29.3 弧长和扇形面积 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“弧长和扇形面积”及“圆锥的侧面积和全面积”，包含情境引入、公式推导、例题解析、随堂演练等学习支架，系统覆盖知识点及应用。 资料以跑道起跑线等现实问题引入培养数学眼光，通过圆周长与面积推导弧长及扇形面积公式发展数学思维，结合弯形管道、蒙古包等实例强化数学语言应用，对比公式关联提升知识结构化，助力学生掌握重点，为教师教学提供清晰路径。

第二十九章 圆 29.3 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 情境引入 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 因为要保证这些弯道的“展直长度” 是一样的. 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 第1课时 弧长和扇形面积 知识点1 弧长公式 ① （1）半径为R的圆,周长是多少？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？ （3）1°圆心角所对弧长是多少？ 思考 你能总结出弧长公式吗？ C=2πR 360° 3 弧长公式 圆的半径. 弧所对的圆心角的度数. l = 4 解读 1.公式中，n表示1°的n倍，180表示1°的180倍，n，180 不带单位. 2.在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量，都可求出第三个量. l = 5 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示的管道的展直长度L.(单位：mm，结果取整数) 解析：由弧长公式，得弧AB的长 700mm 700mm R=900mm ( 100 ° A C B D O 因此所要求的展直长度 L=2×700+1570=2970（mm）. 6 拓展 弧、弧长、弧的度数之间的关系 (1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等； (2)度数相等的弧，弧长不一定相等； (3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧. 7 知识点2 扇形面积公式 ② 扇形 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的 弧围成的图形叫作扇形.记作扇形AOB. 想一想，怎么计算扇形的面积呢？ B A · O 8 1.半径为r的圆,面积是多少？ 2.圆心角为90°的扇形所对的面积是多少？ = 3.圆心角为1°的扇形所对的面积是多少？ = 思考 9 扇形面积公式 扇形的圆心角的度数. = 圆的半径. 10 对比弧长公式和扇形的面积公式， 可以用弧长表示扇形面积 11 解读 1.扇形面积公式中的n与弧长公式中的n一样，应该理解为1°的n 倍， 不带单位. 2.根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个. 12 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. 解：如图，连接OA,OB,过点O作弦AB的垂线，垂足为D, 交弧AB于点C，连接AC. ∵OD=OC-DC，OC=0.6,DC=0.3,∴OD=0.3. ∴OD=DC. 又AD⊥OC, ∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 则有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB= O B A C D 13 1.弧长公式：l= 2.扇形面积公式： 归纳 14 随堂演练 6 1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6,则扇形的弧长是 . 2.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆半径是 cm. 3.一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是 . 4π 150° 15 4.如图，已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是( ) A.π－2 B.2π－4 C. 4π－2 D.4π－4 A 16 5.草坪上的自动喷水装置能旋转220°，如果它的喷射半径是20m，求它能喷灌的草坪的面积. 解： 因此，它能喷灌的草坪的面积为 πm2. 17 课堂小结 弧长和 扇形面积 弧长公式 扇形面积公式 18 情境引入 生活中的圆锥 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 知识点 圆锥 ① 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体. 如图，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的 线段叫作圆锥的母线.圆锥有无数条母线，它们都相等． 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高. 20 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长, 那么r、h、l 之间数量关系是： r2+h2= l2 21 圆锥的侧面展开图 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形. 1.这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ 2.这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？ 3.圆锥的侧面积和这个扇形的面积有什么关系? 22 圆锥的侧面展开图 l o 扇形 侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 圆锥侧面积=这个扇形的面积 23 圆锥侧面积 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此 圆锥的侧面积为 πrl 圆锥全面积为 πrl+πr2 = πr（r+l） 24 例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长. 解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a. 可得r=10. 解得a=30. 因此，该圆锥底面半径为10，母线长为30. 25 例2 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡塔建20个底面积为12m2 ,高为3.2m,外围高为1.8m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142,结果取整数)？ 26 解：如图是蒙古包的示意图．根据题意，下面圆柱的底面积为 12 m2， 高为 h2 = 1.8 m；上面圆锥的高为 h1 = 3.2－1.8 = 1.4(m). h1 r h2 侧面积为 2π×1.954×1.8 ≈ 22.10 (m2)， 侧面展开扇形的弧长为 因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要的毛毡 20×(22.10 + 14.76) ≈ 738 (m2). 圆柱的底面圆半径为 圆锥的母线长为 圆锥的侧面积为 注意 1.圆锥的母线长都相等； 2.圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角形，有l2=h2+r2，已知l ，h和r中任意两个量都可以求出第三个量. 28 随堂演练 1.圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高为( ) A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 2.圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角 是_______． D 180° 29 3.已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为( ) A.15π B.24π C.30π D.39π 4.已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积是 ，全面积是 ． B 15πcm2 24πcm2 30 5.如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为32 m，母线长为7 m，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，则所需油毡的面积至少为多少平方米？ 解：S= ×32×7=16×7=112(m2) 因此，所需油毡的面积至少是112m2. 31 6.在△ ABC 中，∠ C= 90°，AC=6，BC=8. (1)将△ ABC 以BC 所在直线为轴旋转一周，求所得旋转体的全面积； (2)将△ ABC 以AC 所在直线为轴旋转一周，求所得旋转体的全面积. 32 解：（1）∵∠ C=90°，AC=6，BC=8， ∴ AB= =10. ∴ S底=πAC2=36π，S侧=π×6×10=60π. ∴ S全=S底+S侧=96π. （2）S底=πBC2=64π，S侧=π×8×10=80π， ∴ S全=S底+S侧=144π. 33 课堂小结 圆锥 有关概念 面积公式 母线 侧面积：πrl 全面积：πr（r+l） 高 34 $