圆锥曲线：双曲线中的定直线问题、双曲线中的向量问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习专项训练，聚焦双曲线中的定直线与向量问题，以题载法构建系统性解题逻辑，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线中的定直线问题|3例+3变式|证明点在定直线上、求定直线方程|以双曲线方程为基础，通过代数运算推导定点轨迹，体现从方程到几何性质的逻辑链条| |双曲线中的向量问题|3例+2变式|向量关系转化、存在性问题探究|结合向量坐标运算，实现几何关系代数化，构建"概念-运算-应用"的知识网络|

圆锥曲线：双曲线中的定直线问题、双曲线中的向量问题专项训练 圆锥曲线：双曲线中的定直线问题、双曲线中的向量问题专项训练 考点目录 双曲线中的定直线问题 双曲线中的向量问题 考点一 双曲线中的定直线问题 例1．（2026·江苏·一模）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)证明：的外接圆的圆心在定直线上. 例2．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若是线段的中点，求直线的方程； (3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由. 例3．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）设双曲线，其虚轴长为，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上． 变式1．（2026·福建漳州·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明： （i）点在定直线上； （ii）若直线与交于点，则. 变式2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求实数的值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； （3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上. 变式3．（2026·山西运城·模拟预测）已知双曲线经过点，直线、分别是双曲线的渐近线，过分别作和的平行线和，直线交轴于点，直线交轴于点，且（是坐标原点） (1)求双曲线的方程； (2)设、分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点的直线交双曲线于、两个不同点，直线与相交于点，证明：点在定直线上. 考点二 双曲线中的向量问题 例1．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 例2．（2026·海南·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 例3．（2026·山西晋城·三模）如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求实数的值； (3)设，若点满足，求点的轨迹方程． 变式1．（2026·安徽阜阳·三模）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 变式2．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点． (1)求双曲线的离心率； (2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程； (3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：双曲线中的定直线问题、双曲线中的向量问题专项训练 圆锥曲线：双曲线中的定直线问题、双曲线中的向量问题专项训练 考点目录 双曲线中的定直线问题 双曲线中的向量问题 考点一 双曲线中的定直线问题 例1．（2026·江苏·一模）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)证明：的外接圆的圆心在定直线上. 【答案】(1) (2) (3) 由（2）知，可得的中点的横坐标为， 则点的纵坐标为，即， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 设点的坐标为， 因为，可得 ， 又因为， 代入得， 整理得， 又由，可得， 则，可得， 其中， 则， 整理得， ①当时，两边同除以，可得， 代入，可得，即， 所以的外接圆的圆心在定直线上； ②当时，即时，可得直线的方程为， 此时点满足直线的方程，此时三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上可得，的外接圆的圆心在定直线上. 【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得，即可求解； （2）设，联立方程组，由，求得，且，结合，根据向量数量积的运算公式，列出方程，求得的值，即可求解； （3）由（2）求得线段的垂直平分线的方程为，设点的坐标为，根据及，列出方程，化简得到，代入，求得，得到圆心在定直线上，即可得证. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且是上一点， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，解得，所以或， 且， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以 ， 将代入上式得， ， 因为，可得，即， 解得或， 又因为或，所以， 所以直线的方程为. （3）略 例2．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若是线段的中点，求直线的方程； (3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由. 【答案】(1) (2)或 (3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析 【分析】（1）根据题意，列出方程组，结合，求得的值，得出双曲线的标准方程， （2）设，则，联立方程组，求得的坐标，即可求得直线的方程； （3）设，得到，联立方程组，求得，再由直线和的方程，求得交点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）由题意得：，，. 解得，，所以双曲线的标准方程为. （2）方法1：设，则 依题意有解得， 所以直线的方程为或. 方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得： . 当时 设，，得，. 又因为，所以，，解得. 此时，所以直线MN的方程为或. （3）方法1：设，， 直线PM的方程为，直线QN的方程， 联立两方程，可得① 结合（2）方法2，可得 代入①得 故. 所以直线PM与QN的交点在定直线上. 方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得： . 设，，，，由根与系数的关系，得 ，. ：，：，联立两方程，可得： ， 解得 所以直线PM与QN的交点在定直线上. 例3．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）设双曲线，其虚轴长为，且离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，，再根据，即可求出，即可得解； （2）设点，A，的坐标分别为，，，且，依题意可得，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入整理即可得解； 【详解】（1）解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为， ∴，，∵， ∴，，∴双曲线的方程为． （2）解：设点，A，的坐标分别为，，，且， ∵，∴， 即，① 设直线的方程为，② 将②代入中整理，得， ∴，，代入①， 整理可得，得，联立②消得， ∴点落在某一定直线上． 变式1．（2026·福建漳州·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明： （i）点在定直线上； （ii）若直线与交于点，则. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据复数模的计算公式，由题中条件，得到，再由双曲线的定义，即可得出结果； （2）（i）设直线的方程为，，，其中，，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，得到，，表示出直线与的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立； （ii）先同理得到点也在定直线上，设，， 代入（i）中直线与的方程，得出，再计算，即证结论成立. 【详解】（1）由题意可知：， 所以点到点与到点的距离之差为2，且， 所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设其方程为，其中，， 所以，， 所以，所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，，其中，. 联立，消去，可得， 由题意知且， 所以，. 直线：，直线：①， 由于点在曲线上，可知，所以， 所以直线：②. 联立①②，消去可得， 即， 所以， 所以，所以， 所以点在定直线上. （ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上. 设，， 由于在直线：上，在直线：上， 所以，， 所以 ， 又因为，， 所以，所以. 【点睛】思路点睛： 求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）. 变式2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求实数的值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； （3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析. 【详解】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到 ，进而证明点恒在定直线上. 试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得， 故双曲线的方程为； （2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点， 则，， ，因此点的坐标为， 故直线的斜率，直线的斜率为， 因此直线与直线的斜率之积为， 由于点在双曲线上，所以，所以， 于是有 （定值）； （3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，， 设，则，即， 整理得， 由①③，②④得，， 将，，代入⑥得，⑦， 将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上； 证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由， 消去得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、， 则有， 设点，由，得， 整理得， 将②③代入上式得， 整理得，④ 因为点在直线上，所以，⑤ 联立④⑤消去得，所以点恒在定直线. 考点：1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理 变式3．（2026·山西运城·模拟预测）已知双曲线经过点，直线、分别是双曲线的渐近线，过分别作和的平行线和，直线交轴于点，直线交轴于点，且（是坐标原点） (1)求双曲线的方程； (2)设、分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点的直线交双曲线于、两个不同点，直线与相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出点、的坐标，根据题中条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设、，直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线与的方程，将这两条直线联立，求出点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）解：由题意得，， 不妨设直线的方程为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令可得，即点，同理可得， ， 由可得，因此，双曲线的方程为. （2）证明：由（1）得、、， 若直线与轴重合，则、为双曲线的顶点，不合乎题意， 设、，直线的方程为， 联立可得， 所以，，解得， ，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与的方程，可得， 所以， ， 因为，解得， 因此，点在定直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 考点二 双曲线中的向量问题 例1．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． ， 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． (3)存在， 【分析】（1）根据离心率的定义及求解即可. （2）设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可. （3）根据向量垂直的坐标表示得到，即，结合即韦达定理求解即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知．故， 所以，双曲线C的方程为． （2）略 （3）由题意知，得． 设，则． 即． 又，即，解得． 所以， 因此在x轴上存在定点，使得恒成立． 例2．（2026·海南·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由渐近线方程和三角形周长，结合双曲线方程的定义得到方程组，求出，得到双曲线方程； （2）直线的斜率不存在或斜率为0时，不合要求，设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，得到直线斜率 【详解】（1）一条渐近线方程为，故， 中，令得， 故，所以， 由双曲线定义可得，同理， 故，结合，可得， 所以的方程为； （2）由（1）知，，当直线的斜率不存在或斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设方程为，， 联立与得， ，且，故， 设，则， ，故， 所以，所以， 由得，将其代入得 ，解得满足要求， 故，，直线的斜率为. 例3．（2026·山西晋城·三模）如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求实数的值； (3)设，若点满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题设求出，进而求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及列方程求解即可； （3）设，由可得，由可得，进而得到，结合求出，进而代值求得，进而求解即可. 【详解】（1）双曲线的焦距为，则， ，解得， 双曲线的标准方程为． （2）设，   联立，得，且， 则， ， ， 整理得 ，解得或． （3）设， 即， ， ， ∵， ， 点的轨迹方程为． 变式1．（2026·安徽阜阳·三模）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由点A的坐标求得，结合双曲线的定义求得，进一步计算得出双曲线的方程即可； （2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程. 【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得， 焦点，，. 所以，，故C：. （2）设l的方程为，则，故， 当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为，故. 与双曲线方程联立得：， 由已知得，，设，， 则，① 由，得：，， 消去得：， 即② 由①②得：，由已知； 当直线PQ的斜率不存在，此时，，，，，符合题意； 故存在定直线l：满足条件. 变式2．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点． (1)求双曲线的离心率； (2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程； (3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在定点 【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的定义可求得、，利用勾股定理可得出关于、的等式，即可解得双曲线的离心率； （2）求出双曲线的渐近线方程，设点、、，利用向量的线性运算与数量积的坐标运算可求得值，从而求得双曲线的方程； （3）即假设在轴上存在定点，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用得到，再由平面向量数量积的坐标运算可得出，综合可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，由勾股定理可得，即， 所以，，因此，该双曲线的离心率为. （2）因为，则， 所以，双曲线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为，设点、、， ，可得， 因为，即，可得， 即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 所以，，所以，，因此，双曲线的方程为. （3）假设在轴上存在定点 使得， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，，易知、， 所以，， ， 因为，所以，， 即，即， 即，（*） 由可得，则， 将代入（*）可得，（**） 将代入韦达定理可得，所以，， 将代入（**）式可得， 故在轴上存在定点使得． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $