30.1.2 圆的切线课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的切线性质、判定定理及切线长定理，通过直线与圆相交、相切、相离三种位置关系的回顾导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究切线的核心知识。 其亮点在于用反证法证明切线性质培养逻辑推理（数学思维），案例分析中“无切点作垂直证半径”等辅助线方法发展几何直观（数学眼光），规范几何符号表达强化数学语言。例题与练习结合，助力学生掌握解题技巧，教师可直接用于课堂提升教学效率。

30.1 直线与圆 30.1.2 圆的切线 人教版 九年级 数学（上） 第30章 直线与圆的位置关系 新课导入 在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是______、______、______. 相交 相切 相离 2 探究新知 如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A ，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？用什么方法证明呢？ 证明：假设AO与l不垂直，过点 O 作 OP⊥ l ，垂足为 P； 理由：直径AO与直线l 要么垂直，要么不垂直. ∴ OP＜OA， ∴ l 与⊙O 相交，与已知条件相矛盾； ∴假设不成立，故 AO 与 l 垂直. 证法：反证法 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． ∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点， ∴直线 l⊥OA. 几何符号表达： l .O A 圆的切线和圆只有一个公共点. 圆心到切线的距离等于半径. 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 归纳总结 A l O 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线． 分析：无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE = OD). E 案例分析 证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE ⊥AC 于 E. ∵ ⊙O 与 AB 相切于 D， 又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点， ∴ AO 平分∠BAC. ∴ OE = OD. ∴ 点 O 到 AC 的距离等于⊙O 的半径. ∴ AC 是⊙O 的切线． E ∴ OD⊥AB. ∵ OD 是⊙O 的半径， 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，连半径，得垂直. 思考：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点 A 作直线 l⊥OA. O A l （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？ 圆心O到直线l的距离d=半径r （2）直线l和⊙O有什么位置关系？ 相切 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. O A l r 注 意 1.直线l 经过半径r的外端点A. 2.直线l 垂直于半径r. 判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.（ ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） ⑶ 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线. （ ） ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直. × × √ √ 判一判 (1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？能画几条？ l 第一步：连接OA； .O . A 能画 1 条。 第二步：过A点作OA的垂线l.即为圆的切线 (2)观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？ 左图:直线l过半径的外端，但不与半径垂直，所以不是圆的切线。 右图:直线l与半径垂直，但不过半径的外端，所以也不是圆的切线。 切线判定的两个关键点要判定一条直线是圆的切线，必须同时满足以下两个条件: 1.直线经过半径的外端(与圆有公共点); 2.直线与这条半径垂直。 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆的相切. 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： O A l O A l O A l d r 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d=r）时，直线与圆相切. 如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE ⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证： 直线 DE 是⊙O 的切线. 练一练 证明：连接 OD. ∵AD 平分∠CAB，OA = OD， ∴∠ODA =∠OAD =∠DAC. ∴ OD∥AC. 又∵ DE⊥AC ， ∴∠ODF =∠AED = 90°， 即直线 DE 是⊙O 的切线. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ O P A B 发现：①PA=PB ②PO平分∠APB 探究 O P A B 证明：如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB，OP=OP. ∴Rt△AOP≌Rt△BOP. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO 请证明你所发现的结论. 证明：连接 OA、OB. ∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点. ∴ OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠OAP = ∠OBP = 90°. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△PAO≌Rt△PBO (HL). ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. 已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点. 求证：△PAO≌△PBO，PA = PB，∠APO =∠BPO. 试用文字语言叙述你所发现的结论. 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言： ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB. 探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC. O B A P E C D （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形； △ABP △AOB O B A P E C D 切线长定理运用的基本模型： （1）分别连接圆心和切点 （2）连接两切点 （3）连接圆心和圆外一点 O B A P 切线的性质： 1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于半径. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 练一练 1.如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( ) A. B.2 C.2 D.3 B 2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°. (1) 求∠P 的大小； (2) 若 AB = 2. 求 PA 的长 (结果保留根号). 解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴ PA⊥AB. ∵∠BAC = 30°， ∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°. 又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C， ∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形. ∴∠P = 60°. ∴∠BAP = 90°. (2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°. 在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°. ∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°. ∴ △PAC 为等边三角形. ∴ PA = AC. ∴ PA =. 知识归纳 1.切线的性质： (1)切线和圆只有____个公共点； (2)切线到圆心的距离等于______； (3)圆的切线________过切点的半径． 一 半径 垂直于 2.切线的判定定理：经过半径的____并且______这条半径的直线是圆的切线． 3.当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常是连接______和______，得到半径，那么半径________切线． 外端 垂直于 圆心 切点 垂直于 4.过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和______之间的线段长，叫作这点到圆的切线长． 5.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____，并且这一点和圆心的连线____两条切线的夹角． 切点 相等 平分 例 1 例题与练习 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 1 C A B O D E 证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∴∠OEC=90°. ∵ AB是⊙O的切线, ∴∠ODB=90 ° =∠OEC. ∵AB=AC , ∵O是BC的中点， ∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE . 1 C A B O D ∴OD⊥AB. ∴OB=OC . ∴AC与⊙O相切. ∴∠B=∠C. 方法二： 证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, 又∵△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点， ∴AO平分∠BAC, ∴OD=OE ，即OE是⊙O半径. ∴AC是⊙O的切线. E 1 C A B O 方法总结： 无交点，作垂直，证半径. D ∴OD⊥AB. 例 2 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C. 求证：直线PB与⊙O相切． A P B O 证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC. ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA. 又∵点O在∠APB的平分线上， ∴OC＝OD. ∴直线PB与⊙O相切． 例 3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB. A B O C D 证明：连接OC. ∵⊙O和直线CD相切 ∴AD∥OC. ∵AD⊥CD， ∴∠DAC＝∠CAO. ∴OC⊥CD. ∴∠ACO＝∠CAD. ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠OAC. ∴AC平分∠DAB. 1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB. 求证：AC是⊙O的切线. 证明：∵ AC=AB， ∴∠C=∠ABC=45°， ∴∠CAB=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线 A B . O C 2. 如图, AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A,B是切点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论. 解： l1 ∥ l2. 证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线， ∴ AB⊥l1 ， ∴ l1∥l2. A B . O l2 l1 ∴ AB⊥l2， 3.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点，求证：AP＝BP. O A B P 证明：连接OP. ∵AB切⊙O于点P， ∴OP⊥AB. ∴AP=BP(垂径定理). 4．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是 (　　) A．相离　　　　B．相切　　　　 C．相交　　　　D．不能确定 B 5．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于____时，AC才能成为⊙O的切线． 60° 6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝____． 40° 课堂小结 切线的判定方法 定义法 数量关系 判定定理 →1个公共点 →d=r,相切 证切线常作辅助线： 有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 → 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 → → 有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直. 切线长定理 原理 作用 辅助线 →图形的轴对称性 →提供了证线段和角相等的新方法 ①分别连接圆心和切线； ②连接两切点； ③连接圆心和圆外一点. → 随堂检测 1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若∠BAC = 35°，则∠ACB 的大小是 ( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° C 2. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13, AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 . 相切 3.如图，AB是⊙O的直径, AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线,交AC的延长线于点E. 求证：DE⊥AC. 证明：连接OD. ∴∠EAD=∠DAO. ∴∠DAO=∠ODA. ∴∠ODA=∠EAD. 又∵DE是⊙O的切线, ∴∠ODE=90°. A B O C D E ∵AD是∠BAC的平分线, 又∵OA=OD. ∴OD∥AC. ∴∠E=90°.即DE⊥AC. 作业布置 对应课时练习． $