专题3.2 对数（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（沪教版2020必修第一册）

专题3.2 对数 一、考情分析 二、考点梳理 考点一 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 考点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 三、题型突破 (一) 对数 例1．（1）、（2021·江苏高一课前预习）计算___________. 【答案】0 【分析】 根据对数的性质及指对数的关系，即可求值. 【详解】 由对数的基本性质、指对数的关系，知：. 故答案为：0. （2）．（2021·上海）下列计算中结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得； 【详解】 解：对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误； 故选：A 【变式训练1-1】．（2021·江苏海门市第一中学高一期末）计算：___________. 【答案】 【分析】 根据对数恒等式及对数的运算法则计算可得； 【详解】 解： 故答案为： 【变式训练1-2】、（2021·上海）下列各式中，正确的是（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①④⑤ B．③④ C．③ D．全正确 【答案】C 【分析】 根据对数的运算法则及对数的性质计算可得； 【详解】 解：①，③， ④，⑤， 故正确的只有③. 故选：C. (二) 对数与指数互化 例2．（1）、（2020·全国高一课时练习）如果，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用指数化对数得可，故选：C． （2）、（2020·上海市新川中学高一期中）若，则=_______________ ； 【答案】243 【分析】 利用指对数互化即可求出. 【详解】 因为，所以. 故答案为：243. （3）．（2019·全国）若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】 由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. 【点睛】 本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题. 【变式训练2-1】．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）102＝100；（2）lna＝b；（3）73＝343；（4）log6＝﹣2． 【分析】根据对数的定义进行转化． 【答案】解：（1）lg100＝2，（2）eb＝a，（3）log7343＝3；（4）6﹣2＝． 【变式训练2-2】．将下列指数式与对数式互化： （1）log216＝4（2）27＝﹣3（3）43＝64（4）﹣2＝16． 【分析】根据指数式ax＝N等价于对数式x＝logaN，可将指数式与对数式互化． 【答案】解：（1）log216＝4可化为：24＝16；（2）27＝﹣3可化为：； （3）43＝64可化为：log464＝3；（4）﹣2＝16可化为：． 【变式训练2-3】．（2021·上海高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（ ） A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3 C．=与log8=- D．log77=1与71=7 【答案】B 【分析】 利用指对互化公式进行互化，得出结果. 【详解】 对于A，e0=1可化为0=loge1=ln 1，所以A中互化正确； 对于B，log39=2可化为32=9，所以B中互化不正确； 对于C，=可化为log8=-，所以C中互化正确； 对于D，log77=1可化为71=7，所以D中互化正确. 故选：B. (三) 解对数方程 例3．（1）．（2020·上海市进才中学高一期中）若，则=__________. 【答案】2 【分析】 将对数式化为指数式，由此求得. 【详解】 由于，所以. 故答案为： （2）．（2021·上海）若，则_____________. 【答案】 【分析】 根据对数的运算性质计算可得； 【详解】 解： 因为，所以 故答案为： 【变式训练3-1】．（2020·上海市川沙中学高一期中）已知，那么=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 根据对数的定义，先求出，进