6.1.2 乘法公式与事件的独立性 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“乘法公式与事件的独立性”同步练，分层设计梯度清晰，从单一公式应用到综合情境建模，强化推理能力与模型意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|乘法公式直接应用、独立事件概念辨析|以选择、填空为主，如第1题直接计算P(AB)，第5题判断相互独立事件，夯实概念理解| |提升层|复杂情境概率计算、逻辑证明|含综合解答与证明题，如第3题排球决赛概率分析、第16题条件概率性质证明，培养数学建模与推理能力|

1.2　乘法公式与事件的独立性 1.已知P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（　　） A.　　 　B.　　 　C.　 　　D. 2.甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p1，p2，p3，那么至少有一人解决这道题的概率是（　　） A.p1＋p2＋p3 B.1－（1－p1）（1－p2）（1－p3） C.1－p1p2p3 D.p1p2p3 3.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 4.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示.那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（　　） 甲 乙 丙 丁 甲获胜概率 — 0.3 0.3 0.8 乙获胜概率 0.7 — 0.6 0.4 丙获胜概率 0.7 0.4 — 0.5 丁获胜概率 0.2 0.6 0.5 — A.0.15 B.0.105 C.0.045 D.0.21 5.（多选）下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有（　　） A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数” B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球” C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同” D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面” 6.（多选）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 80% 90% 70% 在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机的品牌为甲、乙、其他，B表示买到的手机是优质品，则（　　） A.P（A1）＝0.5 B.P（B｜A2）＝0.9 C.P（BA1）＝0.8 D.P（BA3）＝0.7 7.已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则p＝　　　　. 8.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为　　　　. 9.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为＋；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×＋×；④目标被命中的概率为1－×.以上正确说法的序号是　　　　. 10.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师傅加工1个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.求徒弟加工2个零件都是精品的概率. 11.设0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则“P（A｜B）＋P（｜）＝1”是“A与B相互独立”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 13.（多选）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲中靶的概率为 0.8，乙中靶的概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（　　） A.两人都中靶的概率为 0.72 B.至少一人中靶的概率为 0.88 C.至多一人中靶的概率为 0.26 D.恰好有一人脱靶的概率为 0.26 14.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　. 15.在①A与B相互独立，②P（B）＝，P（｜A）＝，③P（B｜）＝，P（A）＝2P（B），这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解. 问题：已知P（｜B）＝，　　　　，求P（A）. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.从装有a个红球和b个蓝球的袋中（a，b均不小于2），每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为事件A1，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件A2，“第二次摸球时摸到红球”为事件B1，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件B2.求证： （1）P（B1）＝； （2）P（B1）＋P（B2）＝1； （3）P（B1｜A1）＋P（B2｜A1）＝1. 1.2　乘法公式与事件的独立性 1.C　由乘法公式得P（AB）＝P（A）·P（B｜A）＝×＝. 2.B　至少有一人解决这道题的对立事件是“没有人解决这道题”，也即“三人均没有解出此题”，此概率为（1－p1）（1－p2）·（1－p3），∴至少有一人解决这道题的概率是1－（1－p1）（1－p2）（1－p3）. 3.D　设Ai（i＝1，2）表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军. 法一　B＝A1＋A2，故P（B）＝P（A1）＋P（）P（A2）＝＋×＝. 法二　P（B）＝1－P（）＝1－P（）·P（）＝1－×＝. 4.C　甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙比赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件同时发生的概率等于概率之积，所以甲得冠军且丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3＝0.045. 5.CD　在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，P（MN）＝P（M）P（N），因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.故选C、D. 6.AB　依题意可得P（A1）＝0.5，P（B｜A1）＝0.8，P（B｜A2）＝0.9，P（B｜A3）＝0.7，P（A3）＝0.2，则P（BA1）＝P（B｜A1）·P（A1）＝0.8×0.5＝0.4，P（BA3）＝P（B｜A3）P（A3）＝0.7×0.2＝0.14.故选A、B. 7.0.03　解析：由题意，得（1－0.01）（1－p）＝0.960 3，解得p＝0.03. 8.0.09　解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率p＝（1－0.4）×0.5×（1－0.4）×0.5＝0.09. 9.②④　解析：①错误，目标恰好被命中一次的概率为×＋×；②正确，目标恰好被命中两次的概率为×；目标被命中的概率为1－×，所以③错误，④正确. 10.解：设徒弟加工1个零件是精品的概率为p，则×p2＝，得p2＝，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是. 11.C　若P（A｜B）＋P（｜）＝1，则P（A｜B）＝1－P（｜）＝P（A｜），即B发生与否对A不影响，故A与B相互独立；若A与B相互独立，则与相互独立，则P（A｜B）＝P（A），P（｜）＝P（），所以P（A｜B）＋P（｜）＝1.所以“P（A｜B）＋P（｜）＝1”是“A与B相互独立”的充要条件.故选C. 12.B　记“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率为1－P（）＝1－×＝. 13.AD　设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立.A选项：都中靶的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72，故A对；B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶，故至少一人中靶的概率为1－P（）＝1－P（）P（）＝1－0.2×0.1＝0.98，故B错；C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶，则至多一人中靶的概率为1－P（AB）＝0.28，故C错；D选项：恰好有一人脱靶的概率为P（A）P（）＋P（）P（B）＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26，故D对.故选A、D. 14.0.46　解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai（i＝1，2，3），则P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.6，P（A3）＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生，故所求概率为P＝P（A1A2A3∪A1A3∪A2A3）＝P（A1A2A3）＋P（A1A3）＋P（A2A3）＝P（A1）·P（A2）P（A3）＋P（A1）P（）P（A3）＋P（）P（A2）P（A3）＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46. 15.解：选择①，由P（｜B）＝，得P（A｜B）＝1－P（｜B）＝. 因为A与B相互独立，所以P（A）＝P（A｜B）＝. 选择②，因为P（｜B）＝， 所以P（A｜B）＝1－P（｜B）＝，即＝， 又P（B）＝，所以P（AB）＝. 因为P（｜A）＝，所以P（B｜A）＝，即＝， 所以P（A）＝. 选择③，因为P（｜B）＝＝，P（B｜）＝＝， 所以P（）＝P（B）， 又P（A）＝2P（B），P（A）＋P（）＝1， 所以P（A）＝. 16.证明：（1）由题意可知，P（A1）＝， P（A2）＝，∴P（B1）＝P（A1B1）＋P（A2B1）＝·＋·＝. （2）∵P（B2）＝P（A1B2）＋P（A2B2）＝·＋·＝， ∴P（B1）＋P（B2）＝1. （3）∵P（B1｜A1）＝＝＝， P（B2｜A1）＝＝＝， 故P（B1｜A1）＋P（B2｜A1）＝1. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $