2.5.2 圆与圆的位置关系（7个题型归纳）人教A版2026年新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.5.2 圆与圆的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 位置关系的判断方法 （1）代数法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 __ 2___个 __1___个 __0___个 两圆的位置关系 ____相交________ ____外切或内切________ ___外离或内含_____ （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 ____ ________ _____ _______ ____________ ____ ________ _____ _______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断圆与圆的位置关系】 【练方法】 公式结论 1.两圆外离 2.两圆外切 3.两圆相交 4.两圆内切 5.两圆内含 方法技巧 1.先求出两个圆的圆心坐标、半径，再计算圆心距 2.将与、比较大小判定位置关系 3.优先几何法，不推荐联立方程判别 （25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ）经典例题1例题 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. （25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ）小试牛刀1 A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. （25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ）小试牛刀2 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 【题型2：由圆与圆的位置关系求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1.配方得到圆心、半径，写出含参数的圆心距表达式 2.根据位置关系列出等式或不等式，去掉绝对值求解参数区间 3.区间端点对应相切情形，单独核验 （2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. （25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. （25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. （2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ）小试牛刀3 A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【分析】借助两圆相交的性质计算即可得. 【详解】由题知，两圆圆心分别为， 由圆与圆相交，则， 即，解得， 故选项中B正确，ACD错误. 【题型3：求相交圆的公共弦长】 【练方法】 公式结论 1.两圆方程相减得到公共弦所在直线方程 2.取其中一个圆心，计算圆心到公共弦直线距离 3.弦长公式 方法技巧 1.两圆一般方程直接相减消去二次项得到公共弦直线 2.选用计算简便的圆求圆心到弦的距离 3.仅两圆相交时存在公共弦 （25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________．经典例题1例题 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． （24-25高二上·天津·期中）圆与圆的公共弦长为__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆与圆， 两圆的方程相减，可得，即， 即圆与的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. （25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. （25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求：小试牛刀3 (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 【题型4：圆的公切线条数】 【练方法】 公式结论 1.外离4条公切线（2外公切，2内公切） 2.外切3条公切线 3.相交2条公切线（只有外公切线） 4.内切1条公切线 5.内含0条公切线 方法技巧 1.先判定两圆位置关系，直接对应公切线数量 2.圆心距、半径大小是判断核心依据 （2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． （25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________．小试牛刀1 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． （2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ）小试牛刀2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ， ，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. （2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 【题型5：求圆的公切线方程】 【练方法】 公式结论 设切线，圆心到直线距离等于自身半径 方法技巧 1.先讨论斜率不存在的竖直线，防止漏解 2.区分外公切线、内公切线，距离等式符号不同 3.解出参数后代回检验是否满足相切条件 （25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________.经典例题1例题 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 （2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. （25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． （25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 【题型6：求圆的公切线长度】 【练方法】 公式结论 1.外公切线长 2.内公切线长 方法技巧 1.先计算圆心距，分清内外公切线选用对应公式 2.内公切线存在前提：（外离） 3.外切时内公切线长为0 （25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________.经典例题1例题 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）．小试牛刀1 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. （24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ）小试牛刀2 A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D （2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 【题型7：利用圆与圆的位置关系求参数范围】 （25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. （25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________．小试牛刀1 【答案】 1 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解半径；由是钝角得出M点在以为直径的圆内，列出不等式求解即可． 【详解】圆化为， 所以圆的半径为1，圆心； 是钝角，表示M点在以为直径的圆内， 设以为直径的圆为圆O，则两圆内含，圆C在内部， 两圆心距离，圆C的半径为1，圆半径为， 由． （2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. （2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为直径的圆上，根据圆与圆的位置关系可得的范围. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点在圆上，所以， 即， 所以，解得. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【答案】A 【分析】利用两圆外切的性质列方程求解即得. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 2．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 3．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 5．（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据公切线条数判断两圆的位置关系，再根据圆心距列式求解. 【详解】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为. ∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得. 6．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合两圆的位置关系，可得四边形与四边形均为正方形，结合勾股定理，列式求解，即可得答案 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， 7．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 8．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    9．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，    于是. 二、多选题 10．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）点在圆上，点在圆上，则下列说法正确的是（   ） A．圆，圆有两条公切线 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】先把两个圆的方程都转化成标准形式，得出圆心坐标和半径大小，再算圆心距，并判断位置关系，求的最值，及圆心连线斜率，最后逐一判断选项即可． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，即， 所以圆心，半径， 则， 所以两圆相离，有四条公切线，A错误． 的最大值：的最大值为7，B正确； C.选项：两圆心连线斜率,C正确． D.选项：两圆外离，无相交弦，故方程不存在，D错误． 11．（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 12．（25-26高二下·山西·期末）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 【答案】BD 【分析】由方程可知各圆圆心和半径，对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值． 【详解】由题知圆的圆心，半径， 圆可化为16，故圆的圆心，半径， 则，所以两圆相交，故A错误； 因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确； 由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D正确； 13．（25-26高二下·广西梧州·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（     ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆：与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，将点代入圆方程，可判断选项正误；对于B，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；对于C，比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误；对于D，利用切线过且和垂直可得切线方程，从而判断选项正误. 【详解】对于A，将点代入圆方程得：，所以点在圆内，A正确； 对于B，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故B错误； 对于C，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故C正确； 对于D，易得在圆上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故D正确. 14．（25-26高二下·安徽·期中）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；直线与圆的位置关系和三角形的面积公式计算即可判断B；如图，确定当取最小值时取得最小值，结合点与圆的位置关系计算即可判断C；设，根据平面向量数量积的定义，由选项C可得，结合换元法和基本不等式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 且，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，当与圆相切时，， 所以的面积为，故B正确． 对于C，连接，则， 当取最小值时取得最小值， 又，所以，故C正确； 对于D，设，则， 在中， ，则， 由对C的分析，知， 所以 ， 令，则，， 当且仅当时等号成立，故D错误． 三、填空题 15．（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 【答案】（或，） 【分析】由题知两圆位置关系为外切，有三条公切线，进而作出图象，结合图象可设公切线方程为，再根据相切关系建立方程，，两式作比得，再分类求解即可. 【详解】由题知的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 所以，故两圆位置关系为外切，有三条公切线. 如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程为， 则由直线与相切得：，即， 由直线与相切得：，即， 所以，即， 所以， 当时，，代入整理得，解得或， 此时公切线方程为（）或， 当时，，代入整理得，解得，此时公切线方程为（）， 综上，所求的公切线方程为，或 故答案为：（或，） 16．（2026高二·全国·专题练习）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则___________ 【答案】3 【分析】设两圆心分别为，切线与x轴的交点为,由切线斜率可求出切线与x轴的夹角，再结合即可求解. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 过点，斜率为， 和x轴的夹角，则不妨设两圆心为，则， 可得， 又两圆外切， 则， 则，故. 故答案为：3 17．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 四、解答题 18．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【答案】(1) (2)圆与圆外切，. 【分析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为，线段的中垂线方程为，与已知直线联立，解得圆心，计算，得到半径； （2）圆心距，恰好等于两圆半径之和，因此两圆外切；设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：解得三组解即得. 【详解】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. （2）由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.5.2 圆与圆的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 位置关系的判断方法 （1）代数法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 __ 2___个 __1___个 __0___个 两圆的位置关系 ____相交________ ____外切或内切________ ___外离或内含_____ （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 ____ ________ _____ _______ ____________ ____ ________ _____ _______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断圆与圆的位置关系】 【练方法】 公式结论 1.两圆外离 2.两圆外切 3.两圆相交 4.两圆内切 5.两圆内含 方法技巧 1.先求出两个圆的圆心坐标、半径，再计算圆心距 2.将与、比较大小判定位置关系 3.优先几何法，不推荐联立方程判别 （25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ）经典例题1例题 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 （25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ）小试牛刀1 A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 （25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ）小试牛刀2 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【题型2：由圆与圆的位置关系求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1.配方得到圆心、半径，写出含参数的圆心距表达式 2.根据位置关系列出等式或不等式，去掉绝对值求解参数区间 3.区间端点对应相切情形，单独核验 （2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ）经典例题1例题 A． B． C．6 D．7 （25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ）小试牛刀3 A．7 B．5 C．3 D．1 【题型3：求相交圆的公共弦长】 【练方法】 公式结论 1.两圆方程相减得到公共弦所在直线方程 2.取其中一个圆心，计算圆心到公共弦直线距离 3.弦长公式 方法技巧 1.两圆一般方程直接相减消去二次项得到公共弦直线 2.选用计算简便的圆求圆心到弦的距离 3.仅两圆相交时存在公共弦 （25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________．经典例题1例题 （24-25高二上·天津·期中）圆与圆的公共弦长为__________．小试牛刀1 （25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求：小试牛刀3 (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【题型4：圆的公切线条数】 【练方法】 公式结论 1.外离4条公切线（2外公切，2内公切） 2.外切3条公切线 3.相交2条公切线（只有外公切线） 4.内切1条公切线 5.内含0条公切线 方法技巧 1.先判定两圆位置关系，直接对应公切线数量 2.圆心距、半径大小是判断核心依据 （2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________．小试牛刀1 （2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ）小试牛刀2 A．1 B．2 C．3 D．4 （2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：求圆的公切线方程】 【练方法】 公式结论 设切线，圆心到直线距离等于自身半径 方法技巧 1.先讨论斜率不存在的竖直线，防止漏解 2.区分外公切线、内公切线，距离等式符号不同 3.解出参数后代回检验是否满足相切条件 （25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________.经典例题1例题 （2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________．小试牛刀2 （25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：求圆的公切线长度】 【练方法】 公式结论 1.外公切线长 2.内公切线长 方法技巧 1.先计算圆心距，分清内外公切线选用对应公式 2.内公切线存在前提：（外离） 3.外切时内公切线长为0 （25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________.经典例题1例题 圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）．小试牛刀1 （24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ）小试牛刀2 A．3 B．5 C． D．4 （2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________．小试牛刀3 【题型7：利用圆与圆的位置关系求参数范围】 （25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________．小试牛刀1 （2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 2．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 9．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 二、多选题 10．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）点在圆上，点在圆上，则下列说法正确的是（   ） A．圆，圆有两条公切线 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 11．（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 12．（25-26高二下·山西·期末）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 13．（25-26高二下·广西梧州·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（     ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆：与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 14．（25-26高二下·安徽·期中）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 15．（2025·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 16．（2026高二·全国·专题练习）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则___________ 17．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 四、解答题 18．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $