课时作业36 离散型随机变量的方差（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(三十六)　离散型随机变量的方差 [基础达标练] 1．随机变量X的方差，反映其取值的(　　) A．平均水平　　　　　B．分布规律 C．波动大小 D．最大值和最小值 答案：C 2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，则D(2X－5)＝(　　) A．6 B．8 C．3 D．4 解析：选B　EX＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3. ∴DX＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2， ∴D(2X－5)＝4DX＝4×2＝8. 3．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为(　　) X 1 3 5 P 0.4 0.1 x A.3.56 B． C．3.2 D． 解析：选D　依题意：0.4＋0.1＋x＝1， ∴x＝0.5， ∴EX＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2， DX＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴σ(X)＝＝. 4．已知某离散型随机变量X的分布列如下表所示，则随机变量X的方差DX等于(　　) X 0 1 P m 2m A. B． C． D． 解析：选B　由题意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以EX＝0×＋1×＝，所以DX＝×＋×＝. 5．(多选)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a 则下列式子正确的是(　　) A．a＝ B．EX＝－ C．DX＝ D．P(X＝0)＝ 解析：选ABD由分布列可知，a＋＋＝1，a＝，故A正确；EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故B正确；DX＝×＋×＋×＝，故C不正确，D显然正确． 6．已知X是离散型随机变量，EX＝6，DX＝0.5，X1＝2X－5，那么EX1＝________，DX1＝________． 解析：由期望和方差的运算性质知，EX1＝E(2X－5)＝2EX－5＝7，DX1＝D(2X－5)＝22DX＝2. 答案：7　2 7. 已知X的分布列如下表： X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 解：(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝， 从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)由(1)知a＝，所以X的均值EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 故X的方差DX＝×＋×＋×＝. (3)因为Y＝4X＋3，所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11. 8．某滑雪场为推广滑雪运动，开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值Eξ，方差Dξ. 解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为＝，＝. 两人都付0元的概率为P1＝×＝， 两人都付40元的概率为P2＝×＝， 两人都付80元的概率为P3＝×＝， 则两个所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0.40，80，120，160，则 P(ξ＝0)＝×＝， P(ξ＝40)＝×＋×＝， P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝120)＝×＋×＝， P(ξ＝160)＝×＝. 所以ξ的分布列为： ξ 0 40 80 120 160 P Eξ＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. Dξ＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. [能力提升练] 9．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差Dξ＝(　　) A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 解析：选D　随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 P 1－m m ∴Eξ＝0×(1－m)＋1×m＝m. ∴Dξ＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m). 10．若X离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知EX＝，DX＝，则x1＋x2的值为(　　) A． B． C．3 D． 解析：选C　x1，x2满足 解得或∵x1＜x2， ∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3. 11．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，EX＝，则D(2X－1)＝________． 解析：∵X是离散型随机变量， ∴EX＝1×＋a×＝， 解得a＝2， ∴DX＝×＋×＝， ∴D(2X－1)＝22DX＝4×＝. 答案： 12．设投掷一枚骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________． 解析：依题意X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 故EX＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝， DX＝×＋×＋×＋×＋×＋×＝. 答案： 13．某投资公司在2022年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由， 解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为： X1 300 －150 P ∴EX1＝300×＋(－150)×＝200. 若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为： X2 500 －300 0 P ∴EX2＝500×＋(－300)×＋0×＝200. DX1＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000， DX2＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000. ∴EX1＝EX2，DX1＜DX2， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． [素养拓展练] 14．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为： X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(单位：万元)和Y2(单位：万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1 ，DY2； (2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值． 解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为： Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 EY1＝5×0.8＋10×0.2＝6， DY1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4； EY2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， DY2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f(x)＝D＋D ＝DY1＋DY2 ＝[x2＋3(100－x)2] ＝(4x2－600x＋3×1002). 所以当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$