精品解析：上海市黄浦区2024-2025学年高一下学期期终调研测试数学试卷

黄浦区2024学年第二学期高一年级期终调研测试 数学试卷 2025.06 （时间：90分钟 总分：100分） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分． 1. 函数的最小正周期是______． 2. 若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则角的正弦值为______． 3. 若（为虚数单位），则______． 4 已知向量，，若，则等于______． 5. 已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=___ 6. 满足的角的集合为______． 7. 若，则的值为______． 8. 已知，，，则与的夹角为______． 9. 若，，则______． 10. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sinB＝5sinA，则C＝_____． 11. 将面积为正三角形（其内部为灰色）的三条边的中点两两相连，并将这三条线段所围成的三角形区域设置为白色，得到图①；将图①中的内部为灰色的小三角形都重复上述操作，得到图②；依此类推，可得图③，图④，…．设从左到右第n个图形中的白色三角形区域的总面积为，则满足的n的最小值为______． 12. 在中，，，，若点满足，则的正切值为______． 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 13. 已知且，则的终边在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 设是某平面内所有向量所组成集合，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C 若，则 D. 若，则 15. 已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（ ）． A. B. C. D. 16. 若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 18. 设的顶点的坐标分别为，，． （1）若，求点的坐标； （2）过点作，垂足为，求坐标． 19. 已知关于x的方程． （1）若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； （2）已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 20. 某公园拟在一块扇形空地上建造一个四边形花卉园DEFG，若已知扇形的圆心角（即）为，半径m，点D，E分别为CA，CB的中点，F，G是上的动点，且四边形DEFG是矩形或以DE、GF为底的梯形． （1）若四边形DEFG是矩形，试求的正弦值； （2）设四边形DEFG的面积为y（单位：m2），FG的中点为H．试从与中选择一个角并设其大小为x，写出y随x变化的函数表达式，并求y的最大值． 21. 设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：与．从而． （1）求，； （2）若是首项为2，公比为2的等比数列，求； （3）若，则与之间有何关系？请求出的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄浦区2024学年第二学期高一年级期终调研测试 数学试卷 2025.06 （时间：90分钟 总分：100分） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚； 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分． 1. 函数的最小正周期是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦型函数的最上正周期公式计算即可. 【详解】函数最小正周期是. 故答案为：. 2. 若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则角的正弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可得，. 故答案为：. 3. 若（为虚数单位），则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的除法运算计算即可. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 4. 已知向量，，若，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故答案为： 5. 已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=___ 【答案】 【解析】 【详解】设数列公差为非零常数d，由题意，即，解得. 所以. 故答案为： 6. 满足的角的集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的性质解方程即可. 【详解】由，可得， 解得， 所以满足的角的集合为. 故答案为：. 7. 若，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知利用诱导公式和同角三角函数关系式即可求解. 【详解】由，得， 根据诱导公式，化简. 故答案为：5. 8. 已知，，，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知等式两边平方可求得，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】由，可得，又，， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 9. 若，，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用同角的正余弦的平方和为1，可求得，切化弦，进而利用诱导公式与二倍角的正余弦公式即中求解. 【详解】因，，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 10. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sinB＝5sinA，则C＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正余弦定理可得的余弦值，进而求出的值. 【详解】因为，则由正弦定理可得，所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 又因为， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题． 11. 将面积为的正三角形（其内部为灰色）的三条边的中点两两相连，并将这三条线段所围成的三角形区域设置为白色，得到图①；将图①中的内部为灰色的小三角形都重复上述操作，得到图②；依此类推，可得图③，图④，…．设从左到右第n个图形中的白色三角形区域的总面积为，则满足的n的最小值为______． 【答案】33 【解析】 【分析】由图形，再结合等比数列求和公式应用指数函数单调性计算即可； 【详解】记第n个图形中灰色区域的面积为. 由图知后一个图形中灰色区域的面积是前一个的倍，第一个三角形的面积为， 故是以为首项，为公比的等比数列，故， 第n个白色三角形区域的总面积为，，， 所以，所以， 因为单调递减，所以 则满足的n的最小值为33. 故答案为：33. 12. 在中，，，，若点满足，则的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件可得为的费马点，如图，以为边作等边三角形可证,再过点作交于,在中，即可得出的正切值 【详解】根据题意，,,方向上的单位向量之和为零向量， 结合向量加法几何意义，易知,（为的费马点）, 如图，以为边作等边三角形,过点作交于, 则,故,,,四点共圆， 故，且，故, 故,故 在中，,, 所以. 故答案为： 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 13. 已知且，则的终边在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角三角函数的定义，分别求出当和时所在的终边，判断象限. 【详解】当时，在第一象限或是第三象限， 当时，在第二象限，或是第三象限，或是在轴的非正半轴， 综上可知应位于第三象限. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的定义，重点考查根据三角函数的正负，判断角终边所在的象限. 14. 设是某平面内所有向量所组成的集合，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积的意义计算可判断每个选项的正误. 【详解】由向量的数量积可知是一个与共线的向量，是一个与共线的向量， 故不一定相等，故A错误； 由，可得，因为，所以或，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 15. 已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的定义以及三角不等式求解即可. 【详解】， 所以的最大值为. 故选：A. 16. 若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）． A. ①和②均真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数的值域应关于原点对称，据此分析命题①②求得的范围，进而可判断命题的真假. 【详解】对于集合D内的任意，都存在，使得， 故函数的值域应关于原点对称， 对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称， 则，所以， 故若函数在上具有性质P，则的取值范围是， 故①为真命题； 对于命题②，，则， 若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得， 当时，则，可得， 当时，则即可，解得， 当时，，可满足题意，即时恒成立， 综上所述：函数在上具有性质P， 则的取值范围是或或，故②是假命题． 故选：B. 三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合两角和的余弦公式，即可求解； （2）由（1），求得，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得， 则. 【小问2详解】 解：由（1）知， 则. 18. 设的顶点的坐标分别为，，． （1）若，求点的坐标； （2）过点作，垂足为，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据向量的坐标表示计算即可； （2）设，再根据，，结合平面向量垂直平行的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 设，则， 由， 得，解得， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 因为三点共线，所以， 设，则， 由，得， 所以，解得， 所以. 19. 已知关于x的方程． （1）若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； （2）已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解； （2）讨论两根是实数、虚数两种情况，当两根为虚数时，设，则，再根据韦达定理结合复数的模的计算公式求解即可. 【小问1详解】 因为是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，解得； 【小问2详解】 当都是实数时，则， 故， 又因为， 所以，解得或， 经检验，当时，不符题意，所以； 当都是虚数时，设，则， 则， 所以，所以， 又，则，解得， 经检验，不符合题意，所以. 综上所述，或. 20. 某公园拟在一块扇形空地上建造一个四边形花卉园DEFG，若已知扇形的圆心角（即）为，半径m，点D，E分别为CA，CB的中点，F，G是上的动点，且四边形DEFG是矩形或以DE、GF为底的梯形． （1）若四边形DEFG是矩形，试求的正弦值； （2）设四边形DEFG的面积为y（单位：m2），FG的中点为H．试从与中选择一个角并设其大小为x，写出y随x变化的函数表达式，并求y的最大值． 【答案】（1） （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理可求得，进而利用两角和的正弦定理可求得； （2）法一：设，利用梯形的面积公式可得，进而利用换元法可求面积的最大值.法二：设，则可得，利用梯形的面积公式可得，进而利用换元法可求面积的最大值. 【小问1详解】 因为，点D，E分别为CA，CB的中点，所以， 若四边形DEFG是矩形，则，又，， 在中，由正弦定理可得，即， 所以，因为，所以， 所以 ； 【小问2详解】 法一：设，由垂径定理可得，且平分， 所以，，， 所以梯形的高为， 所以梯形的面积为 ， 设，又因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 当时， 法二：设，则可得， 由垂径定理可得，且平分， 所以，，， 所以梯形的高为， 所以梯形的面积为 ， 设， 又因为，所以， 所以 ，所以， 所以 ， 当时，. 21. 设数列同时满足以下条件：①中的任意一项；②为减数列；③的所有项的和为m．记所有这样的不同数列的个数为．例如：当时，所有的不同数列为：与．从而． （1）求，； （2）若是首项为2，公比为2的等比数列，求； （3）若，则与之间有何关系？请求出的通项公式． 【答案】（1）， （2）48 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据定义可列举求值； （2）由定义可按规律列举求值； （3）根据题意，然后利用累加法求通项即可. 【小问1详解】 当时，所有的不同数列为：，， ，， 当时，所有的不同数列为：，， ,,及共12种，， 所以，. 【小问2详解】 由题知， 设,不全为零， 则 , 则，，，，，， ，， . 【小问3详解】 ，， ，即， ， ， 累加得，又， ， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $