解三角形：最值与范围问题的4种高频考点 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以三角函数、基本不等式、二次函数、导数四大方法为框架，系统构建解三角形最值与范围问题的解题体系，突出知识应用逻辑与方法迁移能力，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数值域|3例+3变式|利用三角恒等变换转化为正弦型函数求值域|结合正弦定理与三角形内角和，构建角的函数关系| |基本不等式|3例+3变式|借助余弦定理或面积公式建立边的不等关系|通过边的平方和、乘积关系应用均值定理| |二次函数|2例+2变式|用余弦定理表示边为变量的二次函数|转化为一元二次函数在三角形约束条件下的值域| |导数|2例+2变式|构造关于角或边的函数，求导分析单调性|针对复杂函数关系，通过导数研究最值点|

解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 考点目录 利用三角函数值域求解三角形最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形最值与范围问题 利用二次函数求解三角形最值与范围问题 利用导数求解三角形最值与范围问题 考点一 利用三角函数值域求解三角形最值与范围问题 例1．（25-26高一下·河南郑州·期末）已知分别是三个内角的对边，且. (1)求角． (2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合诱导公式、两角和与差的正弦公式以及辅助角公式即可求出结果； （2）结合正弦定理、辅助角公式以及两角和与差的正弦公式，根据锐角三角形来进一步确定角的范围，即可求出结果. 【详解】（1）由题知，， 由正弦定理得，， 即， 即， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以，所以或， 所以或（舍去），故. （2）由（1）知，， 由正弦定理得，， 所以， 所以 ， 又是锐角三角形，且， 所以，解得， 所以， 所以， 即周长的取值范围为. 例2．（25-26高一下·云南昭通·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求a的值； (2)若于，且， ①证明：； ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①证明：由余弦定理可知：， 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 又因，即， 所以， 故，即，得证. ②8 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）①借助余弦定理结合基本不等式可得，利用面积公式计算可得，从而可得，再利用二倍角公式计算可得，从而可得的范围；②借助完全平方公式计算可得，结合，可得的最小值，即可得的最小值. 【详解】（1）由余弦定理可知，， 又因， 所以，解得：； （2）①略 ②因 ， 即， 因，故， 所以，即， 的最小值为8. 例3．（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先利用余弦定理和三角形的面积公式求出，再根据即可得出结论； （2）先利用余弦定理求出，再根据四边形的面积结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及， 得：， 所以，即. 又因为，所以， 因为，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即， 所以是等边三角形； （2）如图，在中，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 则 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 即四边形的面积的取值范围是． 变式1．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其内切圆与外接圆半径分别为r，R.已知且，求： (1)求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化“边”为“角”得到，再由通过三角恒等变换求解； （2）由（1）求得，再由利用正弦定理化“边”为“角”并通过辅助角公式得到，利用正弦函数的性质即可求得最大值. 【详解】（1）由正弦定理得：，. 因为 所以，∴ 在中， 所以， ，. （2）由，得，得. 在中,内切圆半径： 即时，取得最大值. 变式3．（2026·山东济宁·三模）如图，内角，，的对边分别为，，，已知．    (1)求； (2)若是外的一点且、在直线异侧，，，，求平面四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用射影定理化简原式，进而求解角度即可. （2）利用余弦定理得到，再结合三角形面积公式表示出平面四边形面积，最后结合辅助角公式和正弦函数的性质求解最大值即可. 【详解】（1）在中，由题意得， 由射影定理得，而，故， 即，而，故. （2）因为，，所以是等边三角形， 设，则， 设，，由余弦定理得， 化简得，由三角形面积公式得， 而，则， 设平面四边形面积为， 因为，所以，得到， 可得，故平面四边形面积的最大值为. 考点二 利用基本不等式求解三角形最值与范围问题 例1．（25-26高一下·浙江嘉兴·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为3． (1)若，求； (2)若． （i）求的取值范围； （ii）当最小时，求的长． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）由条件先求出，再由三角形面积求出，根据余弦定理即可求得； （2）（i）分别用正弦定理、三角形面积公式和余弦函数的性质求解；或由向量的线性关系得面积的关系，推得即可；再由向量数量积的运算律求出，结合余弦函数的值域求解；（ii）由余弦定理和基本不等式先求出的最小值，再由余弦定理或三角形面积关系以及（i）的结论求解即得. 【详解】（1）因，则角为锐角，， 由，又，代入解得， 再由余弦定理得，解得. （2）（i）法一：在中，由正弦定理得， 同理，在中，， 因为，，， 所以，又，所以． 由得， 即， ，因为，所以． 法二：由得， 即， 又，所以，又，则． 后同法一． 法三：由可得， 则， 所以，因为，所以，． （ii）因,可得， 则由余弦定理得 ， 当且仅当时取等，此时，， 法一：设，在中，， 由余弦定理得， 得或，检验得． 法二：设，由，得， 法三：，由（i）的法三知，．      例2．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知内角，， 的对边分别为 ， ，，若，且． (1)求角 及边的值； (2)求的最大值． 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得． 因为，解得． 由，结合正弦定理得， 所以． （2）由（1）知， 两边都加上，可得， 即，当且仅当时等号成立， 所以时，取得最大值为8． 例3．（2026·陕西渭南·三模）已知的内角所对的边分别为,且． (1)求； (2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理角化边，利用余弦定理求出角； （2）首先根据正弦定理求出，利用余弦定理列方程，结合均值不等式得，求出最值. 【详解】（1）因为，则， 即， ， ，. （2）由，得， 由余弦定理得， 化简为，即， 因为， 则，， 当且仅当时等号成立，故三角形周长最大值为. 变式1．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由正弦定理边化角计算可得； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，再由三角形中边的关系可得，从而可得结果. 【详解】（1）在中，，由正弦定理得， 即，因为，且， 所以，因此. （2）由（1）知，且，由余弦定理得， 由基本不等式当且仅当时等号成立， 所以，解得（当且仅当时等号成立） 又由三角形中两边之和大于第三边，所以， 两边平方，再将代入得，即 综上所述，. 故的取值范围为. 变式2．（2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ，则， . （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即， 又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 变式3．（2025·湖南长沙·二模）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求； (2)若，求 的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形内角的取值范围，即可求得答案； （2）利用正弦定理得出，代入得，再利用余弦定理和基本不等式，即可求得答案； 【详解】（1） 因为，所以不为； 所以， 所以， 又因为，所以，故， 所以； （2）由（1）得：，所以， 所以，所以； 由余弦定理：； 根据基本不等式得：，代入得：，仅当时，等号成立， 解得：，所以的最大值为. 考点三 利用二次函数求解三角形最值与范围问题 例1．（2026·广东广州·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为. (1)求的值； (2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式，结合余弦定理，即可求得答案； （2）由题意结合正弦定理推出，设，由余弦定理推出，即可表示出的面积的表达式，化简，结合二次函数知识，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，即， 故，即， 结合，得； （2）由于平分，故， 故， 而，即得, 设，则， 即，则， 故 ， 当，即时，取到最大值，最大值为3； 又，满足， 当无限趋近于1或2时，无限趋近于0， 故的面积的取值范围为. 例2．（24-25高三下·江苏南京·阶段检测）在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且． (1)若，求角C的正切值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入原式化简即可得出答案； （2）分和，由三角恒等变换化简已知式可得，再由正弦定理、二倍角的正弦、余弦公式以及同角三角函数基本关系可得，令，则，由二次函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）代入，所以，，即， 因，则， 所以，故，则. （2）由题可得：， 即， 即， 因为，所以，则， 因为， 则， 因为 ， 则，即， 故， 若，则；若，则，矛盾， 故， 则 ， 因为， 所以， ， 令，， 因为，因为，， 所以，所以，， . 故的取值范围为. 变式1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)已知C为钝角，记. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围. 【答案】(1)证明：由，可得， 由余弦定理可知，所以. (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）先由正弦定理将条件化为，然后利用余弦定理化简即可证明. （2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （ⅱ）根据中线关系得，结合数量积的运算律及将化为，根据二次函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）由，可得，． 根据三角形三边关系，知即 则解得， 所以的取值范围为． （ⅱ）因为BD为AC边上的中线，所以， 则， 所以． 令，则，因为在上单调递增， 所以，故的取值范围为． 变式2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，、、分别是角、、所对的边，. （1）求角的大小； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用切化弦公式结合两角和差的三角公式以及正弦定理进行转化求解即可. （2）利用余弦定理得到，利用转化法转化为二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由得， 所以，即， 即，所以，解得：； （2）若，得，即， 则，所以， 则， 则当，即时，取得最小值. 考点四 利用导数求解三角形最值与范围问题 例1．（2025·四川达州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)设A与B存在函数关系，并记，求函数； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，再求出范围，可得函数；（2）切化弦整理得，令，求导判断其单调性，根据单调性求范围. 【详解】（1）由正弦定理得，.所以， 即， 解得或（舍），所以. 因为为锐角三角形，，. 由得. 故函数，. （2）， 当且仅当即时即时取等号，此时，而， 所以等号取不到. 令，则，对函数，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 当时，；当时， 所以函数的值域为， 故的取值范围为. 例2．（2025·辽宁·二模）已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为. (1)求证：； (2)若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有； (3)求的最小值. 【答案】(1)证明：因为 ， 由，则，故，所以， 设， 则， 故在上单调递增， 故当时，，即. 由为锐角，则，所以有， 同理，， 所以，. (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换将用的形式表达，借助不等式性质与不等式得，进而同理得的不等关系，由内角和定理即可得证； （2）结合正、余弦定理化简求得，利用锐角三角形求范围，进而构造齐次式化弦为切可得的范围，整体换元令，将问题转化为不等式对任意，的双变量恒成立问题逐步求解可得； （3）由两角和正切公式化，再整体换元，令，进一步令，转化为求的最值，再利用基本不等式与导数求解最值即可. 【详解】（1）略 （2）由题意，且， 则根据余弦定理可得， 化简得，由正弦定理得， 得，由均为锐角，且， 则且， 解得， 则 ， 令，则，， 不等式， 即不等式对任意，恒成立. 所以对任意恒成立， 则， 化简得， 则不等式对任意恒成立， 其否定为：存在，使不等式. 即存在，成立. 即关于的不等式在有解. 由可得，且； ，且，且当时，； 又， 则要使不等式在有解， 则， 故当，或时，不等式对任意恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. （3）在锐角中，， 由，则， 令，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当时等号成立. 令， 则， 令， 则，令，解得， 则当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 又， 故在有且仅有一个根，设为，且， 发现，故， 故，由，则，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故， 所以有， 当且仅当，即时，取到最小值，且最小值为. 此时， 综上可得，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于“元”的变换.如第一问种通过三角恒等变换，对式子的变形，转化为整体元“”的函数求解；再如第二问中通过整体换元，将问题转化为对任意，双变量不等式恒成立，进而分别以为主元变量逐步求解；又如第三问中令，则，通过基本不等式的应用，将多元最值问题转化为一元函数的最值问题求解. 变式1．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围，令，结合导数可求出的取值范围，即为所求. 【详解】（1）因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． （2）在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 又，设，设，其中， ， 由可得，由可得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，， 又因为，，故的取值范围为， 即的取值范围为. 变式2．（24-25高三上·广东江门·阶段检测）已知的三个内角所对的边分别为，且，记的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为. (1)若，求； (2)记，证明：； (3)求的取值范围： 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用余弦定理求得，进而求得. （2）根据三角形的面积公式证得结论成立. （3）用表示，然后利用导数求得的取值范围. 【详解】（1）∵,,, 由余弦定理，得 ， ∵,. （2）∵的面积为,内切圆半径为， ∴, 又∵,∴，∴. （3）由正弦定理得,得, 因为,， 由（2）得， 又因为， 所以, 所以, 由,解得, 令，， 则在上单调递增, 所以, 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 考点目录 利用三角函数值域求解三角形最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形最值与范围问题 利用二次函数求解三角形最值与范围问题 利用导数求解三角形最值与范围问题 例1.(25-26高一下河南郑州期末)已知4，b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边，且 a卷点3 asin Ci利用三角函数值域求解三角形最值与范围问题 (1)求角A. (2)若△ABC是锐角三角形，且a=3,求△ABC周长的取值范围. 例2.(25-26高一下云南昭通期末)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4 ccosA=ab-4 acosC. (1)求a的值： (②若D1BCrD,且D=25 ①证明：0<4号： ②求b+C的最小值. 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 例3.(2026广东汕头三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,S为△ABC的面积，且 sin 2A=sin 2B 5(a2+b2-c2)=4S (1)判断△ABC的形状： ②)没点D为△1BC所在平面内一动点，C,D分别位于直线4B的两侧，设ADB=00<0<),若4AD=1, BD=2,求四边形ADBC面积的取值范围. 变式1.(2026-江苏南京·三模)已知在△1BC 中，角 A,B,C 的对边分别为a6C,满足sn1=c,且 b2=c2-ac+1 (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形，求三角形△ABC的周长的取值范围. 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 变式2.(2026安徽合肥模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其内切圆与外接圆半 径分别为r,R已知C=2且a=2cosB,求： (1)求∠C的值； (2)求R的最大值 变式3.(2026山东济宁三模)如图，△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 acosC+ccos A=2bcos B (1)求B: (2)若D是△ABC外的一点且B、D在直线AC异侧，AB=BC,CD=2,AD=4,求平面四边形ABCD面积的最 大值 3 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 考点二 利用基本不等式求解三角形最值与范围问题 例1.(25-26高一下浙江嘉兴期末)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知C=2b,△ABC的 面积为3. I)若cos4=,求a} 2)考BD=2Dc AD (①)求b的取值范围： (ii)当a最小时，求AD的长. 例2.(25-26高二下·云南文山阶段检测)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 bab bsinc-43sinB (I)求角C及边c的值： (2)求a+b的最大值 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 例3，(2026陕西渭南·三模)已知△MBC的内角4，B, 所对的边分别为a,b,c,且 asinA-csinC=b(sinB+sinC) (1)求A: (2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC周长的最大值. 变式1.(25-26高三下湖南张家界阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 bcosC+ccos B=2acos A (I)求角A的大小； (2若a=V5.求b+c2 求 的取值范围. 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 1 变式2.(2026江西三模)在。4BC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b.c,且cosB- b=c. (1)求角A的大小： (2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为2，求△ABC面积的最大值， 变式3。(2025：湖南长沙：二模)已知“，b,C分别为△1BC三个内角4，B,C的对边，c1+cos)=V5asi血C (1)求A; (2)若a=V3 求c+2sinB 的最大值 6 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 考点三 利用二次函数求解三角形最值与范围问题 例1.(2026广东广州模拟预测)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 b2-c2+16 a,b C:S.ABc= -.tanC 4 (1)求a的值： (2)若D为线段BC上一点且满足BD=l,DA平分∠BAC,求△ABC的面积的取值范围， 例2.(24-25高三下江苏南京阶段检测)在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c,且 sin Ccos Acos- s C+B=sin2 Asin C-B 2 2· ()若A=2,求角C的正切值： a2-b2 (2)求ac的取值范围. 7 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 变式1.(2425高三上内蒙古赤峰期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 ca=1+2cosB a c (1)证明：b2=ac. (2②)已知C为钝角，记9=6 b 93 (i)求的取值范围： BD2 (i)若BD为AC边上的中线，求a2的取值范围. 变式Z.2s26高下江苏扬州期中)在4BC中，g、b、c分别是角BC防的边，+C2弘 tan Bb (1)求角C的大小： 1 (2)若(a+b}-c2-4,求方-30的最小值 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 考点四 利用导数求解三角形最值与范围问题 例1.(2025·四川达州模拟预测)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c-b=2 bcos A. ()没A与B存在函数关系，并记M=/(B),求函数(B) 11,4。 (2)求tan B tan A3 ,+,sinA的取值范围. 例2.(2025辽宁·二模)已知A,B,C为锐角三角形的三个内角，角A,B,C所对的边分别为a,b,C. (l)求证：sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2π： (2)若b2-2 csinB+c2=4,且a=2,求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角B,恒有 2sinBcosB)sinco (3)求14tanA+7tanB+4tanC的最小值. 9 解三角形：最值与范围问题的4种高频考点专项训练 变式1。(2025辽宁二模)已知锐角△16C、角1、8、C所对的边分别为”、6、C,且0=5 1 √5cosB+-b=C. 2 (I)求A: 2b2+c2 (2)求bc的取值范围. 变式2.(2425高三上广东江门阶段检测)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,c=3b 记△ABC的面积为S,内切圆半径为”，外接圆半径为R. 若6=V2 sinA ,求 2记P-2a+b+d),证明： P: (3)求rR的取值范围： 四