暑假预习：矩形与折叠问题、矩形中的多结论问题、矩形与动点问题专项训练-2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦矩形三大核心应用，通过折叠、多结论、动点问题构建从静态到动态的知识逻辑链，精选各地期末典例实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形与折叠问题|4例+4变式|涉及轴对称性质、全等三角形判定，含单顶点折叠、对角线折叠等|以矩形性质为基础，通过折叠构建轴对称模型，培养几何直观与空间观念| |矩形中的多结论问题|3例+3变式|需综合判断多个命题真伪，涉及特殊三角形、全等/相似等|融合矩形性质与多知识点推理，发展推理能力与批判性思维| |矩形与动点问题|3例+3变式|结合运动时间参数，探究图形形状、面积等动态变化|通过动点构建函数关系，体现模型意识，提升动态几何分析能力|

暑假预习：矩形与折叠问题、矩形中的多结论问题、矩形与动点问题专项训练 暑假预习：矩形与折叠问题、矩形中的多结论问题、矩形与动点问题专项训练 考点目录 矩形与折叠问题 矩形中的多结论问题 矩形与动点问题 考点一 矩形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设,则由折叠性质知， 由矩形的性质知， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 故的长为． 例2．（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为，点为边上一点．将矩形沿折叠，若点的对应点落在边上，则此时点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】折叠前后对应边相等，因此，，先在中利用勾股定理求出的长度，再得到的长度；设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可得到点的坐标． 【详解】解：四边形为矩形，的坐标为， ，，， 由折叠可得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ，解得， 点的坐标为． 例3．（25-26八年级下·吉林四平·期末）将矩形纸片按如图所示方式折叠，点，点恰好落在对角线上的点处，得到菱形．若，那么的长为______． 【答案】1 【分析】根据翻折的性质可得，，设出未知数，在内使用勾股定理求解即可． 【详解】解：由翻折的性质可得，， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， 在中，， 即，解得（负值舍去）， ∴ ． 例4．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，E是的中点，将折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点H，若，，的长为_______． 【答案】/ 【分析】连接，先可证明，可得，设，则，，在中，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即． 变式1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，，，可证四边形是菱形，在中，利用勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：连接，如图 折叠矩形纸片，使点落在点处， ，，，，， ∴， 即， 解得， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 变式2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据矩形的性质可得，由勾股定理解得；由折叠的性质可得，进而可得，；设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． 变式3．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，折叠矩形纸片的一边，使点落在边上的点处，已知，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，，则由折叠的性质得到，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，设，则，由勾股定理得，解方程求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，； 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，对折矩形，使与重合，得到折痕后展平，点在上，沿着再折叠矩形，使点落在上的点处，若，则的长为______． 【答案】4 【分析】过点N作于点P，的延长线交于点，易证明四边形和四边形都是矩形，则、、，利用勾股定理求出长，设，则，，再次利用勾股定理求出和的值． 【详解】解：过点N作于点P，的延长线交于点， ， 四边形是矩形， 、， ， 对折矩形，使与重合，得到折痕后展平， 、， 、， 四边形和四边形都是矩形， 、、， 沿着再折叠矩形，使点落在上的点处， 、， 在中，， 由勾股定理得：， ， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：． 考点二 矩形中的多结论问题 例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证得，推出，，即可判断①②；由，，得到，进而推出，求得，，由，得到，，从而得到，即可判断③． 【详解】解：∵在中，，，点P是的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故①②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，矩形的对角线，交于点O，以为斜边作等腰直角，连接、，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接，过E作于，根据矩形和等腰直角三角形的性质得到，设，则可求出的度数，利用等腰三角形的性质求出的度数，进而求出的度数；利用反证法，易得到不等于，据此判断与的关系；利用勾股定理分别表示出和，设，则、，据此化简计算得出；根据矩形的性质结合，易证明和是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，进而将、、转化到同一线段上，据此判断即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， 、， 是等腰直角三角形、点是的中点， 、、、， 设， ， ， 、， ， ， ， ， 故①正确； ， ， 若，则，即， 此时，显然不存在， 即不可能等于， 与不平行， 故②错误； 过E作于， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则、， 、， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， 故③正确； ， ， ， 四边形是矩形， 、， 由结论①知， ， 是等腰直角三角形， 、， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 例3．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，在边上运动，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论： ①四边形是矩形； ②若点是的中点，则； ③当时，线段长度的最大值为； ④当点在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有________． 【答案】 ①②③ 【分析】由对角线互相平分且相等的四边形是矩形判断①；利用三角形中位线定理得出与的数量关系，结合为中点及矩形性质判断②；根据及的最大值判断③；利用平行线性质及三角形外角性质计算角度，判断④． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故①正确； 四边形是矩形， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， 点是的中点， ， ， 四边形是矩形， ， ，故②正确； ， 当最大时，最大， 点在边上运动， 当点与点重合时，最大，最大值为， ， 的最大值为3， 长度的最大值为1.5，故③正确； 是的中位线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点在边上， ， ， ∴， 不是等边三角形，故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③． 变式1．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连接并延长，交于点，连接交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，，因为，所以，则，则，则，可求得，而，所以，可判断正确；由，得，则，所以，可求得，则，所以，则，所以，再证明，可判断正确；再证明≌，得，，可判断④正确；推出不是等边三角形，得到，于是得到，可判断结论③错误． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ，故正确； ，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，故正确； ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ∴≌， ，，故④正确； ∵，， ∴不是等边三角形， ∴， ∴，故③错误； 综上，正确的有①②④． 变式2．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，在边上运动，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论： ①四边形是矩形； ②若点E是的中点，则； ③当时，线段长度的最大值为1.5； ④当点E在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点与点重合时，的最大值为4 ，则长度的最大值为2．据此可判断③；根据，据此可判断④． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故①正确，符合题意； ∵O，F分别是，的中点，点在上， ， 点E是的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，故②正确； 当点E与点B重合时，的值最大， ， 的最大值是3， ，即线段长度的最大值是1.5，故③正确，符合题意； 当时，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 不是等边三角形，故④错误，不符合题意． 变式3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接和，若，，①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．其中一定正确的结论的序号为________________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，容易判断直线垂直平分，则，，进而证明，则，结合可得，从而得到，因此四边形是菱形；对于②，由勾股定理可得，再使用勾股定理可计算出；对于③，直接使用菱形的面积公式进行计算即可；对于④，由垂直平分线的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：由尺规作图可知，直线垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； 在中，， ∵， ∴，， 在中，，故②正确； ∵， ∴③错误； ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 又∵， ∴的最小值为，故④正确； 综上，正确的结论为①②④． 考点三 矩形与动点问题 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为． (1)________，________．（分别用含有的式子表示） (2)当为何值时，四边形是矩形． (3)当为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点的运动速度和时间，结合的长度，用路程公式直接写出、的表达式； （2）先判断四边形已有一个角是直角，要使其为矩形，只需满足一组对边相等，即，因此列关于的方程求解即可； （3）先根据、的运动状态，判断四边形是平行四边形，要使其为菱形，只需满足邻边相等，即，结合勾股定理表示出的长度，列关于的方程求解即可． 【详解】（1）点Q速度为，运动时间为， ∴； ∴， ∴； （2）∵四边形为矩形， ∴，，， 点速度为， ∴，则， 由，当时，四边形是平行四边形， 又，有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴ 解得， 即时，四边形是矩形； （3）由，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形； 在中，由勾股定理得： 令，即， ∴ 化简得， 解得， ∴当时，四边形是菱形． 例2．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿对角线方向运动，已知，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，连接，设运动时间为秒． (1)______，______． (2)当时，的面积为 ； (3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；6 (2) (3)或2或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，则可得到，再利用勾股定理求解即可； （2）过点Q作于点H，，，，根据直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得是等腰三角形，据此分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点Q作于点H，如图所示：    由题意得，，， ∴， 在中，， ∴， 当时，， ∴； （3）解：∵沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形， ∴一定是等腰三角形，此时沿着它的底边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形， 当时，则，解得； 当时，过点Q作于点H，如图所示， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 解得； 当时，过点Q作于点H，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或2或． 例3．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，且，满足，若点沿线段从向以每秒的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒，连接、． (1)求点坐标； (2)如图1，当为何值时，四边形是菱形？ (3)如图2，将矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，连接，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次根式被开方数非负求出，再代入式子算出即可得到解； （2）先结合矩形性质表示、，由菱形四条边相等得，借助勾股定理列出方程求解； （3）利用折叠性质，勾股定理以及四边形面积结合等量代换求解即可． 【详解】（1）解：，满足， 且，解得且， ， ，解得， 点的坐标为； （2）解：四边形是矩形， ，， ，， ， 要使四边形是菱形，则有， ，化简得，解得， 当时，四边形是菱形； （3）解：如图，设与相交于点H． 矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，，即，解得， ， 矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上， ， ， ， ． 变式1．（25-26八年级下·天津河东·期中）如图，在矩形中，，点P从点出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，连接．设点P、Q运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)求整个运动过程中，线段扫过的面积是多少？ 【答案】(1)8 (2) 四边形为菱形，理由如下： 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在中，由勾股定理得， ， ∴四边形为菱形； (3)64 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，菱形的判定： （1）先由矩形的性质得到，根据题意可得，则，再由当时，四边形为矩形，得到，据此可得答案； （2）当时，，再证明四边形是平行四边形，利用勾股定理推出，据此可得结论； （3）连接与相交于点，则整个运动当中，线段扫过的面积是的面积的面积，即为矩形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ， 由已知可得， ， 在矩形中，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得：， ∴当时，四边形是矩形． （2）略 （3）解：连接与相交于点，则整个运动当中，线段扫过的面积是的面积的面积， ， ∴整个运动当中，线段扫过的面积． 变式2．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在矩形中，，连接，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为秒，过点作于点，连接． (1)用含的式子表示的长度：________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明：由题意可知， 由（1）得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴                   又∵， ∴，                                                             ∴四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）由题意得：，结合，即可求解； （2）由题意可知，推出；根据，推出，即可求证； （3）由题意得，根据，推出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，                                                 解得． 变式3．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，，，点为边中点，动点从点开始，沿折线向终点运动，连结，以为直角边，在右侧作等腰直角，使．设点运动的路径长为． (1)当点与点重合时，求的长； (2)当点在边上运动时，求证：点到直线的距离始终不变； (3)当点到直线的距离是点到直线距离的倍时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明：如图3，过点作于， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 当点在边上运动时，点到直线的距离始终不变； (3)的值为或 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，根据等腰直角三角形的性质可知，，利用勾股定理求出的长度； （2）过点作于，可证，根据全等三角形的性质可得：，可证当点在边上运动时，点到直线的距离始终不变； （3）当点在边上运动时，点到直线的距离始终为，当点在上运动时，分点在上方和点在下方两种情况求解． 【详解】（1）解：如下图所示，当点与点重合时，， ，点是的中点， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ； （2）略 （3）解：当点在上方时， 如下图所示，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 由（2）可知， ， 点到直线的距离是点到直线距离的倍， ， ， ， ， 点运动的路程为； 当点在下方时， 如下图所示，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 由（2）可知， 点到直线的距离是点到直线距离的倍， ， ， ， ， 点运动的路程为； 综上所述，点运动的路程为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：矩形与折叠问题、矩形中的多结论问题、矩形与动点问题专项训练 暑假预习：矩形与折叠问题、矩形中的多结论问题、矩形与动点问题专项训练 考点目录 矩形与折叠问题 矩形中的多结论问题 矩形与动点问题 考点一 矩形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为，点为边上一点．将矩形沿折叠，若点的对应点落在边上，则此时点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·吉林四平·期末）将矩形纸片按如图所示方式折叠，点，点恰好落在对角线上的点处，得到菱形．若，那么的长为______． 例4．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，E是的中点，将折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点H，若，，的长为_______． 变式1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，则的长是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，折叠矩形纸片的一边，使点落在边上的点处，已知，则折痕的长为________． 变式4．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，对折矩形，使与重合，得到折痕后展平，点在上，沿着再折叠矩形，使点落在上的点处，若，则的长为______． 考点二 矩形中的多结论问题 例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 例2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，矩形的对角线，交于点O，以为斜边作等腰直角，连接、，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，在边上运动，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论： ①四边形是矩形； ②若点是的中点，则； ③当时，线段长度的最大值为； ④当点在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有________． 变式1．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连接并延长，交于点，连接交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，在边上运动，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论： ①四边形是矩形； ②若点E是的中点，则； ③当时，线段长度的最大值为1.5； ④当点E在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接和，若，，①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．其中一定正确的结论的序号为________________． 考点三 矩形与动点问题 例1．（25-26八年级下·山东济南·期末）在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为． (1)________，________．（分别用含有的式子表示） (2)当为何值时，四边形是矩形． (3)当为何值时，四边形是菱形． 例2．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿对角线方向运动，已知，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，连接，设运动时间为秒． (1)______，______． (2)当时，的面积为 ； (3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，且，满足，若点沿线段从向以每秒的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒，连接、． (1)求点坐标； (2)如图1，当为何值时，四边形是菱形？ (3)如图2，将矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，连接，求的值． 变式1．（25-26八年级下·天津河东·期中）如图，在矩形中，，点P从点出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，连接．设点P、Q运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)求整个运动过程中，线段扫过的面积是多少？ 变式2．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在矩形中，，连接，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间为秒，过点作于点，连接． (1)用含的式子表示的长度：________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，当时，直接写出的值． 变式3．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，，，点为边中点，动点从点开始，沿折线向终点运动，连结，以为直角边，在右侧作等腰直角，使．设点运动的路径长为． (1)当点与点重合时，求的长； (2)当点在边上运动时，求证：点到直线的距离始终不变； (3)当点到直线的距离是点到直线距离的倍时，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $