广东省揭阳市榕城区揭阳真理中学2025-2026学年九年级上学期数学寒假培优卷10

揭阳真理中学2025-2026第一学期九年级数学寒假培优卷10 一．选择题（共10小题） 1．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（　　） A． B． C． D． 题1 题3 题5 2．2025年某省高考首次实行“3+1+2”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（　　） A． B． C． D． 3．如图，五线谱是世界上通用的一种记谱法，基本结构是由五条等距离的平行线组成．直线l上的三个点A，B，C都在平行线上．若AC＝9，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．点（﹣1.37，y1），（﹣2.23，y2）都在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 5．如图，平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE，AC相交于点O，过O作AB的平行线交BC于点P，若AB＝5，则OP的长是（　　） A． B． C． D． 6．如图是某校数学课外兴趣小组制作的风筝模型，将其抽象为如图所示的平面图形，发现四边形ABCD是菱形，∠C＝45°，DE⊥BC，垂足为E，则tan∠BDE的值是（　　） A． B． C． D． 题6 题9 题10 7．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足，则ax2+bx+c＝0必有一根为（　　） A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3 8．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（　　） A．B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，C（0，4），点A在x轴上，以AC为对角线构造平行四边形ABCD，B点在第三象限，BC与x轴交于点F，延长BC至点E，使得EF＝5BF，BC＝EC，连结对角线BD与AC交于点G，连结EG、CD交于点H，若D、E在反比例函数上，S△DHG＝4，则k的值为（　　） A．30 B．24 C．20 D．15 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，P，Q分别是AB，CD上的点，且始终保持DQ＝2BP，过点C作CE⊥PQ于点E，连接BD与PQ交于点F，连接DE，则DE的最小值为（　　） A． B． C． D．3 二．填空题（共5小题） 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，，则对角线BD的长 　 　 ． 题11题13题14题15 12．已知实数m，n满足2m2+3n2﹣4m﹣18n+29＝0，则m+n的平方根是　 　 ． 13．如图，圭表是古代一种用于测量日影长度的天文仪器，竖立木杆AB为“表”，平台上水平放置的刻度标尺BD为“圭”．若∠BAC＝∠ADB，测得第一时刻的影长BC为25cm，第二时刻的影长BD为100cm，则木杆AB的高度为　 　 cm． 14．如图，反比例函数和，点B、C在x轴上，点A、D在反比例函数图象上，则矩形ABCD的面积为　 　 ． 15．如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中OA0＝1，A0A1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝An﹣1An＝1，每个三角形都以点O为顶点．若∠An﹣1OAn是第一个小于18°的角，则n的值为　 　 ．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325，， 三．解答题（共8小题） 16．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；（2）计算：tan260°+4sin30°cos45°． 17．为了激发学生对理化学科的研究兴趣，某校在初三年级开展了理化实验操作测试，要求每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如图所示． 理化实验操作内容物理 实验一：用托盘天平测固体和液体的质量 实验二：探究并联电路中电流的规律 实验三：探究杠杆的平衡条件 化学 实验一：氧气的制取 实验二：溶液酸碱性的检验 实验三：粗盐提纯 （1）求小李同学抽到化学实验一的概率； （2）用列表法或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率． 18．如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子． （1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； （2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离． 19．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G． （1）求证：四边形EFGO是矩形． （2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，且，求△AEO的面积． 20．如图，在等边△ABC中，点D在AB边上，以CD为边作等边△CDE，AC与DE交于点F． （1）求证：△ADF∽△BCD； （2）若AD＝2BD，AC＝9，求AF的长． 21．中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店购进一批龙泉青瓷茶杯，进价为120元/只，每日以单只135～165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数，当茶杯的单价为140元/只时，日销售量为120只；当茶杯的单价为150元/只时，日销售量为100只． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）的函数关系式． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（m＞1且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行？如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 22．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）求t＝15时，△PEF的面积； （2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似． 23．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于M（m，2），N（4，n）两点，连接OM，ON． （1）当b＝3时，求△MON的面积； （2）如图，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，两线相交于点P，若将△PMN沿MN翻折后，点P恰好落在x轴上，求b的值和反比例函数的表达式； （3）在（2）的条件下，若点Q是平面内一点，且它的纵坐标为，连接MQ，PQ，求的最大值． 揭阳真理中学2025-2026第一学期九年级数学寒假培优卷10参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C D A C C A A 1．【解答】解：根据几何体的特点可得：从几何体的正面可以看到选项C的图形故选：C． 2．【解答】解：把思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，作树状图如下： 由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种：（B，D），（D，B）， ∴P（李明恰好选中地理、生物）．故选：A． 3．【解答】解：如图，过点A作AD⊥过点C的平行线于D，交过点B的平行线于E， ∵EB∥DC， ∴，即， 解得：AB＝3，故选：A． 4．【解答】解：∵y＝中，k＝3.14159＞0， ∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点（﹣1.37，y1），（﹣2.23，y2）都在反比例函数的图象上，﹣2.23＜﹣1.37， ∴y1＜y2，故选：C． 5．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB＝5， ∴AB∥CD，AB＝CD＝5， ∵点E是CD中点， ∴． ∵AB∥CE， ∴△AOB∽△COE， ∴， ∴， ∵OP∥AB， ∴△CPO∽△CBA， ∴， ∴．故选：D． 6．【解答】解：设DE＝x， ∵∠C＝45°，DE⊥BC， ∴∠C＝∠CDE＝45°， ∴DE＝CD＝x， ∴CDx， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CDx， ∴BE＝BC﹣CEx﹣x， ∴tan∠BDE1，故选：A． 7．【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴3ax2﹣（9a+c）x+3c＝0， ∴3ax2﹣9ax+3c﹣cx＝0， ∴3ax（x﹣3）﹣c（x﹣3）＝0， ∴（3ax﹣c）（x﹣3）＝0， ∴ax2+bx+c＝0必有一根为3，故选：C． 8．【解答】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形， 故该选项不符合题意； C、不能确定四边形的四个角是不是直角， 故该选项符合题意； D、由勾股定理逆定理得△ABC、△ADC是直角三角形， ∵AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴两个全等的三角形拼成的四边形为矩形， 故该选项不符合题意；故选：C． 9．【解答】解：∵C（0，4），点A在x轴上，EF＝5BF，BC＝EC， ∴BE＝6BF，CF＝2BF， 设点F（﹣2a，0），则E（3a，10），B（﹣3a，﹣2）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∵EC＝BC， ∴EC∥AD，EC＝AD， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴点D的纵坐标为6， ∵D、E在反比例函数上， ∴30a＝6xD， ∴xD＝5a， ∴D（5a，6）， ∵点G为BD的中点， ∴G（a，2）， 又∵点C为BE的中点， ∴AC∥DE， ∴△CHG∽△DHE， ∴， ∴S△DHGS△DCG， ∵S△DHG＝4， ∴S△DCG＝6， ∴S△DCG＝S△BCG＝6， 设直线BG与y轴交于点N， ∴S△BCG（xG﹣xB）•CN•4a•CN＝2a•CN， 设直线BD的解析式为：y＝mx+n， ∴，解得， ∴yx+1， ∴N（0，1）， ∴CN＝3， ∴2a•3＝6，解得a＝1， ∴E（3，10）， 将点E（3，10）代入， ∴k＝30．故选：A． 10．【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G，连接FC，取FC的中点O，过点O作OH⊥CD于点H，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BDAB＝6，AB∥CD， ∴， ∴BFDFBD＝2，DF＝4， ∴点F为BD的三等分点，是定点， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DBC＝45°， ∴△BGF为等腰直角三角形， ∴BG＝FGBF＝2， ∴GC＝BC﹣BG＝4， ∴FC2， ∵O为FC的中点， ∴OF＝OC． ∵CE⊥PQ， ∴点E在以点O为圆心，为半径的圆弧上， ∴当点D，E，O在一条直线上时，DE取得最小值， ∵FG⊥BC，DC⊥BC， ∴FG∥CD， ∴∠GFC＝∠HCO， ∵∠FGC＝∠OCH＝90°， ∴△FGC∽△CHO， ∴， ∴， ∴CH＝1， ∴DH＝CD﹣CH＝4， ∴OH2， ∴DO， ∴DE＝DO﹣EO．故选：A． 11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且对角线AC，∠BAD＝60°， ∴OAAC，OD＝OB，AC⊥BD，∠OAB∠BAD＝30°， ∴△OAB是直角三角形， 在Rt△OAB中，tan∠OAB， ∴OB＝OA•tan∠OAB4， ∴OD＝OB＝4， ∴BD＝OD+OB＝8．故答案为：8． 12．【解答】解：已知实数m，n满足2m2+3n2﹣4m﹣18n+29＝0， 2m2+3n2﹣4m﹣18n+29＝0， 2（m2﹣2m）+3（n2﹣6n）+29＝0， 2（m2﹣2m+1﹣1）+3（n2﹣6n+9﹣9）+29＝0， 2（m﹣1）2﹣2+3（n﹣3）2﹣27+29＝0， 2（m﹣1）2+3（n﹣3）2＝0， ∵2（m﹣1）2≥0，3（n﹣3）2≥0， ∴2（m﹣1）2＝0，3（n﹣3）2＝0， ∴m＝1，n＝3， ∴m+n＝4， ∴m+n的平方根为±2．故答案为：±2． 13．【解答】解：∵∠ABC＝∠DBA＝90°，∠BAC＝∠ADB， ∴△ABC∽△DBA， ∴， ∴AB50（cm）， 答：木杆AB的高度是50cm，故答案为：50． 14．【解答】解：设线段AD交y轴于点E，如图， ∵矩形ABCD中的顶点B、C在x轴上，A、D在反比例函数图象上， ∴S矩形ABOE＝|﹣4|＝4，S矩形EOCD＝|2|＝2， ∴矩形ABCD的面积＝4+2＝6．故答案为：6． 15．【解答】解：由题意可得， OA1，OA2，OA3，…，OAn， ∴sin∠An﹣1OAn， ∵∠An﹣1OAn是第一个小于18°的角，sin18°≈0.309， ∴0.309， 解得n＞9.47， ∵n为整数， ∴n＝10，故答案为：10． 16．【解答】解：（1）a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴方程的解为，； （2）原式． 17．【解答】解：（1）∵化学共有三个实验可选， ∴小李同学抽到化学实验一的概率为； （2）把物理实验一，实验二，实验三分别记为A，B，C，化学实验一，实验二，实验三分别记为a，b，c，列表如下： A B C a （A，a） （B，a） （C，a） b （A，b） （B，b） （C，b） c （A，c） （B，c） （C，c） 共有9种等可能的结果，其中小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的结果有1种， ∴小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率为． 18．【解答】解：（1）如图，延长MA、NB，它们的交点为O点，再连接OC、OD，并延长交地面于P、Q点，则PQ为CD的影子，所以点O和PQ为所作； （2）作OF⊥MN交AB于E，如图，AB＝1.2m，EF＝1.2m，MN＝2m， ∵AB∥MN， ∴△OAB∽△OMN， ∴AB：MN＝OE：OF，即1.2：2＝（OF﹣1.2）：OF，解得OF＝3（m）．答：路灯O与地面的距离为3m． 19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵点E是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， ∵OG⊥BC，EF⊥BC， ∴∠EFG＝90°，EF∥OG， ∴四边形EFGO是矩形； （2）解：过点E作EH⊥OA于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝10，OA＝OC， ∵点E是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， ∴， ∴△AEO是等腰三角形， ∴， ∵， ∴即， ∴，， ∴ ∴若四边形ABCD是菱形，AB＝10，且，则． 20．【解答】解：（1）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠CDE＝60°， ∴∠ADF+∠BDC＝120°，∠BCD+∠BDC＝120°， ∴∠ADF＝∠BCD， ∴△ADF∽△BCD； （2）∵△ABC是等边三角形，AC＝9， ∴AB＝BC＝9， ∵AD＝2BD， ∴AD＝6，BD＝3， ∵△ADF∽△BCD， ∴， ∴， ∴AF＝2． 21．【解答】解：任务1：由题意，设函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， ∴． ∴k＝﹣2，b＝400． ∴y＝﹣2x+400（135≤x≤165，x为整数）； 任务2：由题意得，（x﹣120）y＝3000， ∴（x﹣120）（﹣2x+400）＝3000， ∴x＝150或x＝170（不合题意，舍去），答：该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：当x＝160时，y＝﹣2×160+400＝80， 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 ∴（160﹣120﹣m）×80≥3030， ∴m， 又∵m＞1且m为整数， ∴m＝2时满足条件， ∴当m＝2时，日捐款总额为80×2＝160（元）， 答：方案可行，每售出一只茶杯就捐款2元，日捐款总额为160元．填表如下： 22．【解答】解：（1）∵EF∥OA， ∴∠BEF＝∠BOA 又∵∠B＝∠B， ∴△BEF∽△BOA， ∴， 当t＝15时，OE＝BE＝15，OA＝40，OB＝30， ∴， ∴S△PEFEF•OE（平方单位）； （2）∵△BEF∽△BOA， ∴， ∴，整理，得t2﹣30t+240＝0， ∵Δ＝302﹣4×1×240＝﹣60＜0， ∴方程没有实数根． ∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值； （3）当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA， ∴，即，解得t＝12； 当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB， ∴，即，解得． ∴当t＝12或时，△EOP与△BOA相似． 23．【解答】解：（1）当b＝3时，直线，则m＝2，n＝1， ∴M的坐标为（2，2），N的坐标为（4，1），分别过M，N作x轴的垂线，垂足分别为A，B， 则AM＝AO＝2，BN＝1，OB＝4，AB＝2， ∴S△MON＝S△OMA+S梯形ABNM﹣S△OBN； （2）设翻折后点P落在x轴上点C处，延长PM交y轴于点D， ∵PM∥x轴，PN∥y轴， ∴P，M，D共线，P，N，B共线，且点P的坐标为（4，2）， ∵M（m，2），N（4，n）在反比例函数图象上， ∴， ∴N的坐标为， 由题意，MA＝2，MC＝MP＝4﹣m，， ∵∠MCN＝∠P＝90°， ∴∠MCA+∠NCB＝90°，∠CNB+∠NCB＝90°， ∴∠MCA＝∠CNB， ∴Rt△MCA∽Rt△CNB， ∴， ∴， ∵CB2+NB2＝CN2， ∴，解得， ∴k＝2m＝3， ∴反比例函数的表达式为， 把代入，得， ∴； （3）∵点Q的纵坐标为， ∴点Q在直线上， 如图，过点M作直线的垂线，垂足为H， ∵M的坐标为，P的坐标为（4，2） ∴，MH， ∴MP＝MH， 作∠MPE＝∠MQP， 则△MPE∽△MQP， ∴， ∴， 又∵， ∴，∠HME＝∠QMH， ∴△HME∽△QMH， ∴∠HEM＝∠QHM＝90°， 取MH中点F，则， ∴， ∵PE+EF≥PF，即， ∴， ∴的最大值是当时取得， 此时． 学科网（北京）股份有限公司 $