广东省揭阳市榕城区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质检 九年级数学科试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分 1. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 2. 解一元二次方程最简单的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 3. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 4. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 0 5. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形在平面直角坐标系中，其对角线，交于点B，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，平分，交于点，连接，恰好平分，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为； ②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为； ③当时，若，则或． 以上结论正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是______． 12. 若实数a、b分别满足，，且，则的值为_________． 13. 如图，在中，，，，D是边的中点，则______． 14. 定义新运算“”，规则：，如，若的两根分别为，，则______． 15. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E从点B出发，在边上由B向A移动，同时点F从点A出发，以相同的速度在边上由A向D移动，连接，．下列结论：①；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的结论有________（填序号）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 用配方法解方程：； 17. 关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； （2）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 18. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，则该矩形的面积为______； （2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； （3）在图③中画出面积为8的正方形． 20. 某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 21. 如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，的平分线交于点M，交于点N，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于的二次三项式，利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求最小值，令，则，则，可解得，从而确定的最小值为2．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 任务3 应用新知：利用已有知识经验，求证：周长为的矩形中，正方形的面积最大． 23. 教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值． （1）如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________． 知识应用： （2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． （3）如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________． 2025-2026学年度第一学期期中质检 九年级数学科试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】#### 【14题答案】 【答案】3 【15题答案】 【答案】①②③ 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 【19题答案】 【答案】（1）8 （2） 菱形即为所求． （3） 正方形即为所求． 【20题答案】 【答案】（1） （2）元 【21题答案】 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴四边形是菱形． （2） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 【22题答案】 【答案】任务1：； 任务2：； 任务3：设矩形的面积为，其中一边长为，另一边长为 当时，有最大值，为 周长为的矩形中，正方形的面积最大． 【23题答案】 【答案】（1） （2）的周长是定值24，理由见解答过程 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $