正方形的边长为，它的边长减少后，得到的新正方形周长为，y是x的函数； （2）寄一封质量在以内的市内平信，需邮资0.80元，寄n封这样的信所需邮资为y元，y是n的函数； （3）长方形的周长为，它的面积是它的一条边长的函数． 【变式6-1】一辆汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，已知该汽车平均耗油量为． （1）写出表示y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； （2）若A，B两地相距，当油箱中油量少于时，汽车会自动报警，则这辆汽车在由A地到B地，再由B地返回A地的往返途中，汽车是否会报警请说明理由． 【变式6-2】将若干张长为、宽为的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为． （1）求张白纸粘合后的总长度； （2）设张白纸粘合后的总长度为，写出与之间的关系式，并求当时，的值． 【变式6-3】抚州的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到抚州的历史文化底蕴与地方特色．某店为了减少临川白浒窑陶瓷茶具的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额（元）与日销量（盒）之间的关系如下表： 降价金额（/元） 0 10 30 40 50 60 日销量（/盒） 45 60 90 105 120 135 （1）上表中，自变量是________，因变量是________； （2）请你写出与之间的关系式； （3）若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【题型7 动点问题的函数图象】 【例7】某人骑车沿直线旅行，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图应是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，沿的路径匀速运动，设点经过的路径长为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为，所经过的时间为，下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，为小正方形组成的网格的边线，动点P从上一点C出发，先沿运动到达点D，再沿运动到达点E，点C，D，E均为格点（网格线的交点），设点P到的距离为d，点P运动的路程为n，，则m与n之间的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 2．当时，函数的函数值为（     ） A． B． C． D． 3．函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 4．下列各曲线中表示是的函数的是（   ）． A． B． C． D． 5．有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 6．如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为___________ ． 7．一个长方形的宽为，长比宽多，面积为． （1）求S与x之间的函数关系式； （2）求当时，长方形的面积为多少． 8．地表以下岩层的温度随着深度的变化而变化．某处与之间的关系在一定范围内可以近似地表示成公式：．试分别求出该处地表以下深、、处的岩层温度． 9．游乐场的过山车上一点，在某一分钟内的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示： （1）h是否是t的函数？__________（填“是”或“不是”），并解释图中点P表示的实际意义； （2）求该点在这一分钟内，所达到的最高高度与最低高度的高度差； （3）写出h随时间t的增加而下降时，t的取值范围． 10．某快递公司同省快递的收费标准见下表（包裹质量不足按计，超出部分不足按计）： 包裹质量/ … 运费/元 … （1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； （2）设运费为元，包裹质量为，写出与的关系式：________； （3）若包裹质量为，快递公司收取运费元，是否符合收费标准，请说明理由． 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