专题6.2.3 三角变换的应用 （2大知识点+8大题型+强化训练）讲义-2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义（沪教版)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.2.3 三角变换的应用 知识点一、半角公式 ；；； 【注意】 （1）重视得到结果的过程，从思考与之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考与之间的关系； （2）使用公式时要深刻体会与的含义，如与，与等都可看成倍半关系. （3）半角公式根号前符号的确定 知识点二、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式: ；； ； . 2.和差化积公式： ，． ，， 2.和差化积公式推导出的一些常见恒等式 （1）平方差公式： 即 （2） 证明：左边右边，所以原式得证. 题型01：利用半角公式求值 【名师点拨】在求半角的正切tan时，用tan＝± 来处理，要由α所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan＝或tan＝来处理，可以避免这些问题．尤其是tan＝，分母是单项式，容易计算．因此常用tan＝求半角的正切值； 【例1】已知且，则的值是（ ） A． B． C． D． 【例2】利用半角公式，求 ． 【跟踪训练】 1. 求的值． 2. 设是第二象限角，，且，则（ ） A． B． C． D． 3. 若，那么_____________. 4.已知cos α＝，α为第四象限的角，求：tan的值； 5.已知角为钝角,为锐角,且,,求与的值 题型02：利用半角公式化简 【名师点拨】利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式： 当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1)去根号； 当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin2α＝，cos2α＝)降低次数以减少运算量， 注意隐含条件中角的范围； 【例3】若，化简：______. 【跟踪训练】 1. 已知，化简_____________. 2. 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型03：利用半角公式证明 【名师点拨】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证；常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法；证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法； 【例4】求证：＝sin 2α； 【跟踪训练】 1.求证：sin2－1＝－. 题型04：积化和差与和差化积公式的探究 【例5】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6】 已知，则______． 【跟踪训练】 1．下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，则（    ） A． B． C． D．1 题型05：利用积化和差与和差化积公式化简 【例7】化为积的形式 【例】化简 【跟踪训练】 1、将cos 2x－sin2y化为积的形式，结果是(　　) A．－sin(x＋y)sin(x－y)　 B．cos(x＋y)cos(x－y) C．sin(x＋y)cos(x－y)　　 D．－cos(x＋y)sin(x－y) 2、把cos 3a＋cos 5a化为积的形式，其结果为____________． 3.若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝ 题型06：利用积化和差与和差化积公式求值 【例8】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 已知，，且为第一象限角，则______． 2. 题型07：利用积化和差与和差化积公式证明 【例9】求证 【跟踪训练】 1. 已知求证： 2.在△ABC中，求证：sin2A+sin2B+sin2C=2cosAcosBcosC+2 题型08：解决与三角形问题的交汇 【例10】已知函数，在锐角三角形中，，且，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 【跟踪训练】 1.若为等腰三角形，顶角为A，，则_________. 2.在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 3.在锐角三角形ABC中，已知，则的最大值为 . 4.在中，，则 . 一、选择题 1.已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 2.若，且，则（　　） A． B． C． D． 3.若，，则（    ）． A． B． C． D． 4．等于（    ） A． B． C． D． 5．（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 二、填空题 6.已知为锐角，，则_______ 7.设，，则等于_________ 8.已知是第三象限角，则_________ 9．若，，则____________． 10．已知，且是第一象限的角，则______． 11． ． 12．若，则 ． 13.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则tan=　　　;α-β=　　　　　.  14. 计算：=　　　.  15. 已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则等于__________ 3、 解答题 16. 已知，求下列条件下，，的值： (1)； (2)角在第一象限． 17.化简：． 18.已知，. （1）求的值； （2）若，，求的值. 19.已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－， （1）求sin(α＋β)的值；（2）求cos(α＋β)的值； 20．（1）求值：． （2）已知，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.2.3 三角变换的应用 知识点一、半角公式 ；；； 【注意】 （1）重视得到结果的过程，从思考与之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考与之间的关系； （2）使用公式时要深刻体会与的含义，如与，与等都可看成倍半关系. （3）半角公式根号前符号的确定 知识点二、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式: ；； ； . 2.和差化积公式： ，． ，， 2.和差化积公式推导出的一些常见恒等式 （1）平方差公式： 即 （2） 证明：左边右边，所以原式得证. 题型01：利用半角公式求值 【名师点拨】在求半角的正切tan时，用tan＝± 来处理，要由α所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan＝或tan＝来处理，可以避免这些问题．尤其是tan＝，分母是单项式，容易计算．因此常用tan＝求半角的正切值； 【例1】已知且，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 利用倍角公式，令，又由可得，可得答案 【详解】 由得，，又由可得，所以， 故选：A 【例2】利用半角公式，求 ． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、半角公式、二倍角的正弦公式 【分析】利用半角公式依次求出即可得解. 【详解】， ， 则． 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 求的值． 【答案】 【详解】 2. 设是第二象限角，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 先确定所在的象限，再根据同角的三角函数关系式，求出，再根据半角公式求出的值. 【详解】因为是第二象限角，且，所以为第三象限角， 所以.因为，所以，所以. 3. 若，那么_____________. 【答案】 【详解】若， ，，， 那么， 故答案为：． 4.已知cos α＝，α为第四象限的角，求：tan的值； 【答案】 ； 【解析】解法1、(用tan＝± 来处理)． 因为，α为第四象限的角，所以，是第二或第四象限的角，所以，tan<0. 则，根据公式tan＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝－ ＝. 解法2、(用tan＝来处理) 因为，α为第四象限的角，所以，sin α<0，所以，sin α＝－ ＝－ ＝－； 则，tan＝＝＝. 解法3、(用tan＝来处理) 因为，α为第四象限的角，所以，sin α<0，所以，sin α＝－ ＝－＝－； 则tan＝＝＝＝； 5.已知角为钝角,为锐角,且,,求与的值 【解析】因为角为钝角,为锐角,且,,所以,. 所以. 又因为,且,所以,即. 所以； 方法1、由,得，所以； 方法2、由，得. 所以 题型02：利用半角公式化简 【名师点拨】利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式： 当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1)去根号； 当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin2α＝，cos2α＝)降低次数以减少运算量， 注意隐含条件中角的范围； 【例3】若，化简：______. 【答案】 【分析】 根据，得到，所以，，然后利用半角公式求解. 【详解】 因为， 所以， 所以，， 所以. 所以. 故答案为： 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 【跟踪训练】 1. 已知，化简_____________. 【答案】 【分析】 根据，利用半角公式的正弦得到，再根据，确定的符号去绝对值即可. 【详解】 ， 因为， 所以， 所以 所以， 故答案为： 2. 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据半角公式得，再分子分母同除以得. 【详解】 解：根据半角公式得：， 所以， 对上述式子分子分母同除以得： . 故选：A. 题型03：利用半角公式证明 【名师点拨】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证；常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法；证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法； 【例4】求证：＝sin 2α； 【证明】左边＝＝＝＝sin αcos α＝sin 2α＝ 右边； 所以，等式成立； 【跟踪训练】 1.求证：sin2－1＝－. 【证明】由sin ＝± ，知sin ＝± ，所以，sin2＝， 则sin2－1＝－1＝－，原等式得证； 题型04：积化和差与和差化积公式的探究 【例5】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由和差化积公式可知： ， ， ， 因此选项C正确，故选：C 【例6】 已知，则______． 【详细解析】（方法一  积化和差） 由，得． （方法二  和差化积） ． （方法三）因为 ，所以． 【跟踪训练】 1．下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， ， 从而有，， 对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D．． 故选：D． 2.已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 题型05：利用积化和差与和差化积公式化简 【例7】化为积的形式 【例】化简 【跟踪训练】 1、将cos 2x－sin2y化为积的形式，结果是(　　) A．－sin(x＋y)sin(x－y)　 B．cos(x＋y)cos(x－y) C．sin(x＋y)cos(x－y)　　 D．－cos(x＋y)sin(x－y) 【答案】B； 【解析】cos2x－sin2y＝－＝(cos 2x＋cos2y)＝cos(x＋y)cos(x－y)； 2、把cos 3a＋cos 5a化为积的形式，其结果为____________． 【答案】2cos 4acos a； 【解析】cos 3a＋cos 5a＝2coscos＝2cos 4acos a． 3.若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝ 【答案】； 【解析】因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos＝，因为sin 2x＋sin 2y＝， 所以2sincos＝，所以2sin·＝，所以sin(x＋y)＝； 题型06：利用积化和差与和差化积公式求值 【例8】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 解析：由和差化积公式，得， ，两式相除，所以. 所以.故选：B． 【跟踪训练】 1. 已知，，且为第一象限角，则______． 【详细解析】令， 则 由得． 因为为第一象限角，则是第一或第三象限角，所以，故（＊）． 令，式可化为，解得（舍去）或， 则，即，故． 2. 解: 原式 = 题型07：利用积化和差与和差化积公式证明 【例9】求证 【跟踪训练】 1. 已知求证： 2.在△ABC中，求证：sin2A+sin2B+sin2C=2cosAcosBcosC+2 解  因为A+B+C=180°，所以C=180°-(A+B)。于是，sin2A+sin2B+sin2C 题型08：解决与三角形问题的交汇 【例10】已知函数，在锐角三角形中，，且，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】 因为函数，根据，有，解得或（舍去），再根据，求得 ，再利用半角公式求解. 【详解】 因为函数， 又因为在锐角三角形中，， 所以， 即， 所以或 ， 解得或（舍去）， 又因为， 所以 ， 即 ， 所以. 故选；C 【跟踪训练】 1.若为等腰三角形，顶角为A，，则_________. 【答案】 【分析】 由三角形为等腰三角形可知，根据诱导公式及半角公式可化简求值. 【详解】 因为为等腰三角形，顶角为A， 所以， ， 由半角公式得 又为钝角， 所以， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了诱导公式，半角公式，等腰三角形的性质，属于中档题. 2.在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 【答案】B； 【解析】由sin Asin B＝cos2，得cos(A－B)－cos(A＋B)＝，∴cos(A－B)＋cos C＝＋cos C， 即cos (A－B)＝1，∴A－B＝0，即A＝B；∴△ABC是等腰三角形； 3.在锐角三角形ABC中，已知，则的最大值为 . 【答案】## 【分析】由基本不等式得到，进而得到，再结合和差化积公式得到，解不等式即可求解. 【详解】因为，又， 可得，当且仅当时取等，所以， 即，当且仅当时取等， 所以，即，因为，所以， 即的最大值为. 故答案为： 4.在中，，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、半角公式、诱导公式二、三、四 【分析】先利用三角恒等变换化简得到，从而代入，求出答案. 【详解】 故答案为： 一、选择题 1.已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】半角公式 【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：正切值的符号. 【详解】方法一：∵，， ∴. 方法二：∵，， ∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即， ∴ 故选：C 2.若，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】半角公式 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可求得的值. 【详解】因为，则， 因为，则，所以，. 故选：D. 3.若，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、半角公式、特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据同角三角函数商数关系，半角公式化简得到，结合角的范围，求出，从而求出正切值. 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以，即， 所以， 又因为，所以，． 故选：B． 4．等于（    ） A． B． C． D． 【解析】原式 ． 故选：B. 5．（　　） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【详解】， ， 故选：D. 二、填空题 6.已知为锐角，，则_______ 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 7.设，，则等于_________ 【分析】借助，得出与所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得. 【详解】，，， 故，又， . 8.已知是第三象限角，则_________ 【分析】 根据是第三象限角， 得到，进而得到的范围，确定，，然后利用半角公式，由求解. 【详解】 因为是第三象限角， 所以， 所以， 所以， 所以， 而， 所以， 所以. 9．若，，则____________． 【答案】## 【分析】 先利用同角三角函数的关系求出，再利用半角公式求出，，从而可求出，进而可求得答案 【详解】 因为，， 所以， 因为 所以， 所以，， 所以， 所以， 故答案为： 10．已知，且是第一象限的角，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】 根据同角三角函数关系，建立方程求出sinα，cosα的值，结合正切函数的公式进行求解即可． 【详解】 解：∵α是第一象限角，， ∴ 平方得， 得，即， 则或， 当时，，则． 当时，，则， 即或． 故答案为：或． 11． ． 【解析】原式. 故答案为：. 12．若，则 ． 【解析】因为 ，所以， 故答案为：. 13.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则tan=　　　;α-β=　　　　　.  【解析由已知得2sincos·-2sinsin,因为0<<π,-,所以sin>0.所以tan.所以. 所以α-β=. 答案 14. 计算：=　　　.  【解析】原式 = =. 答案 15. 已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则等于__________ 【解析sin(α+β)=sin(β-α)==m. 3、 解答题 16. 已知，求下列条件下，，的值： (1)； (2)角在第一象限． 【答案】(1)，，. (2)答案见详解. 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式、半角公式，根据三角函数的符号法则运算即可得解. （2）利用同角三角函数基本关系式、半角公式，根据三角函数的符号法则运算即可得解. 【详解】（1）解：当时，． 因为，所以， ∴， ， ． （2）解：当角在第一象限时，， 则． 且由，可得. 当为偶数时，角在第一象限，故由（1）可得 ，，． 当为奇数时，角在第三象限， 此时有， ． 17.化简：． 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由于侧重角度不同，出发点不同，所以本题化简的方法不止一种． 法一：利用半角公式把化为，化为； 法二：函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （3）次数为2（有降次的可能）； （4）有平方项（可以进行配方）． 【详解】法一（“角”入手，“倍角”变“单角”）: 原式 ． 法二（从“名”入手，“异名”化“同名”）： 原式 ． 法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）： 原式 ． 18.已知，. （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）由平方关系得出的值，利用半角公式求解即可； （2）由，的范围得出的范围，利用平方关系得出的值，再利用两角差的正弦公式化简求值即可. 【详解】 （1）因为，， 所以. 从而. （2）因为，， 所以 所以. 所以 ，∴. 【点睛】 本题主要考查了利用平方关系，半角公式以及两角差的正弦公式化简求值，属于中档题. 19.已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－， （1）求sin(α＋β)的值；（2）求cos(α＋β)的值； 【解析】（1）∵cos α－cos β＝，∴－2sinsin＝ ① 又∵sin α－sin β＝－，∴2cossin＝－. ② ∵sin≠0，∴由①②，得－tan＝－，即tan＝. ∴sin(α＋β)＝＝＝＝. （2）因为cos α－cos β＝，所以－2sin sin ＝. ① 又因为sin α－sin β＝－，所以2cos sin ＝－. ② 因为sin ≠0，所以由①②，得－tan ＝－，即tan ＝. 所以cos (α＋β)＝＝＝＝－； 20．（1）求值：． （2）已知，求的值． 【解析】（1） ． （2）∵，∴．① 又，∴．② ∵，∴由①②，得， 即． ∴． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $