专题3.2 对数（3大知识点+10大题型+真题检验）-2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义（沪教版必修第一册）

2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题3.2 对数 知识点01 对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． （4）对数恒等式： 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点02 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点03 对数换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） （2）， （3）． 知识点一、对数的概念 题型01：对数的定义 【名师点拨】对数式中各字母的取值范围是：且，，． 【例1】若对数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 【跟踪训练】 1.有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C. 2. 若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求. 【解答过程】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D. 3. 使式子有意义的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使式子有意义，则，即，解得或， 所以x的取值范围是.故选：D 题型02：指数式与对数式相互转化 【名师点拨】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 【例2】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(1)；(2)； 【答案】(1)(2) (3) (4) 【详解】（1）； （2）； (3)由对数定义得； (4)由对数定义得； 【例3】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)．(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）. (3)由对数定义得； (4)由对数定义得． 【例4】将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】直接利用指数和对数的关系实现指对互化. 【解答过程】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 【跟踪训练】 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式互化公式直接得到答案. 【解析】由，可得，C不正确， 故选：C. 2．已知，，则（ ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 3．若，则________________. 【答案】/ 【分析】根据指对数的运算，即可求解. 【详解】由可得，故， 故， 故答案为: 4．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 题型03：利用对数恒等式化简求值 【名师点拨】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【例5】 . 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化、对数的运算性质计算直接得出结果. 【详解】原式. 故答案为： 【例6】若，则 . 【答案】32 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【解析】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：32. 【跟踪训练】 1．已知，那么=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数的定义，先求出，进而求出x. 【详解】因为，所以，则x=2. 故选：B. 2．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 知识点二、对数的运算规则 题型04：对数的运算性质 【例7】设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【解答过程】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 【跟踪训练】 1. 设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【解析】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 2. 若，，试用a，b表示 . 【答案】 【分析】根据题意，由对数的运算代入计算化简，即可得到结果. 【详解】， 因为，所以，所以. 故答案为：. 3. 设实数，若，则 . 【答案】 【分析】先根据对数的运算法则，将进行变形，再结合已知条件来求解. 【详解】根据对数运算法则，对于，所以. 已知，将其代入中，可得. 故答案为：14. 题型05：对数运算 【名师点拨】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 【例8】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)18 【详解】（1）原式； （2）原式. 【例9】求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)2；(2)；(3) 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）分子 ； 分母 ，故原式. 【跟踪训练】 1. 计算：（1）2log32－log3＋log38－； （2）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． 【答案】（1）－1；（2）13. 【解析】（1）原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. （2）原式 . 2.计算下列各式的值： (1)lg； (2)log345－log35； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (4). 【答案】(1)；(2)2；(3)1；(4). 【解析】(1)解：原式＝. (2)解：原式＝log3＝log39＝log332＝2. (3)解：原式=(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 5－lg 2＋2lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. (4)解：原式＝＝＝. 知识点三、换底公式 题型06：运用换底公式化简计算 【名师点拨】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 【例10】已知，，则 【答案】 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 【例11】已知（），则 . 【答案】16 【详解】因为，且， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去）， 即，所以. 故答案为：16. 【例12】已知，则下列能化简为的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：B. 【跟踪训练】 1.计算的结果为（  ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换底公式结合对数的定义运算求解. 【解析】由题意可得： . 故选：B. 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：A. 3.已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以 故选：B. 4.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【解答过程】由题意，. 故选：B． 题型07：对数方程求解 【名师点拨】直接利用定义法或者换元法 【例13】若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【解题思路】由韦达定理可得：，再由对数的运算即可求得. 【解答过程】由韦达定理可得：， 所以，所以. 故选：C. 【例14】解关于的方程： 【答案】 【详解】由得， 所以， 由于，所以，故， 故方程的解为 【跟踪训练】 1.解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)或 【分析】（1）两边取对数，结合对数运算法则计算出答案； （2）先得到，进而求出，求出答案； （3）先根据真数大于0，得到，由对数运算法则得到，得到答案； （4）由题意知且，令，得到方程，解得或，故或． 【解析】（1）由，两边取常用对数得，则， 解得． （2）由，得，得，故方程的根是． （3）由真数大于0，得解得， 由原方程得， 所以， 所以，即， 整理得，解得或（舍去），故方程的根是． （4）由题意知且，令，易知，则， 整理得，解得或，所以或， 故或． 题型08：证明常见的对数恒等式 【例15】证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解题思路】利用换底公式及对数的性质即可证明 【解答过程】证明：（1）. 故. （2），. 【例16】已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【解答过程】设，显然， 则，可得， 所以. 【跟踪训练】 1.若均为正数，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，根据指对数互化，求得的值，根据对数运算得出 与之间的关系式. 【解析】由题可知，均为正数，设， 则，，， 则，，， 所以， 即：. 故选：D． 2.已知正实数满足，则下列说法中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【解析】已知正实数，则设，所以，，， 对于A，因为 ， 又，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确， 故选：B． 3.已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【详解】设()， 则，，， 故. 4.已知，求证：． 【答案】证明见详解 【详解】设，可知且， 则， 可得， 所以， 即. 知识点四、对数的应用 题型09：有附加条件对数求值问题 【例17】求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解. （2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【解答过程】（1）由，，得， 所以. （2）由，得， 所以. 【跟踪训练】 1.（1）若，求的值； （2）已知，，试用，表示. 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）根据对数运算性质及对数式化指数式得，代入可得结果； （2）根据对数的运算性质即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以，则， 所以. （2）因为，， 所以 . 2.已知，，则 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 3.若实数，且，则 . 【答案】1 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式及对数式与指数式的转化即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以， 故答案为：1 题型10：对数的实际应用 【名师点拨】在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【例18】2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，进而求出和时地震的最大振幅，进而求解即可. 【解答过程】由，则，即， 当时，地震最大振幅为， 当时，地震最大振幅为， 则. 故选：C. 【跟踪训练】 1.在天文学中，恒星的视星等 是衡量其亮度的重要指标.根据标准定义，视星等 与到达地球的光通量满足关系：，其中 为常数.现观测一个双星系统，两颗相邻且无法分辨的恒星单颗视星等均为 5.0.若它们的总光通量为单颗光通量之和，则它们的视星等约为（   ）.（已知：） A．4.25 B．5.00 C．2.50 D．3.75 【答案】A 【分析】视星等 与到达地球的光通量满足关系：.总光通量为各恒星光通量之和，运用对数运算性质进行化简求值. 【详解】设单颗光通量为，单颗视星等 ， 则由题意可得：① 总光通量为单颗光通量之和，总视星等满足： 即② 由①解得：代入②得： 故选：A. 2.核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（    ） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1% 【答案】C 【分析】由题意得，化简后可求出的值. 【详解】由题意得，即， 整理得，所以， 所以， 故选：C． 一、填空题 1．（24-25高一上浦东新区期中）若2x＝3，则实数x的值为 　　． 【分析】根据指数式与对数式之间转化的方法可解决此题． 【解答】解：∵2x＝3，∴x＝log23． 故答案为：log23． 【点评】本题考查指数式与对数式之间转化，考查数学运算能力，属于基础题． 2．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 【答案】2 【知识点】简单的对数方程、指数式与对数式的互化 【分析】由对数和指数的互化求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数式的互化得解. 【详解】因为， 所以，解得或（由底数为正数，舍去）， 故答案为： 5．（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算公式计算即可. 【详解】原式. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】1 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式计算即得. 【详解】. 故答案为：1 7．（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】根据对数运算和基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 8．（2024-25高一上普陀期中）求值： 【答案】6 【分析】直接利用对数的运算法则化简即可. 【详解】因为， 故答案为：6. 9．（2024-25高一上嘉定期中）＝ . 【答案】1 【分析】根据对数的换底公式： 即可求解. 【详解】由对数的换底公式可得： 故答案为：1. 10.（24-25高一上徐汇期中）已知，则= ． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 11．（2023秋•徐汇区校级期中）若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为 　　． 【分析】先把指数式化为对数式，求出a，b的值，代入＝2，再利用对数的运算性质求解． 【解答】解：∵2a＝72b＝m， ∴a＝log2m，2b＝log7m， ∴b＝＝＝log49m， ∴+＝2， ∴logm2+logm49＝2， ∴logm98＝2， ∴m2＝98， ∴m＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 12．（2023秋•浦东新区期末）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据条件可求出log182＝1﹣a，b＝log185，从而得出． 【解答】解：∵log189＝1﹣log182＝a， ∴log182＝1﹣a，且b＝log185， ∴＝． 故选：D． 【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于中档题． 13．（2024秋•普陀区校级期末）已知实数x、y满足lgx+lgy＝lg（x+y），则x+2y的最小值为 　　． 【分析】利用对数的运算法则得到+＝1，再利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：∵实数x、y满足lgx+lgy＝lg（x+y）， ∴xy＝x+y，且x＞0，y＞0， ∴+＝1， ∴x+2y＝（x+2y）（+）＝++3≥2+3， 当且仅当＝，即x＝+1，y＝1+时取等号， 则x+2y的最小值为2+3， 故答案为：2+3． 【点评】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，属于中档题． 14．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，则 .（用表示） 【答案】/ 【分析】根据指对互化可得，再结合对数运算求解. 【解析】因为，则， 所以. 故答案为：. 15．（20-21高一上·上海普陀·期末）已知，，则= . 【答案】2 【分析】根据已知求出的值即得解. 【解析】解：因为， 因为，所以. 所以. 故答案为：2 16.（24-25高一上松江期中）已知，则 ． 【答案】5 【分析】先取对表达出m和n，结合对数运算法则即可求解. 【详解】因为，则， 因为，则， 所以. 故答案为：5. 二、选择题 17.（24-25高一上闵行期中）已知，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数运算的性质可得，即可求得答案. 【详解】由已知得，整理得，得或． ，即， 则, 故选：B 18.（24-25高一上黄浦期中）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 19．（24-25高一上青浦期中）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D. 20．（24-25高一上杨浦期中）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，代入数据即可求解. 【详解】当， 则 . 故选：B 3、 解答题 21．（24上海高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】(1)由对数定义得； (2)由对数定义得； (3)由对数定义得； (4)由对数定义得． 22．（2024上海高一课时练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）两边取对数，结合对数运算法则计算出答案； （2）先得到，进而求出，求出答案； （3）先根据真数大于0，得到，由对数运算法则得到，得到答案； （4）由题意知且，令，得到方程，解得或，故或． 【详解】（1）由，两边取常用对数得，则， 解得． （2）由，得，得，故方程的根是． （3）由真数大于0，得解得， 由原方程得， 所以， 所以，即， 整理得，解得或（舍去），故方程的根是． （4）由题意知且，令，易知，则， 整理得，解得或，所以或， 故或． 23．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式： （1）lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； （2）(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； （3）计算(log32＋log92)·(log43＋log83)； （4）2log32－log3＋log38－3log55； 【答案】（1）；（2）2；（3）；（4）－1. 【解析】（1）原式＝ （2）原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5 ＝(1＋1)lg2＋2lg5 ＝2(lg2＋lg5) ＝2. （3）(log32＋log92)·(log43＋log83) ＝· ＝· ＝· ＝. （4）2log32－log3＋log38－3log55 ＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3 ＝log3(22×32×2－5×23)－3 ＝log332－3 ＝2－3 ＝－1. 24．（24-25高一上·上海·期中）已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 【答案】(1)108 (2) 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】（1）利用幂的运算性质计算即得； （2）利用对数换底公式和对数的运算性质化简计算即得. 【详解】（1）； （2）由，，可得 则. 25．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果； （2）由指数式和对数式的互化得出，，再利用换底公式结合对数的运算性质计算可得结果. 【详解】（1）； （2）因为，则，，则，， 所以，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题3.2 对数 知识点01 对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． （4）对数恒等式： 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点02 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点03 对数换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） （2）， （3）． 知识点一、对数的概念 题型01：对数的定义 【名师点拨】对数式中各字母的取值范围是：且，，． 【例1】若对数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3. 使式子有意义的x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型02：指数式与对数式相互转化 【名师点拨】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 【例2】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)；(1)；(2)； 【例3】将下列指数式与对数式互化． (1)；(2)．(3)；(4)． 【例4】将下列指数式化为对数式： (1)；(2)；(3)． 【跟踪训练】 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知，，则（ ） A．25 B．5 C． D． 3．若，则________________. 4．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4). 题型03：利用对数恒等式化简求值 【名师点拨】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【例5】 . 【例6】若，则 . 【跟踪训练】 1．已知，那么=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 知识点二、对数的运算规则 题型04：对数的运算性质 【例7】设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中不正确的是（  ） A． B． C． D． 2. 若，，试用a，b表示 . 3. 设实数，若，则 . 题型05：对数运算 【名师点拨】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 【例8】计算： (1) (2) 【例9】求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【跟踪训练】 1. 计算：（1）2log32－log3＋log38－； （2）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． 2.计算下列各式的值： (1)lg； (2)log345－log35； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (4). 知识点三、换底公式 题型06：运用换底公式化简计算 【名师点拨】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 【例10】已知，，则 【例11】已知（），则 . 【例12】已知，则下列能化简为的是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.计算的结果为（  ） A．4 B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3.已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 4.已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型07：对数方程求解 【名师点拨】直接利用定义法或者换元法 【例13】若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【例14】解关于的方程： 【跟踪训练】 1.解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08：证明常见的对数恒等式 【例15】证明： （1）； （2）. 【例16】已知：，求证：． 【跟踪训练】 1.若均为正数，且，则（  ） A． B． C． D． 2.已知正实数满足，则下列说法中不正确的是（  ） A． B． C． D． 3.已知，求证：. 4.已知，求证：． 知识点四、对数的应用 题型09：有附加条件对数求值问题 【例17】求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【跟踪训练】 1.（1）若，求的值； （2）已知，，试用，表示. 2.已知，，则 3.若实数，且，则 . 题型10：对数的实际应用 【名师点拨】在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【例18】2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 【跟踪训练】 1.在天文学中，恒星的视星等 是衡量其亮度的重要指标.根据标准定义，视星等 与到达地球的光通量满足关系：，其中 为常数.现观测一个双星系统，两颗相邻且无法分辨的恒星单颗视星等均为 5.0.若它们的总光通量为单颗光通量之和，则它们的视星等约为（   ）.（已知：） A．4.25 B．5.00 C．2.50 D．3.75 2.核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：，）（    ） A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1% 一、填空题 1．（24-25高一上浦东新区期中）若2x＝3，则实数x的值为 　　． 2．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 5．（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 6．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 7．（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 8．（2024-25高一上普陀期中）求值： 9．（2024-25高一上嘉定期中）＝ . 10.（24-25高一上徐汇期中）已知，则= ． 11．（2023秋•徐汇区校级期中）若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为 　　． 12．（2023秋•浦东新区期末）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝（　　） A． B． C． D． 13．（2024秋•普陀区校级期末）已知实数x、y满足lgx+lgy＝lg（x+y），则x+2y的最小值为 　　． 14．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，则 .（用表示） 15．（20-21高一上·上海普陀·期末）已知，，则= . 16.（24-25高一上松江期中）已知，则 ． 二、选择题 17.（24-25高一上闵行期中）已知，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 18.（24-25高一上黄浦期中）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 19．（24-25高一上青浦期中）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上杨浦期中）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 3、 解答题 21．（24上海高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)；(2)；(3)；(4)． 22．（2024上海高一课时练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式： （1）lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1； （2）(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； （3）计算(log32＋log92)·(log43＋log83)； （4）2log32－log3＋log38－3log55； 24．（24-25高一上·上海·期中）已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 25．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $