第10讲 指数函数（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第10讲 指数函数（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：指数函数的概念 知识点02：指数函数的图象和性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：指数函数的判定与求值 题型02：根据函数是指数函数求参数 题型03：求指数函数解析式 题型04：根据指数型函数图象判断参数的范围 题型05：指数型函数图象过定点问题 题型06：求指数(型)函数与指数型复合函数的定义域 题型07：判断指数函数的单调性 题型08：比较指数幂的大小 题型09：由指数函数的单调性解不等式 题型10：指数函数模型的应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 注意点：(1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 【例1】判断下列函数是否为指数函数，并说明理由。 ① ② ③ ④ 解：① 是指数函数：符合 标准形式，底数 ，系数为1，指数为自变量； ② 不是指数函数：解析式系数为2，不为1，属于指数型函数，非标准指数函数； ③ 不是指数函数：底数 ，不满足底数取值要求； ④ 不是指数函数：自变量在底数位置，指数为常数，属于幂函数。 【知识点02】指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 【例2】已知指数函数 （），满足 。 （1）判断函数单调性；（2）比较 与 的大小。 解：（1）判断单调性： 由 ，即 ，结合指数函数性质可得： 函数自变量越大，函数值越大，因此 。 故 在 上单调递增。 （2）比较函数值大小： 由函数单调递增性质：自变量越大，函数值越大。 因为 ，所以 。 答（1）函数在 上单调递增；（2）。 【题型01】指数函数的判定与求值 【典例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式； 对B，符合定义； 对C,系数为,不满足定义； 对D，指数为,不满足定义. 故选：B. 【变式1-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入计算可得出的值. 【详解】因为，则. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数：①；②；③；④．其中，指数函数有________个； 【答案】1 【分析】根据指数函数的定义进行判断. 【详解】①中，的系数是2，故①不是指数函数；②中，的指数是，故②不是指数函数； ③中，是指数函数；④中，是幂函数． 所以只有③是指数函数． 故答案为：1 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数中，______是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 【答案】① 【分析】根据指数函数的定义，一一判断各函数，即得答案. 【详解】因为形如且的函数为指数函数，其中a为常数； 故①为指数函数；②不是指数函数； ③不是指数函数；④的底数不是常数，故不是指数函数； ⑤（是常数）为幂函数，不是指数函数； ⑥，由于取负值或0，1时，函数即不是指数函数，故不能确定为指数函数. 故答案为：①. 【题型02】根据函数是指数函数求参数 【典例2-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数是指数函数，则________ 【答案】3 【分析】根据指数函数的定义得到方程和不等式，求出答案. 【详解】由指数函数定义知，解得． 故答案为：3 【变式2-1】已知函数是指数函数，则实数的值是___________. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得. 【详解】由函数是指数函数，得，解得， 所以实数的值是2. 故答案为：2 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则________． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得. 故答案为： 【变式2-3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 【题型03】求指数函数解析式 【典例3-1】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为______. 【答案】 【分析】设出解析式为，且，将代入，求出，求出解析式. 【详解】设指数函数解析式为，且，将代入得 ，解得，负值舍去，故指数函数解析式为. 故答案为： 【变式3-2】若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 【答案】 【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解. 【详解】设指数函数的解析式为，(且)， 因指数函数fx的图像经过点， 则，即，则其解析式为. 故答案为：. 【变式3-3】若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 【答案】， 【分析】设，由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】解：设指数函数，则，解得， 所以，， 故. 【题型04】根据指数型函数图象判断参数的范围 【典例4-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象判断求解． 【详解】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C． 又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 【变式4-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到 结合图象可知：， 故答案为： 【变式4-3】若函数的图象不经过第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】利用指数型函数的性质即可得解. 【详解】因为函数单调递增，又过点， 若的图象不经过第二象限，则，即， 即实数的取值范围为. 【题型05】指数型函数图象过定点问题 【典例5-1】函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知函数恒过定点， 将向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到函数， 因此该函数图象一定过定点. 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______. 【答案】 【分析】令，得到定点的横坐标，代入求出纵坐标即可. 【详解】令，得到；当时，， 所以函数的图像恒经过定点. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数且的图象恒过定点，则的坐标是__________ 【答案】 【分析】令，求出的值，再代入函数的解析式，可得出定点的坐标. 【详解】对于函数且，由可得， 又因为，故函数的图象恒过定点. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）函数的图象恒过定点_____. 【答案】 【分析】由，将代入函数表达式，计算即可求解. 【详解】对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 【题型06】求指数(型)函数与指数型复合函数的定义域 【典例6-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域列不等式组求解. 【详解】由题意，，得，所以. 故选：A 【变式6-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意只需解不等式即可得答案. 【详解】解：要使函数有意义，则，即，所以 所以函数的定义域为 故选：D 【变式6-2】函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围. 【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【题型07】判断指数函数的单调性 【典例7-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数的单调增区间是______. 【答案】 【分析】根据函数的单调性确定正确答案. 【详解】在上递增，在上递增， 所以函数的单调增区间是. 故答案为： 【变式7-1】函数的单调递增区间为________ 【答案】 【解析】对函数进行去绝对值分段讨论单调性. 【详解】函数， 根据指数函数单调性可得，函数在单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 【点睛】此题考查求函数的单调区间，关键在于根据函数解析式分段讨论，结合基本初等函数的单调性进行判断. 【变式7-2】函数的严格增区间为_______. 【答案】 【分析】将复合函数分成与两层函数，利用内外层函数单调性同增异减的原则求解. 【详解】令，则函数为，为减函数，所以要求函数的严格增区间，只需求的减区间， 又， 所以的减区间为， 所以函数的严格增区间为， 故答案为： 【变式7-3】指出下列函数的单调性： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)增函数 (2)减函数 (3)减函数 (4)减函数 【分析】根据指数函数的单调性与底数的关系直接判断即可. 【详解】（1）在指数函数中，底数，故函数在上为增函数. （2）在指数函数中，，故函数在上为减函数. （3）在指数函数中，，故函数在上为减函数. （4）在指数函数中，底数，故函数在上为增函数. 所以在上为减函数. 【题型08】比较指数幂的大小 【典例8-1】设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性求解. 【详解】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小：________（）． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质比较即可 【详解】因为在上递增，且， 所以. 故答案为： 【变式8-2】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是________． 【答案】 【分析】利用中间量，再结合指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 【变式8-3】比较，，的大小. 【答案】 【分析】根据指数函数，先比较与的大小，再通过中间量来比较大小即可. 【详解】由题知，， 由指数函数性质，在上是减函数， 又，所以， 又在上为增函数，， 所以. 【题型09】由指数函数的单调性解不等式 【典例9-1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式变形为，根据指数函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由题意，可将转化为，即， 又指数函数是增函数，所以，即，解得． 故原不等式的解集为. 故选：D． 【变式9-1】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可． 【详解】在上单调递减，， ，解得， 所以不等式的解集是． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式 解集相同，则______. 【答案】 【分析】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可. 【详解】， 在上单调递增, ，即， ， . 故答案为： 【变式9-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式：（且）. 【答案】答案见解析 【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性，转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】若，则不等式，即， 即，解得， 所以不等式的解集为； 若，则不等式，即， 即，解得或， 所以不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 【题型10】指数函数模型的应用 【典例10-1】氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，解得．． 【变式10-1】某种茶水用100℃的水泡制，再等到60℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y（单位：C）与经过时间t（单位：min）的函数关系是：，其中a为衰减比例，是室温，时．y为茶水初始温度，若室温为20℃，，茶水初始温度为100℃，则__________℃，产生最佳口感所需时间是__________min． 【答案】 【分析】由时，茶水室温为20℃，茶水初始温度为100℃，代入解析式可得，由时及a的值代入解析式可得产生最佳口感所需时间． 【详解】由题意，，当时，有，， 则，当时，即，所以， ，可得，． 故答案为：；． 【变式10-2】（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【答案】23 【分析】由初始条件求得参数值，再代入计算可得． 【详解】由题意，所以，即， 所以时，， 故答案为：23. 【变式10-3】经普查，某种珍稀动物今年存量为1100只，而5年前存量为1000只． (1)在这5年中，若该动物的年平均增长率为a%，求a的值（结果保留一位小数）； (2)如果保持上述的年平均增长率不变，那么还需要经过几年才能使该动物的存量达到1300只？（精确到1年） 【答案】(1) (2)9年 【分析】（1）根据题意可知，，即可解出； （2）设今年起还要经过x年才能使该动物的存量达到1300只，即有， 通过计算器即可估算出． 【详解】（1）由题意得，则．解得，即 （2）设今年起还要经过x年才能使该动物的存量达到1300只．由题意得，利用计算器估算最近若干年里该动物每年的存量： 1年后 2年后 3年后 4年后 5年后 6年后 7年后 8年后 9年后 …… 1120.9 1142.2 1163.9 1186.0 1208.5 1231.5 1254.9 1278.8 1303.0 …… 根据估算结果，还要经过9年才能使该动物的存量达到1300只． 知识点01 指数函数的概念 1. 严格定义（必考） 一般地，函数形如 （且），叫做指数函数，定义域为 。 标准公式： 2. 三大判定标准（缺一不可） ① 底数：常数，满足； ② 形式：自变量 在指数位置； ③ 结构：式子系数为1，无常数项、无其他修饰项。 3. 非指数函数常见误区 、、、 均不是标准指数函数。 知识点02 指数函数的图象和性质 1. 基础通用性质 对任意指数函数 ： 定义域： 值域： 定点：恒过 ，推导： 符号：任意 ，恒有 渐近线：图象无限趋近直线 （x轴） 2. 分类单调性核心性质 ① 当 时，函数在 上单调递增 性质公式： ② 当 时，函数在 上单调递减 性质公式： 知识点03指数函数性质对比总结（必背表格） 对比项目 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 图象特征 左低右高，递增上升 左高右低，递减趋近x轴 恒过定点 值域 函数值符号 恒正 恒正 知识点04本节高频易错点总结 1. 指数函数定义严格，只有 纯形式为标准指数函数，带系数、常数项均不属于； 2. 底数必须满足，负数底数无研究价值，不是指数函数； 3. 单调性最易混淆： 递增、 递减，比大小先判底数； 4. 指数函数永远大于0，不存在负数和零，值域恒为 。 一、填空题 1．不等式的解集为______．（用区间表示） 【答案】 【分析】先利用指数函数的性质对不等式进行化简，再解不等式求出解集． 【详解】，函数在上单调递增， ，解得，不等式解集为． 故答案为：． 2．函数的定义域为________． 【答案】 【分析】利用分母不为0即可求解. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 3．函数的单调递增区间是________． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 4．函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】由分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负进行求解即可. 【详解】根据已知有： 所以的定义域为：. 故答案为： 5．已知，则两个数的大小关系是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即得. 【详解】函数在R上单调递减，而，因此， 所以两个数的大小关系是. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海·期中）若实数且，函数的图像恒过定点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】利用指数函数图象特征求出定点的坐标. 【详解】实数且，函数，当时，恒有， 所以函数的图像恒过定点. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·单元测试）如果且，那么函数的图像在第________象限． 【答案】一、三、四 【分析】根据指数函数图像性质及函数的平移可得解. 【详解】如图所示， 由，可知经过一、二象限，且恒过点，函数值域为 当时，，当时，， 函数使由向下平移个单位，且， 所以图象过，而在y轴负半轴上，如图 即存在，使，且函数的值域为， 所以函数过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四. 8．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义及图象经过点求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意只需将函数的图象向下（）平移个单位即可，从而可得出答案. 【详解】函数的图象是由函数的图象向上（）或向下（）平移个单位得到的， 因为函数的图象不经过第二象限， 所以只需将函数的图象向下平移大于或等于个单位即可， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是________；是指数函数的是________. 【答案】 幂函数② 指数函数①⑤ 【分析】根据幂函数、指数函数的定义判断可得答案. 【详解】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数； 由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数. 故答案为：②；①⑤. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是________； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为________． 【答案】 4 【分析】对于（1），运用指数函数限制条件列不等式求解； 对于（2），待定系数法求出解析式后将代入求解. 【详解】（1）已知指数函数，则，且， 解得或，且， 实数的取值范围是. （2）代入指数函数，得，解得（负值舍去）， 所以解析式，当时，. 故答案为：；4． 12．某实验室产生的废水经过滤后排放，过滤过程中废水中的有害物质含量C（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）的函数关系式为（，k为正的常数）.已知在过滤的前4h消除了20%的有害物质，前12h消除了m%的有害物质，则______. 【答案】48.8 【分析】根据所给函数模型，将值代入后，计算即可得解. 【详解】依题意，将，代入，得． 将，代入，得， 所以前12h消除了的污染物，则． 故答案为：48.8. 二、单选题 13．（24-25高一上·上海·期中）设，“”是“”的一个（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可得结论. 【详解】当时，在上单调递增，又，所以，即， 所以“”是“”的一个充分条件， 当时，均满足， 所以“”是“”的一个不必要条件， 所以，“”是“”的一个充分非必要条件. 故选：A. 14．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知得出，进一步结合指数函数性质即可逐一判断各个选项. 【详解】∵，∴，， 若设指数函数，（且），则易知：， 所以当时，；当时，； 故只有才可能是该指数函数经过的点． 故选：C． 15．（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的值域判断即可. 【详解】因为，所以， 又为增函数，所以，即， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 16．根据“幂的基本不等式：当时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为（    ） A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性判断即可. 【详解】对于①，当时，函数在上单调递增， 若，则，故①错误； ②当时，函数在上单调递减， 若，则，故②正确. 故选：B. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解； （2）利用指数函数性质结合分式的定义求解； 【详解】（1）由题意，，，所以定义域为； （2）由题意，即，所以定义域为； （3）由题意，即，，，所以定义域为． 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的图像经过点，其中且，求a的值； 【答案】 【分析】将点代入函数解析式即可求出. 【详解】由题意得，所以. 19．已知常数且．假设无论a取何值，函数的图像恒经过一个定点，求此定点的坐标． 【答案】 【分析】令指数为0即可得到答案. 【详解】令，解得，此时， 则其所过定点为. 20．（25-26高一上·上海·期中）设，若，求实数x的取值范围. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为指数函数在上单调递增， 又，所以， 整理得，解得或， 可得实数的范围为. 21．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知不等式的解集为． (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过换元将指数不等式转化为一元二次不等式求解； （2）利用基本不等式求出不等式左侧表达式的最小值，再根据不等式恒成立条件得到的取值范围. 【详解】（1）令，当时原不等式可转化为， ，，解得或. ，所以或，解得或. 即. （2）由题意知，即不等式恒成立. ，，当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 指数函数（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：指数函数的概念 知识点02：指数函数的图象和性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：指数函数的判定与求值 题型02：根据函数是指数函数求参数 题型03：求指数函数解析式 题型04：根据指数型函数图象判断参数的范围 题型05：指数型函数图象过定点问题 题型06：求指数(型)函数与指数型复合函数的定义域 题型07：判断指数函数的单调性 题型08：比较指数幂的大小 题型09：由指数函数的单调性解不等式 题型10：指数函数模型的应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 注意点：(1)函数的特征：底数a>0，且a≠1. (2)指数幂的系数为1. 【例1】判断下列函数是否为指数函数，并说明理由。 ① ② ③ ④ 【知识点02】指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 【例2】已知指数函数 （），满足 。 （1）判断函数单调性；（2）比较 与 的大小。 【题型01】指数函数的判定与求值 【典例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数：①；②；③；④．其中，指数函数有________个； 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数中，______是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 【题型02】根据函数是指数函数求参数 【典例2-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数是指数函数，则________ 【变式2-1】已知函数是指数函数，则实数的值是___________. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则________． 【变式2-3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【题型03】求指数函数解析式 【典例3-1】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为______. 【变式3-2】若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 【变式3-3】若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 【题型04】根据指数型函数图象判断参数的范围 【典例4-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【变式4-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 【变式4-3】若函数的图象不经过第二象限，求实数m的取值范围. 【题型05】指数型函数图象过定点问题 【典例5-1】函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·上海·期中）已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数且的图象恒过定点，则的坐标是__________ 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）函数的图象恒过定点_____. 【题型06】求指数(型)函数与指数型复合函数的定义域 【典例6-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数的定义域为_________. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【题型07】判断指数函数的单调性 【典例7-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数的单调增区间是______. 【变式7-1】函数的单调递增区间为________ 【变式7-2】函数的严格增区间为_______. 【变式7-3】指出下列函数的单调性： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型08】比较指数幂的大小 【典例8-1】设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小：________（）． 【变式8-2】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是________． 【变式8-3】比较，，的大小. 【题型09】由指数函数的单调性解不等式 【典例9-1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集是_____． 【变式9-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式与不等式 解集相同，则______. 【变式9-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式：（且）. 【题型10】指数函数模型的应用 【典例10-1】氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】某种茶水用100℃的水泡制，再等到60℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y（单位：C）与经过时间t（单位：min）的函数关系是：，其中a为衰减比例，是室温，时．y为茶水初始温度，若室温为20℃，，茶水初始温度为100℃，则__________℃，产生最佳口感所需时间是__________min． 【变式10-2】（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【变式10-3】经普查，某种珍稀动物今年存量为1100只，而5年前存量为1000只． (1)在这5年中，若该动物的年平均增长率为a%，求a的值（结果保留一位小数）； (2)如果保持上述的年平均增长率不变，那么还需要经过几年才能使该动物的存量达到1300只？（精确到1年） 知识点01 指数函数的概念 1. 严格定义（必考） 一般地，函数形如 （且），叫做指数函数，定义域为 。 标准公式： 2. 三大判定标准（缺一不可） ① 底数：常数，满足； ② 形式：自变量 在指数位置； ③ 结构：式子系数为1，无常数项、无其他修饰项。 3. 非指数函数常见误区 、、、 均不是标准指数函数。 知识点02 指数函数的图象和性质 1. 基础通用性质 对任意指数函数 ： 定义域： 值域： 定点：恒过 ，推导： 符号：任意 ，恒有 渐近线：图象无限趋近直线 （x轴） 2. 分类单调性核心性质 ① 当 时，函数在 上单调递增 性质公式： ② 当 时，函数在 上单调递减 性质公式： 知识点03指数函数性质对比总结（必背表格） 对比项目 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 图象特征 左低右高，递增上升 左高右低，递减趋近x轴 恒过定点 值域 函数值符号 恒正 恒正 知识点04本节高频易错点总结 1. 指数函数定义严格，只有 纯形式为标准指数函数，带系数、常数项均不属于； 2. 底数必须满足，负数底数无研究价值，不是指数函数； 3. 单调性最易混淆： 递增、 递减，比大小先判底数； 4. 指数函数永远大于0，不存在负数和零，值域恒为 。 一、填空题 1．不等式的解集为______．（用区间表示） 2．函数的定义域为________． 3．函数的单调递增区间是________． 4．函数的定义域是__________. 5．已知，则两个数的大小关系是__________. 6．（25-26高一上·上海·期中）若实数且，函数的图像恒过定点，则点的坐标为______． 7．（24-25高一上·上海·单元测试）如果且，那么函数的图像在第________象限． 8．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是______． 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是________；是指数函数的是________. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是________； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为________． 12．某实验室产生的废水经过滤后排放，过滤过程中废水中的有害物质含量C（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）的函数关系式为（，k为正的常数）.已知在过滤的前4h消除了20%的有害物质，前12h消除了m%的有害物质，则______. 二、单选题 13．（24-25高一上·上海·期中）设，“”是“”的一个（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要 14．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．  B．   C．   D．   16．根据“幂的基本不等式：当时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为（    ） A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的图像经过点，其中且，求a的值； 19．已知常数且．假设无论a取何值，函数的图像恒经过一个定点，求此定点的坐标． 20．（25-26高一上·上海·期中）设，若，求实数x的取值范围. 21．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知不等式的解集为． (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $