精品解析：江苏南京市2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期期末试卷 七年级数学 全卷满分100分 考试时间为100分钟 一．选择题（每题2分，共12分） 1. 下列卡通图标分别是“星球”、“宇航员”、“星系”和“黑洞”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列条件能画出唯一确定的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 4. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C. 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 5. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二．填空题（每题2分，共20分） 7. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 8. “x的2倍减去y的差是非正数”用不等式表示为_______． 9. 已知，，则______． 10. 如果a=（﹣99）0，b=，c=，那么a、b、c三数从小到大排列为 ． 11. 若x2－2（m－1）x＋9是一个完全平方式，则m的值是________． 12. 不等式的解集为________． 13. 将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为______． 14. 如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝80°，则∠EAC的度数为______． 15. 若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为___________． 16. 在中，，．将绕点顺时针旋转（），直线与直线交于点，点间的距离记为，点间的距离记为．给出下面四个结论：①的值一直变大；②的值先变小再变大；③当时，的值保持不变；④当，的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 ______． 三．解答题（共68分） 17. 计算或化简： （1）； （2）． 18. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19. 按要求完成下列各题： （1）解方程组：； （2）利用乘法公式计算：． 20. 如图：已知，，． （1）求证：； （2）若平分，于，，求的度数． 21. 如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． （1）请说明这样设计的理由； （2）要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 22. 某社区响应全民健身号召，积极改造居民健身场地，采购健身器材，已知每辆健身动感单车800元，每台音乐智慧跳绳机80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案如下： 甲厂家 买一辆健身动感单车送三台音乐智慧跳绳机 乙厂家 健身动感单车和音乐智慧跳绳机全部按原价8折优惠 该社区现要购买3辆健身动感单车和若干台音乐智慧跳绳机，若购买的音乐智慧跳绳机为台（），经计算发现在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多几台？最少几台？ 23. 某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） （1）列出方程（组），求出图1中与的值． （2）在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 24. 已知有理数a，b，c． （1）若，求的取值范围； （2）若a，b，c都是正整数，且是偶数，请说明：是偶数． 25. 【定义】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①，②， ③中，是的“相斥不等式”的有______（填序号）； （2）若关于x的不等式是的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若是关于x的不等式（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 26. 【阅读理解】 截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系，根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是_______________． （2）【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图2，在中，，，是内部一点，且，求证：． （3）【拓展提升】如图3，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末试卷 七年级数学 全卷满分100分 考试时间为100分钟 一．选择题（每题2分，共12分） 1. 下列卡通图标分别是“星球”、“宇航员”、“星系”和“黑洞”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕着某一点旋转后与原图形完全重合，那么这个图形是中心对称图形，进行判断． 【详解】选项A、、均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义，判断是否是中心对称图形关键的是找到对称中心． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据幂的乘方、单项式乘单项式、积的乘方、同底数幂的除法法则计算各选项，判断运算是否正确． 【详解】解：、由，故该选项错误，不符合题意； 、由，故该选项正确，符合题意； 、由，故该选项错误，不符合题意； 、由，故该选项错误，不符合题意． 3. 根据下列条件能画出唯一确定的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形三边的关系等知识，解题的关键在于熟练掌握相关判定定理．根据全等三角形的判定及构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】解：A、， 不构成三角形，不能画出唯一确定的，不符合题意； B、不是，边的夹角，得不到三角形全等， 不能画出唯一确定的，不符合题意； C、 “”能得到三角形全等， 能画出唯一确定的，符合题意； D、 “”得不到三角形全等， 不能画出唯一确定的，不符合题意； 故选：C． 4. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C. 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，牢记初中几何相关定义与定理即可解题，根据相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，因此A是假命题，不符合要求； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度才叫作点到直线的距离，原命题描述错误，因此B是假命题，不符合要求； C、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，因此C是真命题，符合要求； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，因此D是假命题，不符合要求． 5. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】这道题主要考查了几何图形折叠问题，其中长方形每个内角都为直角，即，再根据折叠的性质，折痕为对称轴，折叠前后对应角相等即和，再利用已知角建立方程求解． 【详解】解： ∵根据题意，以、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、， ∴利用折叠对称性，设，； ∵长方形中， ∴， 即， ∵折叠后， 即， ． 6. 甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为，同向而行需分甲速度大于乙速度、乙速度大于甲速度两种情况讨论，结合路程关系列方程求解. 【详解】解：设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为. ∵相向而行后相遇， ∴， 整理得. 同向而行分两种情况： ① 甲速度大于乙速度，甲追乙，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， ∴甲走完全程的时间为， ② 乙速度大于甲速度，乙追甲，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， 代入得， ∴甲走完全程的时间为； 二．填空题（每题2分，共20分） 7. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8. “x的2倍减去y的差是非正数”用不等式表示为_______． 【答案】2x−y≤0 【解析】 【分析】直接利用“x的2倍”即2x，再减y，结果是非正数，即小于等于零，即可得出不等式． 【详解】解：由题意可得：2x−y≤0． 故答案为：2x−y≤0． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键． 9. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式及代数式求值，原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 10. 如果a=（﹣99）0，b=，c=，那么a、b、c三数从小到大排列为 ． 【答案】b< c < a 【解析】 【分析】首先根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c的值，然后再比较大小，即可得到答案． 【详解】a=（﹣99）0=1； b== c== ∵<<1 ∴b< c < a 故答案为：b< c < a． 【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数大小比较的知识；解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂的性质，从而完成求解． 11. 若x2－2（m－1）x＋9是一个完全平方式，则m的值是________． 【答案】4或-2 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵x2-2（m-1）x+9是一个完全平方式， ∴-2（m-1）=±6， 解得：m=4或m=-2， 故答案为：4或-2． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行解不等式即可； 【详解】∵， ∴， ∴，即． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了不等式的求解，准确分析师解题的关键． 13. 将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为______． 【答案】##52度 【解析】 【分析】根据折叠的性质和已知可求得，由邻补角可求得，结合矩形性质和求解． 【详解】解：由翻折可知， ， ， 是长方形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形有关的折叠、领补角；解题的关键是掌握折叠的性质． 14. 如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝80°，则∠EAC的度数为______． 【答案】50° 【解析】 【分析】利用SAS证明△ABC≌△ADC得∠D+∠DCA＝∠B+∠BCA，根据三角形的外角定理推出∠B+∠BCA＝∠CAE，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵AC平分∠DCB， ∴∠BCA＝∠DCA， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠D， ∴∠B+∠BCA＝∠D+∠DCA， ∵∠EAC＝∠D+∠DCA， ∴∠B+∠BCA＝∠EAC， ∵∠B+∠BCA＝180°﹣∠BAC＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC， ∴∠CAE＝180°﹣∠BAE﹣∠EAC， ∵∠BAE＝80°， ∴∠EAC＝50°， 故答案为：50°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解此题的关键是利用SAS证明△ABC≌△ADC． 15. 若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为___________． 【答案】或2##2或-1 【解析】 【分析】由不等式组的解集中的整数和为-5，可确定整数解为：或，即可得出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式组的解集中的整数和为-5， ∴或， ∴或， 则整数的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解，再确定参数的范围． 16. 在中，，．将绕点顺时针旋转（），直线与直线交于点，点间的距离记为，点间的距离记为．给出下面四个结论：①的值一直变大；②的值先变小再变大；③当时，的值保持不变；④当，的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 ______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质，当时，的值由会逐渐变大，可判断①；而当时，可知的值先变小再变大，可判断②；当时，在上取点，使，连接，，证明，有，知，可判断③错误，④正确；掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，的值一直变大，故①正确； 当时，的值逐步变小；当时，；当时，的值逐步变大，故②正确； 当时，连接，如图， 由题意得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的值保持不变，故③错误； 当时，在上取点，使，连接，如图， 由题意得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的值保持不变，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三．解答题（共68分） 17. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解为，，． 【解析】 【分析】首先求出不等式组的解集，再从解集中找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，，． 19. 按要求完成下列各题： （1）解方程组：； （2）利用乘法公式计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出，再将代入求出即可； （2）根据平方差公式解答即可． 【小问1详解】 解：， ，得， 整理得， 解得， 将代入，得， 解得， 所以原方程组的解是； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图：已知，，． （1）求证：； （2）若平分，于，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）的度数为． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 21. 如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． （1）请说明这样设计的理由； （2）要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】（1） 解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂足为点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：根据题意，连接， ∵， ∴，， ∵ ∴． 22. 某社区响应全民健身号召，积极改造居民健身场地，采购健身器材，已知每辆健身动感单车800元，每台音乐智慧跳绳机80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案如下： 甲厂家 买一辆健身动感单车送三台音乐智慧跳绳机 乙厂家 健身动感单车和音乐智慧跳绳机全部按原价8折优惠 该社区现要购买3辆健身动感单车和若干台音乐智慧跳绳机，若购买的音乐智慧跳绳机为台（），经计算发现在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多几台？最少几台？ 【答案】 要购买的音乐智慧跳绳机最少9台，最多14台. 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，求出解集即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． ∵， ∴， 所以在甲厂家购买比在乙厂家购买花费少，则要购买的音乐智慧跳绳机最多14台，最少9台． 23. 某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） （1）列出方程（组），求出图1中与的值． （2）在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】（1）， （2）做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【解析】 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得：； 【小问2详解】 解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 24. 已知有理数a，b，c． （1）若，求的取值范围； （2）若a，b，c都是正整数，且是偶数，请说明：是偶数． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质、整式的加减、数的奇偶性等知识点． （1）由已知可得，代入，可得，再由，得出的取值范围； （2）由都是整数，得出是偶数；再由已知条件可得，由此得证． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：（方法一）都是正整数， 是偶数， ； 也是偶数，偶数偶数偶数， 是偶数． （方法二）都是正整数，且是偶数， 若为偶数，则也必是偶数， 为同奇同偶， 必是偶数．是偶数． 若为奇数，则也必是奇数， 为一奇一偶， 必是奇数， 是偶数， 综上所述：是偶数． 25. 【定义】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①，②， ③中，是的“相斥不等式”的有______（填序号）； （2）若关于x的不等式是的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若是关于x的不等式（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的技能和“相斥不等式”的定义是解题的关键． （1）根据“相斥不等式”的定义即可求解； （2）根据“相斥不等式”的定义可得，，解不等式组即可求解； （3）先“相斥不等式”的定义可得，然后求出不等式的解集为，然后得到，解关于k的不等式即可． 【小问1详解】 解：∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； ∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：解不等式得， 解不等式得， 解不等式得， 根据“相斥不等式”的定义得， 解得：； 【小问3详解】 解：∵是关于的不等式的“相斥不等式”， ∴（因为k小于0时不等式的解集是大于等于某个数）， 解不等式得， ∴， 解得：． 26. 【阅读理解】 截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系，根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是_______________． （2）【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图2，在中，，，是内部一点，且，求证：． （3）【拓展提升】如图3，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为_____________． 【答案】（1） （2）证明：如图，在线段上取点，使得，连接， ∵， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，得出，即可得证； （3）连接，在上取一点，使得，连接，由题意可得，，平分，证明，得出，，从而可得，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：延长到点使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，连接，在上取一点，使得，连接， ∵，的平分线交于点． ∴，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $