第三章 图形的相似单元测试2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第三章“图形的相似”单元测试，覆盖位似、相似比、判定与性质等核心知识，通过几何直观、推理能力与应用意识考查核心素养，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|位似坐标（第1题）、相似比（第2题）、相似判定（第3题）|结合动态图形（第4题）、实际测量（第8题），体现数学眼光与应用意识| |填空题|5/20|平行线分线段成比例（第11题）、最短路径（第12题）、相似性质（第13题）|融入规律探究（第15题），培养推理思维与创新意识| |解答题|5/50|相似证明（16题）、网格作图（17题）、折叠与相似（19题）|综合折叠变换（19题）、几何作图（17题），考查数学思维与语言表达能力|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第三章 图形的相似 单元测试 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第三章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心在第一象限内画线段，若，则端点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 3．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 4．如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（     ） A． B． C．9 D． 5．如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在直线上，点，将进行如下操作：①绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第1次运动；②绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第2次运动；③绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第3次运动，，当第9次运动后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，，，．若，，则的值为______． 12．如图，直角三角形中，，，若在，上各取一点、，使的值最小，则这个最小值为________． 13．如图所示，在中，、分别在、上，且，，则________． 14．如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 15．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点A1，作第2个正方形；延长交x轴于点，作第3个正方形…按这样的规律下去，第2022个正方形的边长为______． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．如图，在中．，于，作于，是中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 17．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画出线段的垂直平分线． (2)在图②中的线段上找一点C，使． 18．如图：在小正方形边长为1的正方形网格图中有一条线段． (1)线段的长度是___________； (2)将线段绕点逆时针旋转得线段，请用无刻度的直尺作出线段； (3)请用无刻度的直尺在线段上找一点，使得 19．如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 20．点F在的平分线上，连接，，．如图1，点A，D，C在同一条直线上，E在上，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第三章 图形的相似 单元测试 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第三章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心在第一象限内画线段，若，则端点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，则可判断线段和线段的位似比为，根据关于以原点为位似中心，对应点的坐标变换规律，把A点的横、纵坐标都乘以2得到C点坐标． 【详解】解∶ ，， ． ， ． 以原点O为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段， 线段和线段的位似比为． 点C的坐标为，即． 2．若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 3．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：在图1中，三角形内角和为， ∴左三角形的第三个角：， ∴三个角为； 右三角形的第三个角：， ∴三个角为； 两个三角形只有一个角相等，三个角不对应相等， ∴图1的两个三角形不相似； 图2中和，和是对顶角， ∴； 夹对应角的边满足：，， 即， ∴图2的两个三角形相似． 4．如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了，可得，此时，根据勾股定理可得；当时，，可得，根据相似三角形的性质可得，进而得出a的值． 【详解】解：如图所示，作，交于点M，作，交于点N， 由题意可知，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 6．如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 7．如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 8．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在直线上，点，将进行如下操作：①绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第1次运动；②绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第2次运动；③绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第3次运动，，当第9次运动后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出点，确定，第2次运动后，记点O的对应点为，如图所示，作轴，交y轴于点E，利用相似三角形的判定和性质得出，，确定点的横坐标为，纵坐标为，据此规律即可求解． 【详解】解：的斜边在直线上，点， ∴， 解得， 点， ， ， 第2次运动后，记点O的对应点为，如图所示，作轴，交y轴于点E， ∴，， ∴， ∴，即 ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为； 同理第6次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为； 当第9次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 10．如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据图2可求得；过E作于H，则可证明，同理，可证明，得．设．由可求得x的值，再由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：由题意，根据图2可得，当时，即时，， ∴． 又∵， ∴当点D运动到中点时，则． 如图，过E作于H， ∵， ∴． 又∵， ∴． 同理，． ∴． 设． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，经检验，是方程的根． ∴， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，，，．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出的长，通过角的和差关系证明，结合已知角相等证明，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 12．如图，直角三角形中，，，若在，上各取一点、，使的值最小，则这个最小值为________． 【答案】16 【分析】作点关于直线的对称点，过点作于点，此时的值最小，最小值为线段的长，利用面积法求出的长，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，过点作于点，连接， 由对称性可知，，，， ， 根据垂线段最短可知，当三点共线且时，最小，最小值为的长， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， 又， ， ， ， 故的最小值为16． 13．如图所示，在中，、分别在、上，且，，则________． 【答案】2.5 【分析】证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点A1，作第2个正方形；延长交x轴于点，作第3个正方形…按这样的规律下去，第2022个正方形的边长为______． 【答案】 【分析】由题意得，再根据勾股定理得，即可得第1个正方形的边长为，然后说明，可得，进而求出，接下来求出第2个正方形的边长为，同理求出第3个正方形的边长为，再求出第n个正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：由题意，得， 根据勾股定理，得， 第1个正方形的边长为． ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 第2个正方形的边长为． 由正方形的性质可得， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 第3个正方形的边长为， 同理可得， 第4个正方形的边长为， 第n个正方形的边长为， 所以第2022个正方形的边长为． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．如图，在中．，于，作于，是中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明：于，作于， ， ， ∴， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）只要证明，可得，推出即可解决问题； （2）利用直角三角形斜边中线定理求出，再根据三角形中位线定理得到，则，再书写比例式求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ，，是中点，， ， ，， ， ， ∴ ， ． 17．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中画出线段的垂直平分线． (2)在图②中的线段上找一点C，使． 【答案】(1)如图，直线即为所求， (2)如图，点C即为所求， 【分析】（1）根据图形可以确定中点，再利用旋转的性质作图即可； （2）利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略． 18．如图：在小正方形边长为1的正方形网格图中有一条线段． (1)线段的长度是___________； (2)将线段绕点逆时针旋转得线段，请用无刻度的直尺作出线段； (3)请用无刻度的直尺在线段上找一点，使得 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）取格点，连接即可； （3）取格点，连接，可得，则． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）略 19．如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 20．点F在的平分线上，连接，，．如图1，点A，D，C在同一条直线上，E在上，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：平分， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，从而得出结论； 先将转化为，证明，进而证明，从而证明． 【详解】（1）略； （2）略． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $