精品解析：上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷

2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 2026.6 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分120分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题满分48分，每题4分，考生应在答题纸相应位置直接填写结果） 1. 若复数满足，则复数______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【详解】解：∵，∴， 故答案为：. 2. 的二项展开式中项的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项，即可求得答案. 【详解】由题意知的展开式的通项为， 故展开式中项的系数为， 故答案为； 3. 已知集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先解分式不等式化简集合，再结合对数函数的定义域化简集合，最后根据交集的定义计算结果. 【详解】由，移项通分得，等价于（）， 解得或，即。 由，解得，即， 故 4. 已知，则______（用表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由， 得. 故答案为： 5. 已知，则______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式求解. 【详解】由两边平方得，所以． 故答案为： 6. 在中，若面积，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理得，进而得答案. 【详解】解：由三角形的面积公式得， 所以， 因为， 所以，即， 因为，所以 故答案为： 7. 函数的值域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式求得函数的值域. 【详解】当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为： 8. 某校要从2名男生和4名女生中任选4人担任志愿者工作，每个人被选中的可能性相同且要求选出的志愿者中男女生都要有，则有_________种不同的选法． 【答案】 【解析】 【详解】由组合数性质得男生和女生都有的情况有种. 9. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为______． 【答案】（，） 【解析】 【分析】结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求． 【详解】解；设点A′的坐标（x，y），则OA＝OA′， 设A为α终边上的一点，则sinα，cos， 则cos（），sin（）（sinα+cosα）， 即x，y， 故点A′的坐标为（，）． 故答案为：（，）． 10. 平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案. 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 11. 已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别是和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心， 以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环， 所以其面积为. 12. 如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为30 cm，宽均为10 cm．点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为10 cm．为了使，则、两点间距离为________cm．（精确到0.1 cm） 【答案】 【解析】 【分析】在中求得相关三角函数值，利用平行线性质及矩形性质求出，再在中利用正弦定理求出，最后求和. 【详解】在中，，， 所以，所以， ，延长交直线于点， 因为四边形为矩形，所以，， 所以，； 在中，， 所以， 在中，， 所以， 因为点在边上，则， 又，则， 由正弦定理得， 即，解得， 所以， 故、两点间距离约为. 二、选择题（本大题满分16分，每题4分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A选项，在区间上为严格增函数，但不是奇函数，故A错误； 对于B选项，因为 ，所以为偶函数，故B错误； 对于C选项，在区间上为严格减函数，故C错误； 对于D选项，在区间上为严格增函数，且为奇函数，故D正确. 14. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 15. 在中，设，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的数量积写出其夹角的表达式，结合同角三角函数的平方式以及三角形的面积公式，可得答案. 【详解】设与的夹角为，由， 则， 由， 则. 16. 已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行求解. 【详解】当时， ， 因为函数在区间上存在零点， 根据正弦函数图象可知，，解得， 又函数在区间上的值域为， 根据正弦函数图象可知，，解得， 所以的取值范围是，故A，C，D错误. 故选：B. 三、解答题（本大题56分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知数列是公差为2的等差数列，其前15项的和为15，数列是公比为正实数的等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）设（，），计算． 【答案】（1） ，. （2） . 【解析】 【分析】(1) 利用等差数列的基本量运算求出，进而求出通项，再由等比数列的基本量运算求出公比即得通项； (2) 利用分组求和与等差（比）数列前n项和公式分别计算即得. 【小问1详解】 由  得 ，解得 ，故 ； 设公比 ，由 ， 得 ，解得 （舍去 ），故 . 【小问2详解】 因， 则   . 18. （1）若不是直角三角形，求证：． （2）已知，且，，求的值． 【答案】（1）证明：不是直角三角形， ， ， ， ， ，得证． （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的正切公式即可证明； （2）由题意利用同角三角函数基本关系可求，的值，由结合两角差的正弦公式可求解的值. 【详解】（1）略； （2）因为，，所以， 又因为，所以，因为， 所以，， 所以 ． 19. 已知平面直角坐标系中，向量，. （1）求在上的投影向量； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）且. 【解析】 【分析】（1）由题设及投影向量计算公式可得答案； （2）由向量坐标运算及向量平行坐标表示可得答案； （3）由题可得且与不平行，据此可得答案. 【小问1详解】 在上的投影向量为：， 又，， 则； 【小问2详解】 由题可得， 设，因，则. 因，则，从而， 则或 【小问3详解】 由题可得，因与的夹角为锐角， 则且与不平行， 从而且. 20. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数，再结合三角函数的性质，即可求解； （2）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令, 则， 所以的单调递减区间为; 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 21. 对于函数，若在其定义域内存在，对于常数有成立，则称函数为“跃点”函数，并称为函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若，，求证：“”是“对任意，函数为‘跃点’函数”的充要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的实数和正整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）由题意得“对任意，为‘跃点’函数”等价于： 对任意实数，关于的方程都有解， 所以当时，方程有解，即 所以， 反之，当时，， 则, 等价于, 显然，是此方程的解，故此方程对任意实数都有实数解． 综上所述，“”是“对任意， 为‘跃点’函数”的充要条件． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可；  （2）先将对任意 ， 为 跃点函数等价转化为对于任意实数，关于 的方程都有解，然后利用取特殊值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性； （3）由跃点定义代入函数化简为，问题转化为该方程在上解的个数等于，因函数周期为，结合图象分类讨论即可． 【小问1详解】 （1）由已知得存在实数， 使得. 所以. 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 令， 由已知得，， 化简得， 函数的最小正周期为， 根据该函数在上的图象分析： ①当时，函数在上有个“”跃点，故不可能有个跃点； ②当时，函数在上有个跃点，此时， ③当或时，函数在上有个跃点，故 综上，所有符合条件的分别为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 2026.6 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分120分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题满分48分，每题4分，考生应在答题纸相应位置直接填写结果） 1. 若复数满足，则复数______. 2. 的二项展开式中项的系数为___________. 3. 已知集合，则________． 4. 已知，则______（用表示） 5. 已知，则______． 6. 在中，若面积，则______． 7. 函数的值域为___________. 8. 某校要从2名男生和4名女生中任选4人担任志愿者工作，每个人被选中的可能性相同且要求选出的志愿者中男女生都要有，则有_________种不同的选法． 9. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为______． 10. 平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 11. 已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别是和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积是________． 12. 如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为30 cm，宽均为10 cm．点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为10 cm．为了使，则、两点间距离为________cm．（精确到0.1 cm） 二、选择题（本大题满分16分，每题4分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 在中，设，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题56分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知数列是公差为2的等差数列，其前15项的和为15，数列是公比为正实数的等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）设（，），计算． 18. （1）若不是直角三角形，求证：． （2）已知，且，，求的值． 19. 已知平面直角坐标系中，向量，. （1）求在上的投影向量； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 20. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 21. 对于函数，若在其定义域内存在，对于常数有成立，则称函数为“跃点”函数，并称为函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若，，求证：“”是“对任意，函数为‘跃点’函数”的充要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的实数和正整数的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $