29.2.3 圆周角和内切四边形 课件2026-2027 学年九年级上册人教版数学

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦第二十九章圆的29.2.3第1课时“圆周角定理及其推论”。内容以学习支架形式展开，涵盖圆周角概念辨析、定理的操作猜想与分类证明、两个推论的探究应用，辅以教材例题及“见直径作直角”辅助线技巧，搭配课堂检测，形成完整知识链。 资料特色显著，深度融合数学核心素养。通过量角器测量猜想培养几何直观与抽象能力，分类证明圆心角与圆周角关系发展推理意识，例题中直径构造直角三角形渗透模型观念，易错点辨析强化严谨思维。适合九年级学生巩固圆的重点知识，应对升学考试需求，为教师提供结构化教学素材，提升课堂效率。

29.2.3　第1课时　 圆周角定理及其推论 第二十九章　圆 29.2 探究与应用 圆周角:如图29-2-14,　　　　在圆上,并且两边都与圆　　　　的角叫作圆周角.  活动1　理解圆周角的概念 初识概念 顶点　 图29-2-14 相交 (教材补充例题)如图29-2-15,∠APB是圆周角的是(　　) 例 1 D 理解概念 图29-2-15 圆周角必须具备两个条件 ①顶点在圆上; ②两边都与圆相交. 记 关键 用量角器分别测量图29-2-16的各圆中所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数,填入下表,观察分析它们之间有什么关系,并用一句话表述你发现的规律. 活动2　了解并证明圆周角定理 操作猜想 图29-2-16   图① 图② 图③ ∠BAC       ∠BOC       解:填表略,∠BAC=∠BOC. 规律:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 图29-2-16 1.请你根据图29-2-16中的各种情况,证明你发现的规律. (1)如图①,当圆心O在∠BAC的一边上时; 推理证明 证明:(1)∵OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA. 又∠BOC=∠BAC+∠OCA, ∴∠BAC=∠BOC. 图29-2-16 (2)如图②,当圆心O在∠BAC的内部时; (2)如图①,连接AO并延长,交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA, ∴∠BOD=∠OAB+∠OBA=2∠OAB,∠COD=∠OAC+∠OCA=2∠OAC, ∴∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2(∠OAB+∠OAC)=2∠BAC, 即∠BOC=2∠BAC,∴∠BAC=∠BOC. 图29-2-16 (3)如图③,当圆心O在∠BAC的外部时. (3)连接AO并延长,交☉O于点D,如图②. 由(1)的结论得∠BAD=∠DOB,∠CAD=∠DOC, ∴∠CAD-∠BAD=∠DOC-∠DOB=(∠DOC-∠DOB), 即∠BAC=∠BOC. 图29-2-16 2.一条弧所对的圆心角有　　　个,所对的圆周角有　　　个.  一 无数 注意:圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧,这是定理成立的条件. 记 重点 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 　　　　.  一半 概括新知 问题1　如图29-2-17①,A,B是☉O上的两个定点,改变动点C在上的位置,看看圆周角∠ACB的度数有没有变化,你发现了什么? 活动3　了解并证明圆周角定理的两个推论 操作猜想 解:圆周角∠ACB的度数没有发生变化. 发现:同弧所对的圆周角相等. 图29-2-17 问题2　如果把(1)中发现的结论中的“同弧”改为“等弧”,结论还正确吗? 问题3　如图②,半圆所对的圆周角是多少度?90°的圆周角所对的弦具有什么特点? 解:正确. 图29-2-17 解:半圆所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弦是直径. (1)“相等的圆周角所对的弧相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这个条件,结论不一定成立.如图,∠APB=∠CPD,但≠. 记 易错 (2)若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,则结论不一定成立. 推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角　　　　.  (2)半圆(或直径)所对的圆周角是　　　　,90°的圆周角所对的弦是　　　　.  概括新知 相等　 直角　 直径 (教材典题)如图29-2-18,☉O的直径AB的长为10,弦AC的长为6,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长. 例 2 解:如图,连接OD. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. 图29-2-18 ∵在Rt△ABC中,AB=10,AC=6, ∴BC==8. 理解应用 ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD. ∵在☉O中,∠AOD=2∠ACD,∠BOD=2∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2, ∴AD=BD=AB=5. 圆中常添辅助线——“见直径,作直角” 当题目中出现直径时,通常作出直径所对的圆周角,可得直角,进而构造直角三角形解决问题. 学 方法 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如图29-2-19,点A,B,C在☉O上,∠C=30°,则∠AOB的度数是 (　　) A.30° B.40° C.50° D.60° | 课堂检测 | D 图29-2-19 2.如图29-2-20,在☉O中,A是的中点,∠ADC=24°,则∠AOB的度数是 (　　) A.24° B.26° C.48° D.66° C 图29-2-20 3.如图29-2-21,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,∠A=50°,则∠DBC的度数是 (　　) A.50° B.45° C.40° D.35° C 图29-2-21 4.如图29-2-22,点A,B,C,D在☉O上,∠BCA=60°,则∠ADB= 　　　　°.  60 图29-2-22 $29.2.3　第2课时　 圆内接四边形 第二十九章　圆 29.2 探究与应用 已知:如图29-2-23,四边形ABCD内接于☉O,则∠BAD与∠BCD,∠ABC与∠ADC之间有什么数量关系?证明你的结论. 活动　理解并掌握圆内接四边形的性质 观察猜想 解:∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°. 证明:如图,连接OB,OD. 图29-2-23 ∵∠BAD所对的弧为,∠BCD所对的弧为,又和所对的圆心角的和是周角, ∴∠BAD+∠BCD==180°. 同理∠ABC+∠ADC=180°. 圆的内接多边形的定义:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫作　　　　　　　　,这个圆叫作这个多边形的　　　　.  圆内接四边形的性质:圆内接四边形的　　　　互补.  概括新知 圆的内接多边形　 外接圆　 对角 (教材典题)如图29-2-24,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠BOD=100°,求∠A和∠C的度数. 例 解:∵在☉O中,∠A与∠BOD所对的弧都是, ∴∠A=∠BOD=×100°=50°. 又四边形ABCD是☉O的内接四边形, ∴∠C+∠A=180°,∴∠C=130°. 理解应用 图29-2-24 如图29-2-25,四边形ABCD为☉O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于 (　　) A.20°　　　　　　　　　B.40° C.80° D.100° 变式 C 图29-2-25 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如图29-2-26,在☉O的内接四边形ABCD中,∠D=135°,则∠B的 度数为 (　　) A.45° B.60° C.65° D.70° | 课堂检测 | A 图29-2-26 2.在圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=4∶2∶1,则∠D的度数是　　　　.  108° 【课堂小结与检测】 [课堂检测] 2.108°　[解析] ∵四边形ABCD是圆内接四边形, ∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°. ∵∠A∶∠B∶∠C=4∶2∶1,∴设∠A=(4x)°,∠B=(2x)°,∠C=x°, 则4x+x=180,解得x=36, ∴∠B=2×36°=72°,∴∠D=180°-72°=108°. 故答案为108°. 相关解析 3.如图29-2-27,四边形ABCD内接于☉O,E为直径CD延长线上一点, =,∠ADE=110°,则∠DAB=　　　　°.  125 图29-2-27 3.125　[解析] 连接AC,如图. ∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠B+∠ADC=180°. 又∵∠ADC+∠ADE=180°, ∴∠B=∠ADE=110°. ∵=,∴∠BAC=∠BCA==35°. ∵CD为☉O的直径,∴∠DAC=90°, ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+35°=125°.　 $