统计与概率：古典概型求概率问题、独立事件的乘法公式求概率问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦古典概型与独立事件概率计算，通过多样化情境题组构建知识逻辑链，强化实际问题转化与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |古典概型求概率问题|6例+6变式|涵盖等可能结果、条件概率、组合计数，涉及取球、选人、正方体几何等情境|以样本空间构建为核心，从基础计数到复杂条件概率，形成"定义理解-模型转化-计算验证"逻辑链| |独立事件的乘法公式求概率问题|3例+3变式|包含比赛、投篮、工序生产等分步概率模型，涉及分布列与期望|以事件独立性判定为基础，通过实际情境强化"分步分析-公式应用-结果整合"推理过程|

统计与概率：古典概型求概率问题、独立事件的乘法公式求概率问题专项训练 统计与概率：古典概型求概率问题、独立事件的乘法公式求概率问题专项训练 考点目录 古典概型求概率问题 独立事件的乘法公式求概率问题 考点一 古典概型求概率问题 例1．（2026·山西忻州·模拟预测）随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南开封·模拟预测）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为；②一次性任取2个球，设取到2个红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·上海·阶段检测）现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为_________． 例4．（2026·安徽合肥·模拟预测）一个质地均匀的正四面体骰子，其每面分别标有数字1，2，3，4，记录每次抛掷向下这个面的点数，一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子.已知第一次抛出的点数为1，则以数字1结束的概率是__________. 例5．（2026·陕西西安·模拟预测）， 两组各 7 位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16； 组：12，13，15，16，17，14，． (1)假设所有病人的康复时间相互独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙，如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (2)求 组病人康复时间的方差，并直接写出 ， 两组病人康复时间的方差相等时 的一个值． 例6．（2026·福建三明·二模）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中有2个红球和3个白球，从中随机摸出2个球． (1)求摸到的两个球颜色相同的概率； (2)用表示摸出的球为白球的个数，求的分布列及均值． 变式1．（2026·广东·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别为，，的中点，若从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，记事件M为“所取两个顶点的连线与平面平行”，则事件M发生的概率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·甘肃嘉峪关·三模）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑共9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色），现从剩下8个小球中取出两个小球，则这两个小球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·天津河西·三模）某高中即将举办“青春风采”校园艺术节，在前期筹备中，校学生会从各班报名的同学中筛选出了9名优秀骨干志愿者，并将他们分配到“后台统筹”和“前台引导”两个不同的工作组．已知这9名志愿者中，有5名同学属于“后台统筹”组，4名同学属于“前台引导”组．现因舞台彩排需要，随机从这9名志愿者中抽调3人参与第一次全要素带妆彩排．则抽调的3名志愿者中，恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为_________；已知在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组，则在此前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为__________． 变式4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位大学生计划到三个地方实习，每人选择一个地方且每个地方至少一人，则学生甲不去A的概率为_________． 变式5．（2026·福建福州·模拟预测）甲袋中有编号为1～5的3红2白共5个小球，小球除编号和颜色外没有任何不同．从甲袋中随机抽取2球，若两球同色，则将此两球放入空的乙袋中，再从乙袋中随机抽1球；若两球异色，则将两球放回甲袋，再从甲袋中随机抽1球．记表示两次抽取的小球中红球（编号相同仅算一个）的个数． (1)求的概率； (2)求的分布列与期望． 变式6．（2026·江苏苏州·模拟预测）鸡兔同笼问题是我国古代经典的概率应用题，在《孙子算经》中有相关记载.现有5只鸡和3只兔子，每只鸡2条腿，每只兔4条腿，每次从中不放回地随机抽取1只动物放入笼内，动物位置固定不自行移动. (1)当笼内动物总头数为3时停止抽取，求停止时笼内动物总腿数恰好为10的概率； (2)当笼内动物总腿数不少于12时停止抽取，记停止时笼内动物总头数为随机变量，求的分布列与数学期望. 考点二 独立事件的乘法公式求概率问题 例1．（2026·云南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． (1)求甲赢得本次比赛的概率； (2)用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 例2．（2026·北京丰台·三模）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 (3)主办方调整甲的投篮装备，优化后甲单次命中概率提升，乙投篮条件与命中率保持不变.设装备调整前甲获胜概率为，装备优化后甲获胜概率为，请直接写出两者的大小关系.（结论不要求证明） 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在A、B、C三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求他投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在A、B、C三个不同区域各投篮一次，如果在A、B、C三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的分布列和数学期望． 变式1．（2026·河北雄安·三模）现有1，2，3号三名运动员投篮，命中率分别为，，，每次投篮命中与否相互独立，1号先投，接下来按以下规则，若n号投进，则下次由号投，若n号投不进，则下次由号投，4号就是指1号，5号就是指2号，6号就是指3号，7号就是指1号，依次类推． (1)求第3次由3号投篮的概率； (2)每进1球记1分，不进球记0分，三人得分累计3分或投篮总次数达到5次后结束，设投篮总次数为X，求X的数学期望． 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）生产某种产品需要两道工序，已知各道工序加工相互独立，第一道工序加工合格的概率为，第二道工序加工合格的概率为，只有两道工序加工均合格，产品才合格． (1)求一件产品不合格的概率； (2)每件产品的每一道工序均需要验收，若一道工序加工不合格，则需要返工至工序合格．已知每件产品的第一、第二道工序加工的成本分别为30元、40元，每一道工序返工至合格的成本为20元，求一件合格品的平均生产成本． 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲． (1)求第3次射箭的人是甲的概率； (2)甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望． 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：古典概型求概率问题、独立事件的乘法公式求概率问题专项训练 统计与概率：古典概型求概率问题、独立事件的乘法公式求概率问题专项训练 考点目录 古典概型求概率问题 独立事件的乘法公式求概率问题 考点一 古典概型求概率问题 例1．（2026·山西忻州·模拟预测）随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算得出，再根据古典概型概率公式即可求解． 【详解】由，， 得． 要使，即． 由于，独立且均等可能取，1，共有4种等可能情况：，，，． 满足和为0的有2种，所以所求概率为． 例2．（2026·河南开封·模拟预测）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为；②一次性任取2个球，设取到2个红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全概率公式和概率乘法公式求出，得到答案 【详解】不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球， 第一次任取1个球为红球，第二次任取2个球均为红球的概率为， 第一次任取1个球为白球，第二次任取2个球均为红球的概率为， 故， 一次性任取2个球，取到2个红球的概率为， 故. 例3．（25-26高二下·上海·阶段检测）现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为_________． 【答案】 【分析】方法1：条件概率公式法； 方法2：缩小样本空间法. 【详解】方法一：设事件A为“女生甲被选中”，事件B为“选取的3人包含2名男生和1名女生”，所求概率为条件概率. 1. 总基本事件数：从8人中任选3人的组合数为； 2. 事件A的基本事件数：先确定选女生甲，再从剩余7人中任选2人，即，故； 3. 事件AB（女生甲被选中且另外2人均为男生）的基本事件数：先选女生甲，再从5名男生中选2人，即，故； 4. 代入条件概率公式，得. 方法2：缩小样本空间法 已知女生甲已被选中，仅需从剩余的5名男生、2名女生共7人中再选2人，要求2人均为男生： 1. 该条件下样本空间的基本事件总数为； 2. 符合要求的基本事件数为从5名男生中选2人的组合数； 因此所求概率为. 例4．（2026·安徽合肥·模拟预测）一个质地均匀的正四面体骰子，其每面分别标有数字1，2，3，4，记录每次抛掷向下这个面的点数，一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子.已知第一次抛出的点数为1，则以数字1结束的概率是__________. 【答案】 【分析】通过抛的次数得到满足条件的概率的等量关系式，计算得解. 【详解】设上一次抛出的点数为（，2，3，4）且游戏未结束， 接下来游戏以数字1结束的概率记为， 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为1，这两次抛掷的点数之和为质数， 则停止抛骰子； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为2，这两次抛掷的点数之和为质数， 则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数，继续抛， 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为4，这两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为1，第二次和第三次抛掷的点数之和不为质数，继续抛； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为2，第二次和第三次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为3，第二次和第三次抛掷的点数之和不为质数，继续抛； 当第一次抛出的点数为1时，第二次抛出的点数为3，这两次抛掷的点数之和不为质数， 第三次抛出的点数为4，第二次和第三次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子，但不是以数字1结束； 则有，得. 例5．（2026·陕西西安·模拟预测）， 两组各 7 位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16； 组：12，13，15，16，17，14，． (1)假设所有病人的康复时间相互独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙，如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (2)求 组病人康复时间的方差，并直接写出 ， 两组病人康复时间的方差相等时 的一个值． 【答案】(1) (2) 组方差为，的一个值为（或） 【分析】（1）利用古典概型求解，先计算总选法数，再统计甲康复时间更长的选法数，比值即为所求概率； （2）根据方差计算公式求出A组方差，结合方差反映数据离散程度的性质，通过数据对称性得到符合条件的值. 【详解】（1）从、两组各随机选1人，共有种等可能的基本事件. 当时，组康复时间为12，13，14，15，16，17，25， 满足甲康复时间更长的情况如下： ①乙康复时间为12时，甲可选13、14、15、16，共4种； ②乙康复时间为13时，甲可选14、15、16，共3种； ③乙康复时间为14时，甲可选15、16，共2种； ④乙康复时间为15时，甲可选16，共1种； 乙康复时间为16、17、25时，不存在甲康复时间更长的情况. 符合条件的基本事件共种，由古典概型概率公式得所求概率. （2）先计算组康复时间的均值： ， 由方差公式得A组方差： . 方差反映数据的离散程度，当时，组数据为11、12、13、14、15、16、17，与组数据相比每个数值均大1，离散程度完全相同，因此方差相等， 故为符合条件的一个值（也满足要求）. 例6．（2026·福建三明·二模）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中有2个红球和3个白球，从中随机摸出2个球． (1)求摸到的两个球颜色相同的概率； (2)用表示摸出的球为白球的个数，求的分布列及均值． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 . 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式分析计算即可； （2）利用古典概型概率，以及求随机变量均值公式分析计算即可. 【详解】（1）设事件“摸到的两个球颜色相同”，事件“摸到的两个球为红球”，事件“摸到的两个球为白球”，则． 因为，互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得 ． （2）的可能取值为， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 的均值为. 变式1．（2026·广东·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别为，，的中点，若从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，记事件M为“所取两个顶点的连线与平面平行”，则事件M发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，作的中点，连接， 可知，可知， 所以点在同一平面上， 可知面平行的对角线有共6条， 所有从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点的连线有条， 则. 变式2．（2026·甘肃嘉峪关·三模）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑共9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色），现从剩下8个小球中取出两个小球，则这两个小球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】第一次丢掉球有红、黑两种可能，分别计算剩余球中取两个黑球的概率，再利用全概率公式计算即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则， 由全概率公式可得. 变式3．（2026·天津河西·三模）某高中即将举办“青春风采”校园艺术节，在前期筹备中，校学生会从各班报名的同学中筛选出了9名优秀骨干志愿者，并将他们分配到“后台统筹”和“前台引导”两个不同的工作组．已知这9名志愿者中，有5名同学属于“后台统筹”组，4名同学属于“前台引导”组．现因舞台彩排需要，随机从这9名志愿者中抽调3人参与第一次全要素带妆彩排．则抽调的3名志愿者中，恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为_________；已知在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组，则在此前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为__________． 【答案】 【详解】抽调的3名志愿者恰好有2名来自“后台统筹”组的概率为， 恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为， 至少有1名来自“前台引导”组的概率为， 所以在抽调的3名志愿者中至少有1名来自“前台引导”组前提下，恰好抽中2名“前台引导”组志愿者的概率为. 变式4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位大学生计划到三个地方实习，每人选择一个地方且每个地方至少一人，则学生甲不去A的概率为_________． 【答案】 【分析】根据题意，先将四名大学生分成3组，即一组两人，另外两组各一人，再分配到3个地方得到总情况数，再分类讨论得到符合题意的情况数，最后结合古典概型公式即可得解. 【详解】先将四名大学生分成3组，有种方法， 再将分好的3组全排列，分配到3个地方，有种情况， 则每个地方至少分到一名大学生的方法数有种. 当甲单独一组不去A时，共有种情况， 当甲和其他人一组不去A时，共有种情况， 由古典概型概率公式得概率为. 变式5．（2026·福建福州·模拟预测）甲袋中有编号为1～5的3红2白共5个小球，小球除编号和颜色外没有任何不同．从甲袋中随机抽取2球，若两球同色，则将此两球放入空的乙袋中，再从乙袋中随机抽1球；若两球异色，则将两球放回甲袋，再从甲袋中随机抽1球．记表示两次抽取的小球中红球（编号相同仅算一个）的个数． (1)求的概率； (2)求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意结合组合数计算概率即可； （2）求出的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望． 【详解】（1）， 所以的概率为； （2），1，2 ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以． 变式6．（2026·江苏苏州·模拟预测）鸡兔同笼问题是我国古代经典的概率应用题，在《孙子算经》中有相关记载.现有5只鸡和3只兔子，每只鸡2条腿，每只兔4条腿，每次从中不放回地随机抽取1只动物放入笼内，动物位置固定不自行移动. (1)当笼内动物总头数为3时停止抽取，求停止时笼内动物总腿数恰好为10的概率； (2)当笼内动物总腿数不少于12时停止抽取，记停止时笼内动物总头数为随机变量，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 3 4 5 6 . 【分析】（1）先计算得出鸡和兔子的个数，再利用古典概型的公式求出； （2）的可能取值为，分析每一种情况下抽取到的鸡和兔子的个数，再利用古典概型的概率公式列出分布列，根据期望公式求出. 【详解】（1）设停止时有只鸡和只兔子，则，，得，， 所以停止时笼内动物总腿数恰好为10的概率为. （2）因为最少要抽3次（3只兔子），最多要抽6次（5只鸡1只兔子，且兔子最后抽到）， 所以的可能取值为， 表示抽到3只兔子，则； 当时，分两类： ①前3只是2只兔、1只鸡（此时），第4只是鸡或兔； ②前3只是1只兔、2只鸡（此时），第4只是兔. 则； 当时，分两类： ①前4只是1只兔、3只鸡（此时），第5只是鸡或兔； ②前4只是4只鸡（此时），第5只是兔. 则； 当时，前5只是鸡，最后1只是兔子，则. 所以的分布列为 3 4 5 6 故. 考点二 独立事件的乘法公式求概率问题 例1．（2026·云南·模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． (1)求甲赢得本次比赛的概率； (2)用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.25 0.356 0.294 ． 【分析】（1）根据题意，甲赢得本次比赛的情况共3种，分别求得对应的概率，进而利用互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）的可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，可得分布列，利用期望公式计算即可求解. 【详解】（1）甲赢得本次比赛的情况共3种： 第1种情况，甲连胜2局，其概率； 第2种情况，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，其概率； 第3种情况，甲第1局负、第2局胜、第3局胜，其概率． 故甲赢得本次比赛的概率为． （2）依题可知，的所有可能取值为0，1，2，3． ． 甲赢2局的情况共3种，分别为甲第1局胜、第2局胜、第3局负，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，甲第1局负、第2局胜、第3局胜． ， ， ． 的分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.25 0.356 0.294 ． 例2．（2026·北京丰台·三模）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 (3)主办方调整甲的投篮装备，优化后甲单次命中概率提升，乙投篮条件与命中率保持不变.设装备调整前甲获胜概率为，装备优化后甲获胜概率为，请直接写出两者的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： 1 2 3 (3) 【分析】（1）对甲获胜的不同轮次分类，利用互斥事件概率加法公式与独立事件概率乘法公式计算甲获胜概率； （2）根据投篮结束的不同情形确定的所有可能取值并计算对应概率，得到分布列与期望； （3）计算出、后，借助作差法计算即可比较大小. 【详解】（1）甲获胜包含三类互斥的情形： ①甲第一次投篮命中直接获胜，由独立事件概率公式得； ②甲、乙第一次投篮均未命中，甲第二次投篮命中获胜， 概率； ③甲、乙在前两次投篮中均未命中，甲第三次投篮命中获胜， 概率； 由互斥事件概率加法公式，甲获胜的总概率为； （2）投篮结束时甲的投篮次数的所有可能取值为、、， ①对应“甲第一次投篮命中获胜”或“甲第一次未命中、乙第一次投篮命中获胜”， 两个事件互斥，故； ② 对应“甲、乙第一次均未命中，第二轮投篮结束”， 故； ③ 对应“甲、乙在前两次投篮中均未命中”，无论第三次投篮结果如何均结束投篮， 故， 因此的分布列为： 1 2 3 由离散型随机变量期望公式得； （3），理由如下： 由（1）可得：，设优化后甲单次命中概率为，则， ， 则， 由，，则， 故，即. 甲单次投篮命中率提升，其他规则与乙命中率不变，因此甲获胜概率增大，即. 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在A、B、C三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求他投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在A、B、C三个不同区域各投篮一次，如果在A、B、C三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 3 6 数学期望为． 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，3，6，求出所对应的概率，即可求出分布列和数学期望. 【详解】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， “该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为. （2）由题意可知，得分的可能取值为0，1，3，6， 所以， ． ， ， 所以的分布列为 0 1 3 6 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 变式1．（2026·河北雄安·三模）现有1，2，3号三名运动员投篮，命中率分别为，，，每次投篮命中与否相互独立，1号先投，接下来按以下规则，若n号投进，则下次由号投，若n号投不进，则下次由号投，4号就是指1号，5号就是指2号，6号就是指3号，7号就是指1号，依次类推． (1)求第3次由3号投篮的概率； (2)每进1球记1分，不进球记0分，三人得分累计3分或投篮总次数达到5次后结束，设投篮总次数为X，求X的数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意结合相互独立事件的概率公式计算即可得； （2）得到的可能取值及其概率后，利用期望公式计算即可得. 【详解】（1）要想第次由号投篮，则需号投进，号也投进，概率为； （2）的可能取值为、、， ， ， ， 则. 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）生产某种产品需要两道工序，已知各道工序加工相互独立，第一道工序加工合格的概率为，第二道工序加工合格的概率为，只有两道工序加工均合格，产品才合格． (1)求一件产品不合格的概率； (2)每件产品的每一道工序均需要验收，若一道工序加工不合格，则需要返工至工序合格．已知每件产品的第一、第二道工序加工的成本分别为30元、40元，每一道工序返工至合格的成本为20元，求一件合格品的平均生产成本． 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）一件产品不合格则两道工序加工有至少一道不合格，利用事件互斥与独立性来求解； （2）设变量：第一道工序加工至合格生产成本，变量：第二道工序加工至合格生产成本，变量：一件合格品的生产成本；分析变量的可能取值及概率，再分析变量的可能取值及概率，得到变量的可能取值及概率，计算出. 【详解】（1）设事件： 第一道工序加工合格,事件：第二道工序加工合格，事件：一件产品不合格， 那么； （2）设变量：第一道工序加工至合格生产成本，变量：第二道工序加工至合格生产成本，变量：一件合格品的生产成本， 那么可能取值为，可能取值为， ，， 的可能取值为， ， ， ， . 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲． (1)求第3次射箭的人是甲的概率； (2)甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）记“第3次射箭的人是甲”为事件A，所以，即第3次射箭的人是甲的概率为． （2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $