江苏扬中市第二高级中学2026年暑假新高三数学（函数与方程）复习自测练习

**基本信息** 2026年暑假高中数学函数与方程复习自测练习，聚焦零点、方程根、二分法等核心内容，通过基础题与综合题梯度设计，强化数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|零点存在性定理、二分法|如第3题考查二分法精确度，体现数学思维的严谨性| |多选题|3/18|函数奇偶性、方程根个数|第11题结合奇函数性质与方程根，培养逻辑推理| |填空题|3/15|函数零点、局部对称函数|第14题引入局部对称点，渗透创新意识| |解答题|5/77|方程根分布、函数最值与方程解|第19题综合函数最值与方程解，强化模型意识与综合应用能力|

2026年暑假高中数学（函数与方程）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是函数的零点，若，则的值满足 （ A ） A． B． C． D．的符号无法确定 2．设，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 （ C ） A． B． C． D． 3．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 （ C ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．若函数的图象和轴有交点，则实数的取值范围是 （ D ） A. B. C. D. 5．函数的零点个数为 （ B ） A． B． C． D． 6．如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为，若四边形是平行四边形，且平行四边形的面积为4，则实数的值为 （ B ） A. B. 2 C. 3 D. 【详解】设，，由题轴，从而，而是平行四边形，从而，又为的中点，则，,所以，即， 解得，则，从而，， 所以四边形的面积，得.故选：B. 7．已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根，则关于的方程在内有两个不等的实根，设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得.故选：A. 8．设，若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是 （ A ） A. B. C. D. 【详解】当时，所以有，因此有，所以函数的解析式为：，由题意可知：有四个不同的实数解，因此有：，设函数，因此由可知：函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，函数的图象如下图所示：要想函数的图象与函数的图象有四个不同的交点，必须有，此时有，再由， 结合图象可知：函数是关于直线对称，因此有， 所以， 令，令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，故，.故选：A 【点睛】本题考查了根据函数零点的性质求代数式的取值范围，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力，考查了函数单调性的应用. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数实数根的个数可以为 （ ACD ） A． B． C． D． 10．已知，则下列等式一定正确的是 （ BCD ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，即，则且，故C正确； 对于A，，错误；对于B，，正确； 对于D，，正确．故选：BCD 11．已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是 （ ABD ） A. 函数的值域为 B. 关于的方程的所有实数根之和为11 C. 关于的方程有且只有两个不等的实根 D. 当时，的解析式为 【详解】当时，有，当时，，所以，由于是定义在上的奇函数，所以. ，由此画出的图象如下图所示，由图可知的值域为，A选项正确.当时，令，解得，所以关于的方程的所有实数根之和为，B选项正确.关于的方程的根为，所以C选项错误. 当时，，所以D选项正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：奇函数对称性的准确应用：奇函数的对称性是解题的基础，通过这种对称性可以有效判断函数的值域和方程根的性质.函数图象的辅助分析：通过绘制函数图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中非常重要的辅助手段. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12.若函数有两个零点，则的取值范围为 . 13.已知实数a，b满足，，则______. 14．若在函数的定义域内存在，满足，则称为局部对称函数，点称为它的一个局部对称点．已知函数，且是函数的一个局部对称点，则实数的取值范围为___________． 【详解】依题意可得存在实数满足，即关于的方程有解即可，整理可得，令，又易知，可知，当且仅当时等号成立；因此可得关于的方程在上有解即可.即在上有解， 易知函数在上单调递增，所以，即, 所以.故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数. （1）若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 15．解：（1）因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 （2）因为方程有两个大于的不等实根， 所以， 解得：. 16．设 （1）试求之间的关系； （2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）； （3）比较的大小. 16．解：（1）令，由， 则， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 即， 所以与的差最小的整数是3； （3）由（1）得，， 又， ， ， 同理可得：， 综上可知， 17．已知函数． (1)若不等式f(2x)－k2x≥0在[－1，1]上有解，求k的取值范围： (2)若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 17．解：（Ⅰ）原式, 令，则,令， 因为对称轴，所以二次函数在区间上单调递减，所以 ∵有解，∴,∴. （Ⅱ）原式可化为, 令，原式可化为 因为方程有三个不同的实数根，所以由的图像知, 方程有两个根，且或 令 则或 ∴. 【点睛】本题主要考查了函数不等式能成立问题以及根据函数零点的个数求参数的范围，属于中档题. 18．已知函数是偶函数，． （1）求函数的零点； （2）若函数有零点，求实数的取值集合； （3）当时，函数与的值域相同，求的最大值． 18．解：（1）是偶函数， 则，即， ， 由的任意性得，即， ， ， 令，则或（舍去），即， 有一个零点为. （2）由（1）可知，则， 令可得， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 即，即方程有实根， 即，，令，， 由对勾函数的单调性可知，单调递减，单调递增， 所以时，，所以. 则实数的取值集合为. （3）设当时，函数的值域为， 则函数的值域也为， 由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 令，则， 在区间上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，则， 即为方程的两个根，解得， 所以当时，的值域为， 令，则， 在上单调递增，对勾函数在上单调递增， 由复合函数的单调性知，在上单调递增， 是偶函数，在上单调递减， 令，即，解得或， 即或， 故的最大值为. 19．已知函数，在时最大值为1和最小值为0．设． （1）求实数a，b的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数m的取值范围． 19．解：（1）∵函数，在时最大值为1和最小值为0． ∴（i）当时，不符合题意； （ii）当时，由题意得对称轴为，在单调增， ∴，∴； （ⅲ）当时，由题意得对称轴为，在单调减， ∴，∴，，不符合题意， 综上：； （2）当，令， ∴在上恒成立， ∴在上恒成立， 即在上恒成立， 又当时，最小值为，∴； （3）令，∴当时，方程有两个根； 当时，方程有一个根；当时，方程没有根． ∵关于x的方程有四个不同的实数解， ∴关于s的方程在有两个不同的实数解， ∴在有两个不同的实数解， ∴，∴． 综上：关于x的方程有四个不同的实数解时，． 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（函数与方程）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是函数的零点，若，则的值满足 （ ） A． B． C． D．的符号无法确定 2．设，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 3．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．若函数的图象和轴有交点，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 5．函数的零点个数为 （ ） A． B． C． D． 6．如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为，若四边形是平行四边形，且平行四边形的面积为4，则实数的值为 （ ） A. B. 2 C. 3 D. 7．已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 8．设，若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数实数根的个数可以为 （ ） A． B． C． D． 10．已知，则下列等式一定正确的是 （  ） A． B． C． D． 11．已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是 （ ） A. 函数的值域为 B. 关于的方程的所有实数根之和为11 C. 关于的方程有且只有两个不等的实根 D. 当时，的解析式为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12.若函数有两个零点，则的取值范围为 . 13.已知实数a，b满足，，则____ __. 14．若在函数的定义域内存在，满足，则称为局部对称函数，点称为它的一个局部对称点．已知函数，且是函数的一个局部对称点，则实数的取值范围为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数. （1）若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 16．设 （1）试求之间的关系； （2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）； （3）比较的大小. 17．已知函数． (1)若不等式f(2x)－k2x≥0在[－1，1]上有解，求k的取值范围： (2)若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 18．已知函数是偶函数，． （1）求函数的零点； （2）若函数有零点，求实数的取值集合； （3）当时，函数与的值域相同，求的最大值． 19．已知函数，在时最大值为1和最小值为0．设． （1）求实数a，b的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数m的取值范围． 4 学科网（北京）股份有限公司 $