圆锥曲线：椭圆中的定直线问题、椭圆中的中点弦问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦椭圆定直线与中点弦问题，通过精选典例构建题型-方法对应体系，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆中的定直线问题|3例+3变式|证明点在定直线上，涉及斜率关系、外心轨迹|以椭圆方程为基础，通过联立直线与椭圆方程，结合代数运算推导定点坐标，体现从方程到几何性质的逻辑链条| |椭圆中的中点弦问题|3例+3变式|求中点弦方程、证明斜率之积为定值|基于点差法，建立中点坐标与弦斜率的关系，衔接椭圆方程与直线方程，展现几何条件代数化的思维过程|

圆锥曲线：椭圆中的定直线问题、椭圆中的中点弦问题专项训练 圆锥曲线：椭圆中的定直线问题、椭圆中的中点弦问题专项训练 考点目录 椭圆中的定直线问题 椭圆中的中点弦问题 考点一 椭圆中的定直线问题 例1．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． (1)证明：直线与的斜率之积为定值； (2)直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【答案】(1)由椭圆方程可知：，则，， 设，，则，即， 可得， 所以直线与的斜率之积为定值． (2)6 (3)设，，直线：，， 联立方程，消去y得， 因为，解得且， 则，， 可得 则， ， ， 设外接圆的方程为，，圆心为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，则， 可得， 即，整理可得， 且， 整理可得， 因为，且，即， 可得， 即，可得，整理可得， 代入得， 解得或， 当时，，不满足题意； 当时，即，则点在定直线上， 所以的外心在定直线上； 综上所述：的外心在定直线上. 【分析】（1）设，，可得，结合斜率公式分析证明； （2）设直线：，，结合（1）中结论可得，，再利用基本不等式求最小值； （3）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，设外接圆的方程为，代入点结合韦达定理分析证明. 【详解】（1）略 （2）设直线：，，令得，即； 由（1）可知：，则， 可得直线的方程为，令得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． （3）略 例2．（25-26高三上·四川眉山·期末）已知椭圆的离心率为为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程. (2)设椭圆的左､右顶点分别为，过右焦点且斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点. （i）当斜率为1时，求四边形的面积. （ii）求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：设直线的方程为且斜率不为0，设， 由椭圆方程可知，联立，整理得， 由根与系数的关系得. 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得. 同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得. 因为直线的斜率不为不能同时为0，且若假设， 代入到，得；代入到，得， 将代入到中，整理得， 即矛盾，故假设不成立，即 故只能，即，因此点在定直线上. 【分析】（1）利用椭圆的定义求出，结合离心率求出，结合，进而求出椭圆的方程. （2）（i）先写出直线的方程，联立椭圆方程得到一元二次方程，利用韦达定理求出 ，后用“分割法”（将四边形拆分为两个三角形）计算面积.（ii）设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理的结果，写出和的直线方程，联立求出，证明，从而确定点在定直线上. 【详解】（1）由椭圆定义得，解得. 又因为离心率，所以， 则，因此椭圆标准方程为 （2）（i）由（1）得，当时，直线的方程为. 联立，得（或） 设，则， ， ∴四边形的面积； （ii）略 例3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于、两点，动点与、、四点不共线，设直线、、的斜率分别为、、，且满足：．证明：点在定直线上，并求出该直线． 【答案】(1) (2) 设、、， 当直线斜率为时，不妨令、， 则：， 因为、、、四点不共线，所以，解得． 当直线斜率不为时，设直线的方程为． 联立，得，， 由韦达定理得．    于是， ． 因为，由得： ． 整理得：，即， 因为、、、四点不共线，所以，所以， 综上，点在定直线上． 【分析】（1）由题意得出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）设、、，对直线与轴是否垂直进行分类讨论，在直线斜率为时，直接求出的值；在直线与轴不垂直时，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理求出的值，综合可证得结论成立. 【详解】（1）由题意知，，，，所以椭圆方程为：． （2）略 【点睛】关键点睛：根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行正确的数学运算是解题的关键. 变式1．（24-25高三下·广东清远·开学考试）椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设椭圆方程为，将所过的点带入求参数，即可得方程； （2）设，且，联立椭圆并应用韦达定理得，，点斜式写出直线，的方程，并联立求其交点横坐标，即可证结论. 【详解】（1）令椭圆方程为，则，可得， 所以椭圆方程为； （2）由题意，设，且， 联立与椭圆，得， 所以，则，， 由，，联立可得， 所以，可得， 所以， 所以点G在一条定直线上，得证. 变式2．（24-25高二上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． (1)求轨迹； (2)将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 【答案】(1) 在时，轨迹是椭圆去除左右顶点； 当时，轨迹是双曲线去除左右顶点． (2)（i）；（ii）在定直线上． 【分析】（1）设，由直线，的斜率之积的绝对值为2，可得轨迹的方程，，则可得轨迹； （2）（i）由题意，设直线，可得，设，将与的方程联立可得，，，由，利用坐标运算可得，即得； （ii）解法一：设直线，直线，分别与曲线的两个方程联立，可得，两点，，两点坐标，由对称性可得若在定直线上，则必在定直线上，利用坐标运算证得，即满足，，三点共线且，，三点共线即可； 解法二：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴，又由（i）知，故可得必在定直线上．设直线与曲线联立， 设与曲线联立，表示出，两点，，两点坐标，写出直线与直线方程，证明直线与的公共点与直线与的公共点重合即可. 【详解】（1）设，又，， 则两直线，的斜率分别为，，， 因为，所以， 即，， 所以， 即在时，轨迹是椭圆去除左右顶点； 当时，轨迹是双曲线去除左右顶点． （2）（i）由题意，设直线，可得，则两直线关于轴对称， 又曲线的图形也关于轴对称， 则，关于轴对称；，关于轴对称， 所以必在轴上，不妨设， 将与双曲线联立，得，解得，则； 同理将直线与椭圆联立，得． 所以， 因为，，三点共线，所以， 其中，， 则，解得，故． （ii）解法一：由（1）得，曲线的方程为， 设直线，将与联立， 可得，解得， 代入直线方程可得，所以， 将直线与联立，可得． 同理，设直线，分别与，联立，其中可得 ，， 根据对称性可得若在定直线上， 则该定直线必垂直于轴，又由（i）知， 则必在定直线上． 要证明：直线，的公共点在定直线上， 即证满足，，三点共线且，，三点共线， 即证：， 因为，； ，， 即证： ， 即证：， 即证：，显然成立， 故无论直线的斜率如何变化，的横坐标恒为， 即在定直线上． 解法二：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴， 又由（i）知，故可得必在定直线上． 由（1）知，可合并为， 设直线与曲线联立，得， 因为，所以得， 即， 可得该方程的两根为，或， 因为，故，， 同理设与曲线联立， 得，， 故直线的斜率为， 所以直线， 同理， 要证明的公共点在定直线上， 只需要证明直线与的公共点与直线与的公共点重合， 将代入直线，得 ； 同理可得，故两点重合，本题得证． 【点睛】关键点点睛：（2）（ii）解法一：设出直线，直线的方程，分别与曲线的两个方程联立，表示出，，，坐标，由对称性可得若在定直线上，利用向量坐标运算证出 满足，，三点共线且，，三点共线即可； 解法二：根据对称性可得在垂直于轴的定直线上，又由（i）知，故可得必在定直线上．设出直线，直线的方程，分别于曲线的两个方程联立，表示出，，，坐标，写出直线与直线方程，证明直线与的公共点与直线与的公共点重合即可. 变式3．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 【答案】(1) (2) 设，，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为， 点的坐标为，所以，． 从而． 设，则，所以直线的方程为：， 直线的方程为，联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值；设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． 【详解】（1）依题可得，解得：，所以， 即椭圆的方程为． （2）略 考点二 椭圆中的中点弦问题 例1．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 例2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点为. (1)求的标准方程； (2)设、两点在上，且线段的中点为. （i）当时，求直线的方程； （ii）当直线的斜率存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由（i）可知当时，直线的斜率存在， 由（i）可知， 因为，， 所以. 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）（i）利用点差法可求得直线的方程； （ii）利用点差法推导出，再由斜率公式可得出，由此可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，所以，故椭圆的标准方程为. （2）（i）设点、，则，， 所以，， 当时，则，， 若直线的斜率不存在，此时轴，则、关于轴对称，则的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，由，这两个等式作差得， 所以，即， 故直线的方程为，即； （ii）略 例3．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于B、C两点，求以为中点的弦所在的直线方程.（直线化为一般方程） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率的定义并将已知点代入椭圆求出椭圆的标准方程即可. （2）根据已知条件利用点差法求出直线斜率，再利用用点斜式写出直线方程化简即可求解. 【详解】（1）依题意可得，解得， 故椭圆的方程为； （2）若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，所以直线与椭圆一定有两个交点， 设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，， 两式作差得， 由于是的中点，故， 代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到. 故以为中点的弦所在直线方程为. 变式1．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于两点. ①若，求实数的值； ②当变化时，线段的中点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是，，证明见解析 【分析】（1）由长轴长为6，得出的值，再根据离心率结合已知得出的值即可得出椭圆的方程； （2）①画图，联立方程组，由直线与椭圆相交于两点得出，解得的取值范围，再根据题意建立方程组解出的值即可得出结论；②当变化时，根据题意可以得出结论即直线方程. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为6， 所以有， 又因为椭圆的离心率， 所以有， 所以， 所以该椭圆的标准方程为：. （2）①如图所示： 将直线方程与椭圆方程联立：， 化简整理得：， 因为直线与椭圆相交于两点， 所以有， 设， 则有， ， 即， 所以实数的值为 ②变化时，线段的中点恒在上， 理由如下：设，则， 由①知， 所以， 消去可得， 所以变化时，线段的中点恒在上. 变式2．（25-26高三上·黑龙江绥化·阶段检测）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，且满足条件． (1)求椭圆C的离心率； (2)若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程； (3)在（2）的条件下，过点的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意列方程即可求解； （2）结合点到直线的距离公式列方程，再结合的关系即可求解； （3）由点差法即可求解. 【详解】（1）由题意，所以， 又，解得， （2）由题意直线的方程为：， 若坐标原点O到直线AB的距离为，则， 因为，所以，解得， 所以椭圆C的方程为； （3）设，直线l的斜率为，则， 所以， 因为点恰为线段的中点， 所以， 故直线的方程为，即， 联立与，消去得， ，故直线与椭圆有两个交点， 综上，所求为. 变式3．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆 的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程. (2)点在上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为. ①证明：为定值; ②证明：直线过线段的中点. 【答案】(1)直线的方程为 (2)①证明：证明：根据题意作图如下： 由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在. 当直线的斜率为0时，，此时两点坐标为， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去得， 整理得，则，即， 解得或，且， 所以 ， 代入， 得. 综上，为定值，且. ②证明：由已知设线段的中点为， 易得，直线，则， 直线，则， 由①知，所以， 又直线，所以点在直线上. 综上，直线过线段的中点. 【分析】（1）运用点差法，设，代入椭圆方程后作差，结合中点坐标，解得斜率，即可解出直线的方程. （2）①按直线的斜率是否为0分类讨论，联立椭圆方程，结合韦达定理和判别式，将的表达式化简，即可得证； ②设线段的中点为，根据中点坐标公式表示，结合直线的方程，解出， 得出点在直线上，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由已知椭圆 ，则右焦点，又线段的中点为， 所以直线的斜率存在且不为0，设点. 则，两式相减得，又， 整理得，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）①略 ②略 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：椭圆中的定直线问题、椭圆中的中点弦问题专项训练 圆锥曲线：椭圆中的定直线问题、椭圆中的中点弦问题专项训练 考点目录 椭圆中的定直线问题 椭圆中的中点弦问题 考点一 椭圆中的定直线问题 例1．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． (1)证明：直线与的斜率之积为定值； (2)直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 例2．（25-26高三上·四川眉山·期末）已知椭圆的离心率为为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程. (2)设椭圆的左､右顶点分别为，过右焦点且斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点. （i）当斜率为1时，求四边形的面积. （ii）求证：点在定直线上. 例3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于、两点，动点与、、四点不共线，设直线、、的斜率分别为、、，且满足：．证明：点在定直线上，并求出该直线． 变式1．（24-25高三下·广东清远·开学考试）椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 变式2．（24-25高二上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． (1)求轨迹； (2)将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 变式3．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 考点二 椭圆中的中点弦问题 例1．（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 例2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点为. (1)求的标准方程； (2)设、两点在上，且线段的中点为. （i）当时，求直线的方程； （ii）当直线的斜率存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 例3．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于B、C两点，求以为中点的弦所在的直线方程.（直线化为一般方程） 变式1．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于两点. ①若，求实数的值； ②当变化时，线段的中点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论，若不是，请说明理由. 变式2．（25-26高三上·黑龙江绥化·阶段检测）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，且满足条件． (1)求椭圆C的离心率； (2)若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程； (3)在（2）的条件下，过点的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段的中点，求直线l的方程． 变式3．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆 的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程. (2)点在上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为. ①证明：为定值; ②证明：直线过线段的中点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $