4.3.1 对数的概念 课时练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以对数概念为核心，通过基础认知、概念辨析、综合应用三层递进设计，实现从定义理解到跨情境应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|对数定义域、指数式与对数式互化|选择题为主，直接考查定义（如第1-2题定义域求解）| |概念辨析|对数概念内涵、互化规则判断|多选题形式，强化概念理解（如第9题对数存在条件辨析）| |综合应用|对数与函数/集合结合、实际问题建模|解答题结合反证法与函数零点（如第15-16题），提升推理与应用能力|

4.3.1 对数的概念【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是 （      ）  A.(－∞，2)∪(5，＋∞) B.(2，5) C.(2，3)∪(3，5) D.(3，4) 2.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为 （      ）  A.a＞且a≠1 B.0＜a＜ C.a＞0且a≠1 D.a＜ 3.（2025-2026·海南海口高一上期中）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 4.已知f(x3)＝logax，且f(8)＝1，则a＝ （      ）  A. B. C.2 D.3 5.（2026·内蒙古包头二模）已知集合，，若，则m的值为（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 6.（2025-2026·福建三明高一下期中）若，则（） A. B. C.− D.││>││ 7.计算（      ）  A.7 B.9 C.10 D.20 8.声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度，用I表示.由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L=lg，其中I0=10-12 W/m2，称为基准声强，声强级的单位是Bel，Bel又称为1dB，生活在30dB左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康，根据所给信息，可得90dB声强级的声强是30dB声强级的声强的（      ）  A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.10500倍 二、多选题（共3小题） 9.下列说法正确的是 （      ）  A.只有正数有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以5为底25的对数等于2 D.=-5成立 10.下列指数式与对数式互化正确的是 （      ）  A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11.已知正实数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以是 （      ）  A.2 B.3 C.4 D.5 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·上海高一期中）对数式中的取值范围为                  ． 13.（2024-2025·山东烟台高二下期末）若实数，则                  ． 14.（2024-2025·天津红桥高二下期末）若，则                  . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·上海宝山高一上期中）(1)求出下列式子中的的取值范围：； (2)设、，利用反证法证明：若，则或. 16.（2024-2025·黑龙江双鸭山高二下期末）已知函数的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上. (1) 求实数a的值； (2)若函数有两个零点，求实数b的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 对数的概念【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是 （      ）  A.(－∞，2)∪(5，＋∞) B.(2，5) C.(2，3)∪(3，5) D.(3，4) 【答案】C 【解析】由对数的定义知解得2＜a＜3或3＜a＜5. 2.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为 （      ）  A.a＞且a≠1 B.0＜a＜ C.a＞0且a≠1 D.a＜ 【答案】B 【解析】由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜. 3.（2025-2026·海南海口高一上期中）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 【答案】C 【解析】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确. 故选：C. 4.已知f(x3)＝logax，且f(8)＝1，则a＝ （      ）  A. B. C.2 D.3 【答案】C 【解析】f(8)＝f(23)＝loga2＝1，∴a＝2. 5.（2026·内蒙古包头二模）已知集合，，若，则m的值为（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】由，，，得，从而，解得. 故选：C. 6.（2025-2026·福建三明高一下期中）若，则（） A. B. C.− D.││>││ 【答案】C 【解析】对于选项A: 由满足,得,故A错误. 对于选项B: 由是增函数,得,故B错误. 对于选项D: 由满足,得,故D错误. 对于选项C: 由是增函数,得,即,故C正确. 故选:C. 7.计算（      ）  A.7 B.9 C.10 D.20 【答案】D 【解析】. 8.声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度，用I表示.由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L=lg，其中I0=10-12 W/m2，称为基准声强，声强级的单位是Bel，Bel又称为1dB，生活在30dB左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康，根据所给信息，可得90dB声强级的声强是30dB声强级的声强的（      ）  A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.10500倍 【答案】C 【解析】设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1，I2， 由题意，得90=10lg，30=10lg.则I1=I0·109，I2=I0·103， 所以==106. 二、多选题（共3小题） 9.下列说法正确的是 （      ）  A.只有正数有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以5为底25的对数等于2 D.=-5成立 【答案】AC 【解析】B错误，如(-2)2=4就不能化成对数式，D错误，对数式的真数a应大于0. 10.下列指数式与对数式互化正确的是 （      ）  A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】 BD 【解析】 对于A，，化成对数式是，错误； 对于B，正确； 对于C，，化成对数式是，错误； 对于D，正确． 故选BD． 11.已知正实数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以是 （      ）  A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】CD 【解析】∵a＋log2b＝3，∴log2b＝3－a，∴b＝23－a， ∴ba＝(23－a)a＝23a－a2＝4＝22， ∴3a－a2＝2，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，b＝22＝4，∴a＋b＝5； 当a＝2时，b＝21＝2，∴a＋b＝4. 故选CD. 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·上海高一期中）对数式中的取值范围为                  ． 【答案】 【解析】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为：. 13.（2024-2025·山东烟台高二下期末）若实数，则                  ． 【答案】 【解析】由对数换底公式得，合并对数得. 代入指数式化简得. 14.（2024-2025·天津红桥高二下期末）若，则                  . 【答案】 【解析】由得. 故. . 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·上海宝山高一上期中）(1)求出下列式子中的的取值范围：； (2)设、，利用反证法证明：若，则或. 【答案】解：(1)由的定义得 由得; 由得; 由得, 故的取值范围是或. (2)假设且,则,与矛盾, 故假设不成立,所以或. 16.（2024-2025·黑龙江双鸭山高二下期末）已知函数的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上. (1) 求实数a的值； (2)若函数有两个零点，求实数b的取值范围. 【答案】解：(1)指数函数恒过定点，由向右平移2个单位长度、向上平移1个单位长度得到，故恒过定点. 由点在的图象上，得，化简得，解得. (2)代入得， 函数有两个零点等价于方程有两个不等实根. 令，，方程有两个不等实根即两函数图象有两个不同交点，结合的图象性质可得，故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $