江苏扬中市第二高级中学2026年暑假新高三数学（导数的应用）复习自测练习

**基本信息** 聚焦导数应用，通过单选、多选、填空及解答题的梯度设计，考查单调性、极值等核心知识，强化数学思维与问题解决能力，适配暑假复习自测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|单调性判断、极值点分析|基础巩固，如第1题考查函数单调区间求参数| |多选题|3/18|函数性质、零点问题|能力提升，如第11题结合方程根讨论参数范围| |填空题|3/15|最值应用、参数范围|综合应用，如第12题正四棱锥侧棱长最小值| |解答题|5/77|切线方程、单调性讨论、存在性问题|分层递进，如第17题探究函数单调性与存在性，体现推理能力与模型意识|

2026年暑假高中数学（导数的应用）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若上是减函数，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 2．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为 （ ） A. B. C. D. 3．已知函数在处取得极大值10，则的值为 （ ） A． B． C． D． 4．若x＝a是函数f(x)＝(x－a)2(x－1)的极大值点，则a的取值范围是 （ ） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 5．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是 （ ） 6．已知函数的导函数为，对任意的，都有，则不等式的解集为 （ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． （ ） 8．已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是 （ ） A B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．（多选）设函数，则下列说法正确的是 （ ） A．函数的的的递增区间为 B．曲线处的切线方程为 C．函数恰有两个极值点 D． 函数有唯一零点 10．（多选）下列关于函数的判断正确的是 （ ） A．的解集是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D． 有最大值无最小值 11．（多选）对于函数，下列说法正确的是 （ ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．既没有最大值也没有最小值 C．若方程有4个不等的实数根，则 D．设有3个不同的零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知正四棱锥的体积为，则其侧棱长的最小值为 13．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 . 14．设函数，则函数的最大值为 ；若对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）当时，函数在上的最小值为3，求实数的值. 16．已知函数. （1）若在处有极小值，求的单调递增区间； （2）若函数的图象与直线相切，求实数的值. 17．已知函数f(x)＝ax－2lnx． （1）讨论f(x)的单调性； （2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 18． 函数. （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数、的值； （2）若，对任意且，不等式成立，求的最小值. 19．已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（导数的应用）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若上是减函数，则实数的取值范围是 （ B ） A． B． C． D． 2．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为 （ A ） A. B. C. D. 3．已知函数在处取得极大值10，则的值为 （ A ） A． B． C． D． 4．若x＝a是函数f(x)＝(x－a)2(x－1)的极大值点，则a的取值范围是 （ A ） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 5．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是 （ A ） 6．已知函数的导函数为，对任意的，都有，则不等式的解集为 （ C ） A． B． C． D． 7．已知函数，若上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． （ C ） 8．已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是 （ C ） A B. C. D. 【详解】由成立，可得，设， 则存在，使得成立，即，又， 当且仅当，即时取等号，所以，所以实数a的取值范围是.故选：C. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．（多选）设函数，则下列说法正确的是 （ ABD ） A．函数的的的递增区间为 B．曲线处的切线方程为 C．函数恰有两个极值点 D． 函数有唯一零点 10．（多选）下列关于函数的判断正确的是 （ ABD） A．的解集是 B．是极小值，是极大值 C．没有最小值，也没有最大值 D． 有最大值无最小值 11．（多选）对于函数，下列说法正确的是 （ BCD ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．既没有最大值也没有最小值 C．若方程有4个不等的实数根，则 D．设有3个不同的零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知正四棱锥的体积为，则其侧棱长的最小值为 13．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 . 14．设函数，则函数的最大值为 ；若对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）当时，函数在上的最小值为3，求实数的值. 15．解：（1）当时，，求导得， 则，而， 所以函数在点处切线方程为，即. （2）函数，求导得，， 当时，，函数在上单调递增， ，解得，矛盾， 当时，由，得，函数递减， 由，得，函数递增， 因此，解得，从而， 当时，，函数在上单调递减， ，解得，矛盾， 所以. 16．已知函数. （1）若在处有极小值，求的单调递增区间； （2）若函数的图象与直线相切，求实数的值. 16．解：（1）由题意可知：， 因为在处有极小值，则，解得或6， 当时，则， 令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 可知在处有极小值，符合题意； 当时，则， 令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 可知在处有极大值，不符合题意； 综上所述：，的单调增区间为. （2）由（1）可知：， 设与切于， 则切线斜率， 可得切线方程为， 它与重合，则，显然， 整理可得，解得， 代入可得，所以. 17．已知函数f(x)＝ax－2lnx． （1）讨论f(x)的单调性； （2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 17．解：（1） 当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立； 当a＞0时，令得；令得； 综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减； a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增； （2）由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解 则ax≤x－2＋2lnx，． 令， x g'(x) ＋ 0 － g(x) ↗ 极大值 ↘ 所以，因此有 所以a的取值范围为： 【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键. 18． 函数. （1）若曲线在处的切线的方程为，求实数、的值； （2）若，对任意且，不等式成立，求的最小值. 18．解：（1）因为， 所以， 因为曲线在处的切线的方程为， 所以， 解得， （2）因为，所以， 所以函数在上单调递增， 因为，不妨设，则 因为， 所以， 即恒成立， 设， 若，则是上的常函数，显然不成立， 若，则是上的减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）． 综上，，即的最小值为 19．已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 19．解：（1）当时， 此时为上的递增函数，注意到， 当时，，所以递减区间为， 当时，，所以递增区间为. 综上所得，递减区间为，递增区间为. （2）注意到，所以为上的递增函数， 当时，， 当时，， 所以存在唯一的使得， 当时，， 当时，， 所以 （当且仅当即时，取等号） 所以. 5 学科网（北京）股份有限公司 $