暑假结业测试卷（范围：前3章）（暑假预习举一反三学情自测）新八年级数学上册新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学暑假结业测试卷，聚焦三角形与轴对称，通过AI品牌图标、太阳能支架等真实情境，结合基础计算与规律探究题，分层检测核心知识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|轴对称图形（AI图标）、三角形稳定性（热水器支架）|情境关联科技与生活，基础概念直接考查| |填空|6/18|坐标对称、全等条件补充|简洁检测易错点，如格点轴对称找点| |解答|8/72|角度计算、全等证明、作图与探究（中线取值范围）|第24题“倍长中线”探究培养几何直观，第9题等边三角形规律题发展推理意识|

暑假结业测试卷 【人教版新教材】 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 3．测试范围：第十三章 三角形~第十五章 轴对称。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）未来将是一个可以预见的AI时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义判定即可． 【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 2．（3分）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．10 B．8 C．6 D．2 【分析】根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可． 【解答】解：由三角形三边关系可得：5﹣3＜a＜5+3， 即2＜a＜8， 因为2＜6＜8． 故选：C． 3．（3分）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．三角形具有稳定性 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：D． 4．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F在同一条直线上，AC＝DF，∠ACB＝∠F，添加下列选项无法证明△ABC≌△DEF的是（　　） A．BE＝CF B．∠A＝∠D C．AB＝DE D．AB∥DE 【分析】利用平行线的性质，全等三角形的判定方法并结合图形逐一判断，即可解答． 【解答】解：A、∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， ∴BC＝EF， ∵AC＝DF，∠ACB＝∠F， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故A不符合题意； B、∵∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠F， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故B不符合题意； C、∵AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠F， ∴△ABC和△DEF不一定全等， 故C符合题意； D、∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵AC＝DF，∠ACB＝∠F， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， 故D不符合题意； 故选：C． 5．（3分）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【分析】根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可． 【解答】解：A、∵CF是边AB的中线， ∴AB＝2BF，正确，不符合题意； B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意； C、∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB，正确，不符合题意； D、∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，正确，不符合题意， 故选：B． 6．（3分）如图，△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB、AC所在直线为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．如果∠B+∠C＝110°，则∠EAF的度数为（　　） A．110° B．150° C．70° D．140° 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【解答】解：连接BE，CF，AD， ∵点D关于AB、AC所在直线的对称点为点E和点F， ∴∠ABE＝∠ABC，∠ACF＝∠ACB，∠E＝∠ADB，∠F＝∠ADC． ∵∠ABC+∠ACB＝110°，∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠EBC+∠FCB＝2（∠ABC+∠ACB）＝220°，∠E+∠F＝180°， ∴∠EAF＝540°﹣180°﹣220°＝140°． 故选：D． 7．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由SAS可判断△OAD≌△OBC，由全等三角形的性质得∠OAD＝∠OBC，由AAS可判定△APC≌△BPD，全等三角形的性质得AP＝BP，由SSS可判定△OAP≌△OBP，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质CP∥OB，由等腰三角形的性质得∠COP＝∠CPO，即可判断；第五个图由SSS可判定△OAE≌△OBE，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【解答】解： 由作图①痕迹得知射线OP为∠AOB的平分线； 由作图②痕迹得知OC＝OD，OP是CD的垂直平分线， ∴OP⊥CD， ∴∠COP＝∠DOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图③痕迹得知OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠AOB， 在△OAD和△OBC中， ， ∴△OAD≌△OBC（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC， ∵AC＝BD，∠APC＝∠BPD， ∴△APC≌△BPD（AAS）， ∴AP＝BP， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图④痕迹得知∠ACP＝∠AOB，CO＝CP， ∴CP∥OB，∠COP＝∠CPO， ∴∠CPO＝∠BOP， ∴∠COP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图⑤痕迹得知OA＝OB，作OA、OB的垂直平分线， ∴OE＝AE＝BE， ∴△OAE≌△OBE（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 故选：D． 8．（3分）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 【分析】连接BC，设BE与CD交于点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠MBC+∠MCB＝40°，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出∠D+∠E的度数． 【解答】解：连接BC，设BE与CD交于点M，如图所示． 在△ABC中，∠A＝70°，∠ABM＝40°，∠ACM＝30°， ∴根据三角形内角和定理， ∠MBC+∠MCB ＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠ACM ＝180°﹣70°﹣40°﹣30° ＝40°． 又∵∠D+∠E+∠DME＝180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠DME＝∠BMC， ∴∠D+∠E＝∠MBC+∠MCB＝40°，即∠D+∠E的度数为40°． 故选：B． 9．（3分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的周长为（　　） A．82 B．96 C．32 D．69 【分析】由含30度角的直角三角形的性质推出A6B6＝32B1A2＝32，即可求出△A6B6A7的周长． 【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝∠A1B1A2＝60°，B1A2＝A1B1， ∵∠B1A1A2＝∠MON+∠OB1A1，∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝30°， 同理∠A2B2B1＝30°， ∵∠MON＝∠OB1A1＝30°， ∴A1B1＝OA1＝1， ∴B1A2＝1， ∵∠OB1A2＝∠OB1A1+∠A1B1A2＝90°， ∴∠B2B1A2＝90°， ∵∠A2B2B1＝30°， ∴A2B2＝2B1A2＝2， 同理：A3B3＝2A3B2＝2A2B2＝4B1A2， 以此类推得到：A6B6＝32B1A2＝32， ∴△A6B6A7的周长为32×3＝96． 故选：B． 10．（3分）已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，AD＝EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE＝∠DCE，即③正确，根据③可求得④正确． 【解答】解： ①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD， ∴在△ABD和△EBC中，， ∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确； ②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA， ∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，…②正确； ③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA， ∴∠DCE＝∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE＝EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC， ∴AD＝AE＝EC．…③正确； ④过E作EG⊥BC于G点， ∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB， ∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，， ∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， ∴BG＝BF， ∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，， ∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL）， ∴AF＝CG， ∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．…④正确． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若点A（2m，2﹣m）和点B（3+n，n）关于y轴对称，则m+n＝　2　 ． 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解． 【解答】解：∵点A（2m，2﹣m）和点B（3+n，n）关于y轴对称， ∴， 解得， ∴m+n＝2． 故答案为：2． 12．（3分）如图，在△ABC和△DBE中，BC＝BE，∠C＝∠E，请添加一个条件AC＝DE或∠ABC＝∠DBE或∠A＝∠D（答案不唯一）　 ，使△ABC≌△DBE． 【分析】已知BC＝BE，∠C＝∠E，可根据SAS、ASA、AAS三种判定定理补充条件，分别为边AC＝DE，角∠ABC＝∠DBE，角∠A＝∠D． 【解答】解：已知BC＝BE，∠C＝∠E， 若添加条件AC＝DE， 在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE（SAS）． 若添加条件∠A＝∠D， 在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE（AAS）． 在△ABC和△DBE中， 若添加条件∠ABC＝∠DBE， 在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE（ASA）． 故答案为：AC＝DE或∠ABC＝∠DBE或∠A＝∠D（答案不唯一）． 13．（3分）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的格点D有 　4　 个． 【分析】利用轴对称图形的性质，分别得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示：符合题意有4个点． 故答案为：4． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BO与CO相交于点O，过点O作MN∥BC，与AB，AC分别相交于点M，N，若△AMN的周长为20cm，则AB+AC＝　20　 cm． 【分析】由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质可推出MO＝MB，NO＝NC．从而△AMN的周长等于AB+AC，答案可得． 【解答】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC． 又∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC（两直线平行，内错角相等）． ∴∠ABO＝∠MOB． ∴MO＝MB（等角对等边）． 同理可得：NO＝NC． ∴△AMN的周长为：AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+NC+AN ＝AB+AC ＝20cm， 故答案为：20． 15．（3分）如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 　8　 cm2． 【分析】延长AP交BC于点Q，则由条件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∠ABP＝∠EBP， 又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC＝S△PCE， ∴S△PBC＝S△PBE+S△PCES△ABC＝4cm2， ∴S△ABC＝2S阴影＝8（cm2）， 故答案为：8． 16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且．若AE＝3，BE＝7，则DG的长为 　2　 ． 【分析】连接BG，CG，作CH⊥ED交ED的延长线于点H，则∠H＝∠AED＝∠BEG＝90°，由FG是BC的垂直平分线，FGBC，得∠BFG＝∠CFG＝90°，BG＝GC，FG＝FB＝FCBC，可证明∠BGC＝90°，推导出∠EBG＝∠HGC，由D是AC的中点，得AD＝CD，可证明△ADE≌△CDH，得AE＝CH＝3，DE＝DH，再证明△BEG≌△GHC，得BE＝GH＝7，GE＝CH＝3，则EH＝GH+GE＝10，求得DE＝DHEH＝5，所以DG＝GH﹣DH＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BG，CG，作CH⊥ED交ED的延长线于点H， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠H＝∠AED＝∠BEG＝90°， ∵FG是BC的垂直平分线，FGBC， ∴∠BFG＝∠CFG＝90°，BG＝GC，FG＝FB＝FCBC， ∴∠FGB＝∠FBG＝∠FGC＝∠FCG＝45°， ∴∠BGC＝2∠FGB＝90°， ∴∠EBG＝∠HGC＝90°﹣∠BGE， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， 在△ADE和△CDH中， ， ∴△ADE≌△CDH（AAS）， ∴AE＝CH＝3，DE＝DH， 在△BEG和△GHC中， ， ∴△BEG≌△GHC（AAS）， ∴BE＝GH＝7，GE＝CH＝3， ∴EH＝GH+GE＝10， ∴DE＝DHEH＝5， ∴DG＝GH﹣DH＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BDC和∠BFD的度数． 【分析】由三角形的外角性质得到∠BDC＝∠A+∠ACD＝97°，内三角形内角和定理即可求出∠BFD的度数． 【解答】解：∵∠A＝62°，∠ACD＝35°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝97°， ∵∠ABE＝20°， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABE﹣∠BDC＝63°． 18．（8分）如图，∠B＝∠ACB，∠1＝∠2，AE⊥CD交CD于点F，交BC于点E，求证：AB＝CE． 【分析】先证明△AFC≌△EFC（ASA），由全等三角形的性质可得出AC＝EC，由等角对等边可得出AB＝AC，等量代换AB＝CE可得出进而即可得到结论． 【解答】证明：∵AE⊥CD， ∴∠AFC＝∠EFC＝90°， 在△AFC和△EFC中， ， ∴△AFC≌△EFC（ASA）， ∴AC＝EC， ∵∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴AB＝CE． 19．（8分）已知，如图四边形ABCD中，AD∥BC，AD+BC＝DC． （1）尺规作图：作∠BCD的角平分线交AB于点E，连接DE（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：CE⊥DE． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）延长CB至点F，使BF＝AD，连接EF，证明△CFE≌△CDE，可得∠F＝∠CDE，由平行线的性质得∠ADC+∠BCD＝180°，∠ADE＝∠F，则∠ADE＝∠CDE，可得2∠CDE+2∠DCE＝180°，进而可得∠CED＝90°，即CE⊥DE． 【解答】（1）解：如图，射线CE即为所求． （2）证明：延长CB至点F，使BF＝AD，连接EF， ∵AD+BC＝DC． ∴BF+BC＝CF＝CD． ∵CE为∠BCD的平分线， ∵∠FCE＝∠DCE， ∵CE＝CE， ∴△CFE≌△CDE（SAS）， ∴∠F＝∠CDE． ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°，∠ADE＝∠F， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴2∠CDE+2∠DCE＝180°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠CED＝90°， 即CE⊥DE． 20．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若∠B＝30°，AB＝6.6，AC＝3.4，S△ABC＝10，求BD的长． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得DE＝DF，进而证明Rt△AED≌Rt△AFD，进而证明AE＝AF，即可求解； （2）根据等面积法可得，利用含30°角的直角三角形的性质，即可求解BD的长度． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴点D在EF的垂直平分线上， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∴点A在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵DE＝DF， ∴， ∵AB＝6.6，AC＝3.4， ∴， ∴DE＝2； ∵∠B＝30°， BD＝2DE＝4． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）． （1）在图1中，作出△ABO关于y轴的对称图形△A1B1O； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图1中，作出所有满足条件的格点P，使得∠APO＝45°，则点P的坐标为　（2，3），（2，2），（0，﹣1）　 ； ②在图2中，作出△ABO的高AQ． 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可； （2）①构造等腰直角三角形解决问题即可； ②取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接AJ延长AJ交OB于点Q，线段AQ即为所求． 【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，则A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）； （2）①如图1，点P即为所求，P（2，3），（2，2），（0，﹣1）， 故答案为：（2，3），（2，2），（0，﹣1）； ②如图2中，线段AQ即为所求． 22．（10分）（1）问题背景：如图1，已知三角形内角和为180°，连接BD得到△ABD和△BCD，易得四边形ABCD的内角和为　360°　 ． （2）尝试应用：如图2，已知在四边形ABCD中，DE⊥BC，∠BAD+∠BCD＝180°，AD＝DC． ①求证：BD平分∠ABC． ②若AB＝5，BC＝18，求BE的长． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可解决问题； （2）①过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F，证明△CED≌△AFD（AAS），得DE＝DF，然后根据角平分线的性质即可证明BD平分∠ABC； ②证明△BDF≌△BDE（AAS），得BF＝BE，然后根据AB＝5，BC＝18，即可求BE的长． 【解答】（1）解：∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∠C+∠CBD+∠CDB＝180°， ∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB＝360°， ∴∠A+∠ABC+∠ADC+∠C＝360°， ∴四边形ABCD的内角和为360°， 故答案为：360°； （2）①证明：如图2，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F， ∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠DAF＝180°， ∴∠BCD＝∠DAF， ∵DE⊥BC，DF⊥BA， ∴∠CED＝∠AFD＝90°， ∵AD＝DC， ∴△CED≌△AFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥BC，DF⊥BA， ∴BD平分∠ABC； ②解：∵BD平分∠ABC， ∴∠FBD＝∠EBD， ∵∠BFD＝∠BED＝90°，BD＝BD， ∴△BDF≌△BDE（AAS）， ∴BF＝BE， ∵AB＝5，BC＝18， ∴AB+AF＝BC﹣CE， ∵△CED≌△AFD， ∴CE＝AF， ∴5+CE＝18﹣CE， ∴CE＝6.5， ∴BE＝BC﹣CE＝18﹣6.5＝11.5． 23．（10分）完成下列各题： （1）问题的提出：如图1，在△ABC中，AB＝AC，请你运用所学的全等知识，证明：∠B＝∠C． （2）知识的运用：如图2，已知△ABC是等边三角形，若D是BC边的中点，点P在射线AC上，若△PAD为轴对称图形，则∠APD的度数为　120°或30°或75°　 ． （3）拓展延伸：如图3，已知△ABC是等边三角形，若D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于点G．GH⊥AC于点H，求AH、AC、CD之间的关系． 【分析】（1）取BC中点D，连接AD．利用SSS证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可得出结论； （2）当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．分四种情形分别求解即可； （3）连接AG，作GN⊥CM于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD，利用全等三角形的性质证明AH＝DN，CH＝CN，即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图， △ABC中，若AB＝AC，取BC中点D，则BD＝CD，连接AD， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B＝∠C； （2）解：由（1）可知△ABD≌△ACD， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵△PAD为轴对称图形， ∴△PAD为等腰三角形， 如图： 当P1A＝P1D时，则∠ADP1＝∠DAC＝30°， ∴∠AP1D＝120°； 当DA＝DP2时，则∠AP2D＝∠CAD＝30°； 当AD＝AP3时，则∠AP3D75°； 故答案为：120°或者30°或75°； （3）解：AC+CD＝2AH． 理由：如图，连接AG，作GN⊥BC于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵BQ＝BD， ∴△BDQ是等边三角形，AQ＝DC， ∴∠BQD＝60°， ∴∠AQD＝120°， ∵CG是∠ACB的外角平分线， ∴∠ACG＝60°，∠DCG＝120°， ∵∠ADG＝60°， ∴∠ADB+∠GDC＝120°， ∵∠QAD+∠ADB＝120°， ∴∠QAD＝∠CDG， ∴△AQD≌△DCG（ASA）， ∴AD＝DG， ∵∠ADG＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴AG＝DG， ∵GH⊥C，GN⊥CM，CG平分∠ACM， ∴GH＝GN，∠GHC＝∠GNC＝90°， ∵CG＝CG， ∴Rt△CGH≌Rt△CGN（HL），Rt△AGH≌Rt△DGN（HL）， ∴CH＝CN，AH＝DN， ∴AC+CD＝AH+CH+DN﹣CN＝2AH． 24．（12分）积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求△ABC中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2，（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，则有△ACD≌△EBD，得AC＝BE，利用三角形三边之间关系得AD的取值范围为　1＜AD＜7　 ．（直接写出结果） 学会运用：（2）如图3，在△ABC中，（AB＞AC），D，E为BC边上的点，DE＝DC，连接AD，过点E作AB的平行线交AD于F点，若EF＝AC，求证：． 举一反三：（3）在△ABC中，D为BC中点，E为DA延长线上一点，过点C作AB的平行线，并在其上取一点F，连EF，使∠BAD＝∠DEF，若AB＝13，CF＝3，直接写出EF的长． 【分析】（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，根据题意可证△ACD≌△EBD（SAS），由三角形三边数量关系即可求解； （2）如图所示，延长FD到点G，使得DF＝DG，连接CG，可证△EDF≌△CDG（SAS），得到∠EFD＝∠G，EF＝CG，结合题意得到∠EFD＝∠CAD，再根据平行线的性质，角度的和差计算即可求解； （3）如图所示，延长CF，AD交于点H，可证△ABD≌△HCD（ASA），得AB＝CH＝13，∠BAD＝∠H，结合题意，运用等角对等边即可求解． 【解答】解：（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE， 由中线定义可知BD＝CD， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE＝AC＝6， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴8﹣6＜2AD＜8+6，即2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7； 故答案为：1＜AD＜7； （2）∵DE＝DC， ∴点D是CE的中点， 如图所示，延长FD到点G，使得DF＝DG，连接CG， ∵DE＝DC，∠EDF＝∠CDG，DF＝DG， ∴△EDF≌△CDG（SAS）， ∴∠EFD＝∠G，EF＝CG， ∵EF＝AC， ∴AC＝CG， ∴∠G＝∠CAG，即∠EFD＝∠CAD， ∵EF∥AB， ∴∠EFD＝∠BAD， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠EFD+∠EFD＝2∠EFD， ∴； （3）如图所示延长CF，AD交于点H， ∵AB∥CH， ∴∠B＝∠BCH， 又∵DB＝DC，∠BDA＝∠CDH， ∴△ABD≌△HCD（ASA）， ∴AB＝CH＝13，∠BAD＝∠H， ∴FH＝13﹣3＝10， 由条件可知∠DEF＝∠H， ∴EF＝FH＝10． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假结业测试卷 【人教版新教材】 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 3．测试范围：第十三章 三角形~第十五章 轴对称。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）未来将是一个可以预见的AI时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．10 B．8 C．6 D．2 3．（3分）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．对顶角相等 D．三角形具有稳定性 4．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F在同一条直线上，AC＝DF，∠ACB＝∠F，添加下列选项无法证明△ABC≌△DEF的是（　　） A．BE＝CF B．∠A＝∠D C．AB＝DE D．AB∥DE 5．（3分）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 6．（3分）如图，△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB、AC所在直线为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．如果∠B+∠C＝110°，则∠EAF的度数为（　　） A．110° B．150° C．70° D．140° 7．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（3分）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 9．（3分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的周长为（　　） A．82 B．96 C．32 D．69 10．（3分）已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若点A（2m，2﹣m）和点B（3+n，n）关于y轴对称，则m+n＝　 　 ． 12．（3分）如图，在△ABC和△DBE中，BC＝BE，∠C＝∠E，请添加一个条件　 　 ，使△ABC≌△DBE． 13．（3分）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的格点D有 　 　 个． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BO与CO相交于点O，过点O作MN∥BC，与AB，AC分别相交于点M，N，若△AMN的周长为20cm，则AB+AC＝　 　 cm． 15．（3分）如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 　 　 cm2． 16．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于点F，G，且．若AE＝3，BE＝7，则DG的长为 　 　 ． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BDC和∠BFD的度数． 18．（8分）如图，∠B＝∠ACB，∠1＝∠2，AE⊥CD交CD于点F，交BC于点E，求证：AB＝CE． 19．（8分）已知，如图四边形ABCD中，AD∥BC，AD+BC＝DC． （1）尺规作图：作∠BCD的角平分线交AB于点E，连接DE（保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：CE⊥DE． 20．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若∠B＝30°，AB＝6.6，AC＝3.4，S△ABC＝10，求BD的长． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）． （1）在图1中，作出△ABO关于y轴的对称图形△A1B1O； （2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在图1中，作出所有满足条件的格点P，使得∠APO＝45°，则点P的坐标为　 ； ②在图2中，作出△ABO的高AQ． 22．（10分）（1）问题背景：如图1，已知三角形内角和为180°，连接BD得到△ABD和△BCD，易得四边形ABCD的内角和为　 　 ． （2）尝试应用：如图2，已知在四边形ABCD中，DE⊥BC，∠BAD+∠BCD＝180°，AD＝DC． ①求证：BD平分∠ABC． ②若AB＝5，BC＝18，求BE的长． 23．（10分）完成下列各题： （1）问题的提出：如图1，在△ABC中，AB＝AC，请你运用所学的全等知识，证明：∠B＝∠C． （2）知识的运用：如图2，已知△ABC是等边三角形，若D是BC边的中点，点P在射线AC上，若△PAD为轴对称图形，则∠APD的度数为　 　 ． （3）拓展延伸：如图3，已知△ABC是等边三角形，若D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于点G．GH⊥AC于点H，求AH、AC、CD之间的关系． 24．（12分）积累经验：某数学兴趣小组在探究三角形中线的取值范围时，有下面的问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求△ABC中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：如图2，（1）延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，则有△ACD≌△EBD，得AC＝BE，利用三角形三边之间关系得AD的取值范围为　 　 ．（直接写出结果） 学会运用：（2）如图3，在△ABC中，（AB＞AC），D，E为BC边上的点，DE＝DC，连接AD，过点E作AB的平行线交AD于F点，若EF＝AC，求证：． 举一反三：（3）在△ABC中，D为BC中点，E为DA延长线上一点，过点C作AB的平行线，并在其上取一点F，连EF，使∠BAD＝∠DEF，若AB＝13，CF＝3，直接写出EF的长． 第 1 页 共 5 页 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