30.2 三角形的内切圆 (课件) 2026-2027学年人教九年级数学上册

该初中数学课件围绕“三角形的内切圆”展开，涵盖内切圆与内心的概念、性质及尺规作图方法。通过“三角形蛋糕放最大圆形奶油”“木料厂裁最大圆”等生活情境导入，关联角平分线性质，搭建从实际问题到数学概念的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如“最大圆与三边位置关系”“如何作内切圆”，结合核心素养中的数学眼光（抽象实际问题）、数学思维（推理内心性质如∠BIC=90°+1/2∠A）和数学语言（推导面积公式1/2lr）。采用探究式教学，课堂小结结构化梳理概念、性质、作图及应用，助力学生提升抽象能力与推理意识，也为教师提供完整教学资源。

30.2 三角形的内切圆 人教版 数学 九年级 上册 同学们，我们先来思考一个有趣的生活场景： 想象一下，你有一块美味的三角形蛋糕。现在，你想在蛋糕的正中央，放一个最大的圆形奶油装饰. 这个圆形装饰有一个特殊的要求：它必须刚刚好碰到蛋糕的三条边，不能多也不能少，不能偏也不能倚. 导入新知 3. 能运用三角形内心的性质证明或解决问题. 1. 了解三角形内切圆和内心的概念. 2.能用直尺和圆规作三角形的内切圆. 素养目标 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 探究新知 三角形的内切圆及作法 知识点1 问题1: 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 探究新知 问题2: 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 探究新知 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点. 为什么呢？ 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. 探究新知 做一做 A C B 7 1.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫作这个三角形的内心. 3.这个三角形叫作这个圆的外切三角形. B A C I ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 探究新知 8 例 已知:△ABC(如图), (1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明). (2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数. 三角形的内切圆的作法 素养考点 探究新知 解：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC,AB于点H,G; ②分别以H,G为圆心,以大于 HG的长为半 径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为 ∠BAC的平分线; ③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心; ④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆. 探究新知 (2)∵∠BAC=88°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°, ∴∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB)= ×92°=46°, ∴∠BIC=180°-46°=134°. 探究新知 △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA，OB，OC.） 解： 设AB = c，BC = a，AC = b. O r C A B D M N r r 则S△OBC= ar， S△OBA= cr，S△OAC= br， S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC = ar + cr + br = r（a+c+b） = lr. 巩固练习 B A C I 问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB ，IC有什么特点？ 线段IA，IB ，IC 分别是∠A，∠B，∠C的平分线. 探究新知 三角形的内心的定义和性质 知识点2 问题2 如图，分别过点作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？ B A C I E F G IE=IF=IG 探究新知 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. B A C I E F G IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG. 探究新知 例 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数. 解：连接IB，IC. A B C I ∵点I是△ABC的内心， ∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线， 在△IBC中， 利用三角形内心的性质求角度 素养考点 探究新知 如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= . 解析：∵点P是△ABC的内心, ∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB, ∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°. 巩固练习 90° 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.OA=OB=OC; 2.外心不一定在三角形的内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB; 3.内心在三角形内部 A B O A B C O 探究新知 1.（宁夏中考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC= °. 解析：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB， ∵∠A=54°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°- （∠ABC+∠ACB） =180°- ×126° =117°. 117 链接中考 · O A B C 2.（青海西宁中考）如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形，且AB=9，CD=15，则四边形ABCD的周长为 . 解析：∵四边形ABCD是☉O的外切四边形， ∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG， ∴AD+BC=AB+CD=24， ∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=48. 48 链接中考 · A B C D O · A B C D O H E F G 3.（四川攀枝花中考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DOE=120°，∠EOF=150°． （1）求△ABC的三个内角的大小； （2）设⊙O的直径为d，证明：d=AB+AC-BC． 链接中考 A B C E D F O （1）求△ABC的三个内角的大小； 解：∵⊙O是△ABC的内切圆， 与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F， ∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF， ∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°， ∵∠DOE=120°，∠EOF=150°， ∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°，∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=90°， ∴∠A，∠B，∠C的度数分别为90°，60°，30°． 链接中考 A B C E D F O （2）设⊙O的直径为d,证明：d=AB+AC-BC． 证明：∵AD=AF，BD=BE，CF=CE， ∴BD+CF=BE+CE=BC， ∵AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC， ∴2AF=AB+AC-BC， ∵∠ODA=∠OFA=∠A=90°， ∴四边形ADOF是矩形，∴OD=AF， ∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径， ∴d=2OD=2AF，∴d=AB+AC-BC． 链接中考 A B C E D F O A B C O 110 ° 课堂检测 基础巩固题 1.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °， ∠ACB= 80 °，则∠BOC= . （3）若∠BIC=100 °，则∠A = °. （2）若∠A=80 °，则∠BIC = °. 130 20 2.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____. A B C I （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？ 120° 课堂检测 课堂检测 能力提升题 如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC=90°，CM=2，AM=3，则⊙O的半径为 ． 解析：连接ON，OQ. ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q， ∴ON⊥AB，OQ⊥BC，∴∠ONB=∠OQB=90°. ∵∠B=90°，∴四边形ONBQ为矩形， ∵ON=OQ，∴矩形ONBQ为正方形﹒ 设⊙O的半径为r，则BN=BQ=ON=r﹒ ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，CM=2，AM=3，∴CM=CQ=2，AM=AN=3， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：（r+2）2+（r+3）2=（2+3）2， 解得r=1或-6（不合题意，舍去），∴⊙O的半径为1﹒ 1 N Q C A B O . M 26 如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI. ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD. ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID． 课堂检测 拓广探索题 三角形的内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 有关概念 内心及性质 应用 课堂小结 尺规作三角形内切圆 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 $