29.2.3 圆周角课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角的定义、定理及三大推论，通过将圆心角顶点拉到圆上引出圆周角，对比圆心角明确顶点位置与边的特点，承接圆心角知识，为圆内接四边形等内容搭建学习支架。 其亮点在于通过测量猜想、三种位置关系证明等探究活动培养推理能力，结合直径直角模型、同侧等角模型强化几何直观，情境题如圆形展示区监控安装体现应用意识。助力学生提升逻辑推理与解题能力，教师可高效突破中考重难点。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十九章 圆 29.2.3 圆周角 知识点汇总 前言：圆周角是圆三大核心角中考点最多、应用最广的知识点，承接圆心角，是圆角度计算、几何证明、圆内接四边形、压轴几何题的核心基础。本节重点区分圆周角与圆心角、掌握圆周角定理及三大推论，是中考必考重难点。 一、圆周角的定义（必考辨析） 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 两大必备条件（缺一不可）： 1. 角的顶点在圆上； 2. 角的两条边均与圆相交。 易混对比：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。 二、圆周角定理（核心必考·大题依据） 1. 定理原话 2. 角度公式 $$\text{圆周角} = \dfrac12 \text{同弧所对圆心角}$$ 3. 几何语言（标准答题） 若 $$\overset{\frown}{AB}$$ 所对圆心角为 $$\angle AOB$$，圆周角为 $$\angle ACB$$， 则：$$\angle ACB = \dfrac12\angle AOB$$。 三、圆周角定理三大推论（考试高频） 推论1：同弧、等弧圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等。 逆用：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 作用：圆中角度等量代换、证角相等、证平行。 推论2：直径所对圆周角为直角（超级秒杀考点） 直径所对的圆周角是 90°（直角）。 逆定理：90°的圆周角所对的弦是直径。 作用：快速构造直角三角形，用于计算、垂直证明、勾股定理求解。 推论3：弧与角度对应关系 半圆（或直径）所对圆周角是直角；优弧对应钝角、劣弧对应锐角。 四、圆心角与圆周角终极对比 1. 顶点位置：圆心角在圆心，圆周角在圆上； 2. 角度大小：同一条弧，圆心角是圆周角的2倍； 3. 取值范围：圆心角可0°~360°，圆周角0°~180°。 五、圆内接四边形补充（本节关联考点） 四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形。 性质：对角互补，外角等于内对角。 公式：圆内接四边形 $$\angle A+\angle C=180^\circ$$，$$\angle B+\angle D=180^\circ$$。 六、本节必考几何模型 1. 同侧等角模型 同一弧上方的所有圆周角相等，可直接等量代换。 2. 直径直角模型 看见直径，优先连接端点构造直角三角形。 3. 倍角模型 同弧下，圆心角翻倍圆周角，角度计算核心模型。 七、高频易错陷阱（扣分重点） 1. 必须是同一条弧对应的圆心角和圆周角才满足二倍关系，乱套角度必错； 2. 顶点在圆上但两边不都交圆，不是圆周角； 3. 直径对直角，但普通弦不对直角； 4. 不同弧的圆周角无法直接相等，必须依托同弧、等弧； 5. 忘记圆内接四边形对角互补性质。 本节满分口诀 顶点圆上圆周角，同弧角度半圆心； 同弧等角可代换，直径对直定直角； 圆内四边对角补，圆中角度尽可求。 29.2.3 圆周角 新课导入 如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB. 问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？ 问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？ A B O C 推进新课 知识点1 圆周角的定义及圆周角定理 1.圆心角的定义? 顶点在圆心的角叫圆心角. A B O C 2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 3 　　图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样的关系？ A B O C 探究 先猜一猜，再用量角器量一量. 　　（1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？ B C O A B C O A B C O A ⌒ （2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 第一种情况： B C O A ∵　OA=OC， ∴　∠A=∠C． 又∵　∠BOC=∠A+∠C， ∴ 证明： 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． ∵OA=OB， ∴∠BAD=∠B． 又∵∠BOD=∠BAD+∠B， 第二种情况： B C O A 同理， ∴ ∴ D 请同学们自己完成证明. B C O A 第三种情况： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理： 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 【对应训练】 解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°， ∠A= ∠BOC= ×80°=40°. A 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等. 上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ A B O C 那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？ 知识点2 圆周角定理的推论 根据圆周角定理可知， 同弧所对的圆周角相等． A D B C O ∴ 同弧： ∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？ ⌒ 证明： . 如图，作出两弧所对应的圆心角. 根据圆周角定理可知， 等弧所对的圆周角相等． ∴ 等弧： A D B C O E BC=CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？ ⌒ ⌒ 又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE. ⌒ ⌒ ∠BDC=∠CAE 同弧或等弧所对的圆周角相等． 推论1： 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等. 知识点1 圆周角的概念 （第1题） 1. 如图,四边形中， , ,三点均在上,点在 外，则图中 的圆周角有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 15 知识点2 圆周角定理 （第2题） 2. 如图，，为 的弦，连接，，.若 , ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 中考考法 16 下列说法是否正确，为什么？ “在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”. D B C O E . 一条弦所对应的圆周角有两个. 这两个角有什么关系吗？ 如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，所以根据圆周角定理可知∠C+∠D = . 360° 180° 在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补. 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？ C1 A O B C2 C3 思考 所对应的圆心角为 ， 则对应的圆周角为 . 180° 90° 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论2： 例4 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长． 解：连接 OD. 　 A C B D O ∵　AB 是⊙O 的直径， ∴　ACB=ADB=90°． 在 Rt△ABC 中， 　 10 6 A C B D O 10 6 ∵　CD 平分ACB， ∴　ACD=BCD， ∴　AOD=BOD ． ∴　AD=BD． 在 Rt△ABD 中， 　 AD2+BD2=AB2 ， ∴　AD=BD=　　　　 =　　（cm）． 8 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 知识点3 圆内接多边形 A B C D O 如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆. 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 思考 A B C D O ∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC =360° 圆内接四边形的对角 . 互补 （第3题） 3. 如图，以原点为圆心的圆交轴于， 两点，交轴的正半轴于点， 为第一象限 内上的一点，若 ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 【点拨】连接 ， . . 又， . 中考考法 24 （第4题） 4.如图，点，，在半径为2的 上， ，，垂足为 ，交 于点，连接，则 的长度为___． 1 【点拨】连接 ， . ， ， . . . . 中考考法 25 5.[2026南京外国语学校期末] 如图，内接于 ，连 接，且平分，是上一点，连接， .若 ，则 的度数为____. （第5题） 中考考法 26 【点拨】如图，连接 ，由圆周角定理得 . ， . 平分 ， . ， . 中考考法 27 知识点3 圆周角定理的推论 （第6题） 6. [2025泸州] 如图，四边形 内接于 ，为的直径.若 , ，则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 28 （第7题） 7. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分, 为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作 如图所示的测量,测得, ， 则圆形镜面的半径为_ ______. 中考考法 29 8.如图，是的直径，点，分别是弦， 的中 点，，，则 的长是___． 4 （第8题） 中考考法 30 （第8题） 【点拨】是的中点， 是的直径， . ， ， 是 弦的中点，是直径的中点， 是 的中位线. ， ，， 三点共线. ． 中考考法 31 （第9题） 9. 如图，，是的弦，， 是 的半径，点为 上任意一点 （点不与点，重合），连接 ．若 ，则 的度数可能是 ( ) D A. B. C. D. 中考考法 32 （第9题） 【点拨】连接 ， . ， . 点 为上任意一点（点不与点， 重 合）， . ， ． 中考考法 33 （第10题） 10. 如图，某博览会上有一圆形 展示区，在其圆形边缘的点 处安装了一台 监视器，它的监控角度是 ，为了监控整 个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样 的监视器( ) C A. 2台 B. 3台 C. 4台 D. 5台 中考考法 34 （第11题） 11. 如图，是的直径，点， 在上，且， 的延长线与 的延长线交于点，连接 ，若 ，则 的度数是____． 中考考法 35 （第11题） 【点拨】连接 ， . ， 又 ， . .， . 中考考法 36 （第12题） 12. 如图，是的直径，点， 为圆 上两点，若点为的中点，连接 并延长 与交于点，与的延长线交于点 .若 ,， ，则 ___， ___. 6 中考考法 37 【点拨】 点为的中点， ， 在 中， ，且 ， ， .如图，连接 ，设 是的直径， . . ， 中考考法 38 . ， .根 据圆周角定理得 ， 是 的外角， . ， .在 和 中考考法 中，由勾股定理，得 ， ，解得 . . 中考考法 13. 如图，的弦长为2，是 的直径， ， ． （1）求 的半径长． 中考考法 41 【解】如图，连接, . , . 又 ， 是等边三角形. ，即 的半径长为2. 中考考法 42 （2）若是上的动点，求 的最小值. 中考考法 43 ， . . 如图，延长交于点，连接交 于点 ，连接,则此时 ， 即的最小值是 的长. 易知是的直径， . ， 即的最小值是 ． 中考考法 44 课堂小结 圆周角 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. 圆周角定理及其推论： 定理: 推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形： 圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $