6.1.3 全概率公式 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦全概率公式与贝叶斯公式，通过“三罐取球”情境导入，衔接条件概率、乘法公式构建知识脉络，设置自我诊断、通性通法等学习支架帮助学生理解公式应用前提与逻辑。 其亮点在于以情境问题驱动数学抽象，题型分类（全概率、贝叶斯、综合应用）结合分步解题步骤培养数学思维，如例1三厂产品正品率计算强化数学运算。教师可直接使用典型例题与跟踪训练，学生能明确公式适用场景，提升概率问题解决能力。

1.3　全概率公式 新课程标准解读 核心素养 1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率 数学运算 2.了解贝叶斯公式并会运用 数学抽象、数 学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装 有2红球2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD）  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【问题】　如何求取得红球的概率？ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　全概率公式 设 B1， B2，…， Bn 为样本空间Ω的一个划分，若 P （ Bi ）＞0（i＝1， 2，…，n），则对任意一个事件A有P（A）＝ ⁠ .称上式为全概率公式. P （ Bi ） P （ A ｜ Bi ） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　贝叶斯公式* 设 B1， B2，…， Bn 为样本空间Ω的一个划分，若 P （ A ）＞0， P （ Bi ）＞0（ i ＝1，2，…， n ），则 P （ Bi ｜ A ） ＝ 称上式为贝叶斯公式. .　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 提醒　条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 条件概率 P （ B ｜ A ）＝ 乘法公式 　　　　　　　　　　 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ） 　　　　 全概率公式 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） P （ B ）＝ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ） 　　　　 贝叶斯公式 P （ Ai ｜ B ）＝ ， i ＝1，2，…， n 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 怎样应用全概率公式和贝叶斯公式？ 提示：如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概 率公式，如果所求概率为条件概率 P （ A ｜ B ），而 B 由多个原因 引起，此时应用贝叶斯公式. 2. 贝叶斯公式的几何意义是什么？ 提示：如图所示， B 是由 A 和 两个原因引起的结 果， P （ A ｜ B ）表示原因 A 在结果 B 中的比重. 【想一想】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若 P （ A ）＞0， P （ ）＞0，则 P （ B ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＋ P （ ） P （ B ｜ ）. （　√　） （2）若 A1， A2， A3互斥且 P （ A1）＞0， P （ A2）＞0， P （ A3） ＞0，则 P （ B ）＝ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）. （　×　） √ × 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （4）贝叶斯公式是在观察到事件 B 已发生的条件下，寻找导致 B 发 生的每个原因的概率. （　√　） √ （3）全概率公式中样本空间Ω中的事件 Ai 需满足的条件为 Ai ＝ Ω. （　×　） × 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修 理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该 汽车是货车的概率为 ⁠. 解析：设 B 表示一辆汽车中途停车修理， A1表示该车是货车， A2表 示该车是客车，则 B ＝ A1 B ∪ A2 B ，由贝叶斯公式有 P （ A1｜ B ）＝ ＝ ＝0.8. 0.8　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 利率变化是影响某金融产品价格的重要因素，经分析师分析，最近 利率下调的概率为60%，利率不变的概率是40%.根据经验，在利率 下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情 况下价格上涨的概率为40%.则该金融产品价格上涨的概率为 ⁠. 0.64　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：记事件 A 为“利率下调”，则事件 为“利率不变”. 记事件 B 为“金融产品价格上涨”，根据题意有 P （ A ）＝0.6， P （ ）＝0.4， P （ B ｜ A ）＝0.8， P （ B ｜ ） ＝0.4. 因为 P （ B ）＝ P （ AB ∪ B ）， 所以 P （ B ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＋ P （ ） P （ B ｜ ）＝ 0.6×0.8＋0.4×0.4＝0.64. 因此该金融产品价格上涨的概率为0.64. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 全概率公式的应用 【例1】　有一批产品是由甲、乙、丙三个工厂同时生产的，其中甲 厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲厂产品正品率 为95%，乙厂产品正品率为90%，丙厂产品正品率为85%，如果从这 批产品中随机抽取一件，试计算该产品是正品的概率. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设 A ， B ， C 分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的， D 表示抽得产品为正品， 则由已知， P （ A ）＝50%， P （ B ）＝30%， P （ C ）＝20%， P （ D ｜ A ）＝95%， P （ D ｜ B ）＝90%， P （ D ｜ C ）＝85%， 从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到，即 P （ D ）＝ P （ D ｜ A ） P （ A ）＋ P （ D ｜ B ） P （ B ）＋ P （ D ｜ C ） P （ C ） ＝ × ＋ × ＋ × ＝0.915. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 全概率公式的适用范围 所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能 中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概 率公式. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 运用全概率公式的一般步骤 （1）求出样本空间Ω的一个划分 A1， A2，…， An ； （2）求 P （ Ai ）（ i ＝1，2，…， n ）； （3）求 P （ B ｜ Ai ）（ i ＝1，2，…， n ）； （4）求目标事件的概率 P （　 B 　）. B 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率 为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆 放在一个仓库.假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有 一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设 B 表示“从仓库中随机提出的一台是合格品”， A1表示 “提出的一台是第1车间生产的产品”， A2表示“提出的一台是 第2车间生产的产品”，则Ω＝ A1∪ A2，且 A1与 A2互斥，则有 B ＝ A1 B ∪ A2 B ， 由题意 P （ A1）＝ ， P （ A2）＝ ， P （ B ｜ A1）＝0.85， P （ B ｜ A2）＝0.88， 由全概率公式得， P （ B ）＝ P （ A1） P （ B ｜ A1）＋ P （ A2） P （ B ｜ A2）＝ ×0.85＋ ×0.88＝0.868，即该产品 合格的概率为0.868. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 贝叶斯公式*的应用 【例2】　某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的 概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4.如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到 的概率分别为 ， 和 ，乘飞机不会迟到.结果他迟到了，求他乘汽 车去的概率. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设 B 表示“迟到”， A1表示“乘火车”， A2表示“乘轮船”， A3表示“乘 汽车”， A4表示“乘飞机”， 根据题意，有 P （ A1）＝0.2， P （ A2）＝0.1， P （ A3）＝0.3， P （ A4）＝0.4. P （ B ｜ A1）＝ ， P （ B ｜ A2）＝ ， P （ B ｜ A3）＝ . P （ B ｜ A4）＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ＝ ＝ ＝0.5， 即他乘汽车去的概率为0.5. 由贝叶斯公式，有 P （ A3｜ B ）＝ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式的 应用是互逆的.当结果发生了，求某个原因的概率就用贝叶斯公式. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理 论，随机事件 A ， B 存在如下关系： P （ A ｜ B ）＝ . 某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概 率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概 率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5， 则王同学第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：设 A1：第一天去甲餐厅， A2：第二天去甲餐厅， B1：第一天去 乙餐厅， B2：第二天去乙餐厅， 所以 P （ A1）＝0.4， P （ B1）＝0.6， P （ A2｜ A1）＝0.6， P （ A2｜ B1）＝0.5， P （ A2）＝ P （ A1） P （ A2｜ A1）＋ P （ B1） P （ A2｜ B1）＝0.54， P （ B2）＝1－ P （ A2）＝0.46， P （ A1｜ B2）＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 全概率公式和贝叶斯公式*的综合应用 【例3】　某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的. 根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 Ⅰ 0.02 0.15 Ⅱ 0.01 0.80 Ⅲ 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志. （1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设 A 表示取到的是一只次品， Bi （ i ＝1，2，3）表示所取 到的产品是由第 i 家工厂提供的. 本题的概率树图如下： 易知， B1， B2， B3是样本空间 Ω的一个划分，且有 P （ B1）＝0.15， P （ B2）＝0.80， P （ B3）＝0.05， P （ A ｜ B1）＝0.02， P （ A ｜ B2）＝0.01， P （ A ｜ B3）＝0.03. 由全概率公式得 P （ A ）＝ P （ A ｜ B1） P （ B1）＋ P （ A ｜ B2） P （ B2）＋ P （ A ｜ B3） P （ B3）＝0.012 5. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，该次品来 自第几家元件制造厂的可能性最大. 解：由贝叶斯公式 P （ B1｜ A ）＝ ＝ ＝0.24. 同理可得 P （ B2｜ A ）＝0.64， P （ B3｜ A ）＝0.12.以上结果表 明，这只次品来自第Ⅱ家元件制造厂的可能性最大. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 概率树图法在全概率公式和贝叶斯公式中的应用 　　对于复杂问题，运用概率树图法比较方便.先根据题意，画出图 形，在图形中用相应的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据图 形，找到全概率公式和贝叶斯公式中的量，代入公式求解. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 有两箱同种类型的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30 只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两 次，每次任取一只，作不放回抽样，试求： 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）第一次取到的零件是一等品的概率； P （ B1）＝ P （ A1） P （ B1｜ A1）＋ P （ A2）· P （ B1｜ A2）＝ × ＋ × ＝ . 解：设 Bi 表示第 i 次取到一等品， i ＝1，2， Aj 表示第 j 箱产品， j ＝1，2，显然 A1∪ A2＝Ω， A1 A2＝∅， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等 品的概率. 解： P （ B2｜ B1）＝ ＝ ≈0.485 6. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3， 0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0.则他迟到的概 率为（　　） A. 0.65 B. 0.075 C. 0.145 D. 0 解析：　设 A1表示他乘火车来， A2表示他乘船来， A3表示他乘汽 车来， A4表示他乘飞机来， B 表示他迟到.易知： A1， A2， A3， A4 构成一个完备事件组，由全概率公式得 P （ B ）＝ P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品 率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台 加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（　　） A. 0.21 B. 0.06 C. 0.94 D. 0.95 解析：　令 B 表示取到的零件为合格品， Ai 表示零件为第 i 台机床 的产品， i ＝1，2.由全概率公式得： P （ B ）＝ P （ A1） P （ B ｜ A1）＋ P （ A2） P （ B ｜ A2）＝ ×0.96＋ ×0.93＝0.95.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD）   解析：设 A 表示“从乙袋中取出的是白球”， Bi 表示“从甲袋中取出的 2球恰有 i 个白球”， i ＝0，1，2.由全概率公式 P （ A ）＝ P （ B0） P （ A ｜ B0）＋ P （ B1） P （ A ｜ B1）＋ P （ B2） P （ A ｜ B2）＝ · ＋ · ＋ · ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如 果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内 邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了 解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5.几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为 ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：记事件 B 表示“邻居记得浇水”， 表示“邻居忘记浇水”， A 表示“花还活着”，由题意得 P （ B ）＝0.5， P （ ）＝0.5， P （ A ｜ B ）＝0.8， P （ A ｜ ）＝0.3，则 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $