6.1.1 条件概率的概念 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦条件概率概念，通过100件产品长度与质量合格的现实情境导入，结合古典概型引出条件概率，搭建从具体问题到抽象定义、性质及计算方法（事件个数法、定义法）的学习支架，衔接学生已有概率知识。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心，分题型精研（如缩小样本空间求概率、利用性质求概率）并总结通性通法，结合跟踪训练与母题探究。例如例2通过列举甲抽奇数后乙抽数的样本点计算概率，培养学生逻辑推理能力，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源提升效率。

1.1　条件概率的概念 新课程标准解读 核心素养 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事 件的条件概率 数学抽象、 数学运算 2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系 数学抽象、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85 件产品的长度和质量都合格.令事件 A 表示“产品的长度合格”，事件 B 表示“产品的质量合格”，事件 AB 表示“产品的长度、质量都合格”. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【问题】　任取一件产品，已知其质量合格（即 B 发生），如何求它 的长度（即 A 发生）也合格（记为 A ｜ B ）的概率.  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点　条件概率 条件 设 A ， B 是两个事件，且 P （ A ）＞0 定义 记作 P （ B ｜ A ） 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 计算 公式 （1）事件个数法： P （ B ｜ A ）＝ ⁠； （2）定义法： P （ B ｜ A ）＝ ⁠ 性质 （1）0≤ P （ B ｜ A ）≤1； （2）若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P [（ B ∪ C ）｜ A ]＝ P （ B ｜ A ）＋ P （ C ｜ A ） 　 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 P （ B ｜ A ）与 P （ A ｜ B ）相同吗？ 提示：不相同， P （ B ｜ A ）表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率； P （ A ｜ B ）表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发 生的概率. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在“ A 已发生”的条件下， B 发生的概率可记作 P （ A ｜ B ）. （　×　） （2）若 P （ B ｜ A ）＝ P （ B ），则事件 A ， B 相互独立. （　√　） （3） P （ B ｜ A ）相当于事件 A 发生的条件下，事件 AB 发生的概 率. （　√　） × √ √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知 P （ AB ）＝ ， P （ A ）＝ ，则 P （ B ｜ A ）＝（　　） 解析：　 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是 ⁠. 解析：根据条件概率公式知 P ＝ ＝0.5. 0.5　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用定义求条件概率 【例1】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类 节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）第1次抽到舞蹈节目的概率； 从6个节目中不放回地依次抽取2个，样本空间包含的样本 点个数 n （Ω）＝ ＝30. 根据分步乘法计数原理，有 n （ A ）＝ · ＝20， 所以 P （ A ）＝ ＝ ＝ . 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件 A ，第2次抽到舞蹈节目为事件 B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件 AB . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； 解：因为 n （ AB ）＝ ＝12，所以 P （ AB ）＝ ＝ ＝ . （3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 解：由（1）（2），得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次 抽到舞蹈节目的概率 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 计算条件概率的方法 　　在原样本空间Ω中，先计算 P （ AB ）， P （ A ），再按公式 P （ B ｜ A ）＝ 计算求得 P （ B ｜ A ）.求解的关键是正确求出 P （ A ）， P （ AB ）的值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校的义务 劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率. 解：设事件 A 表示“男生甲被选中”，事件 B 表示“女生乙被选中”. 则有 P （ A ）＝ ＝ ＝ ， P （ AB ）＝ ＝ ， 利用条件概率公式，得 P （ B ｜ A ）＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 缩小样本空间范围求条件概率 【例2】　集合 A ＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从 A 中任取一 个数.若甲先取（不放回），乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽 到的数比甲抽到的数大的概率. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：将甲抽到数字 a ，乙抽到数字 b ，记作（ a ， b ），甲抽到奇数的 情形有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1）， （5，2），（5，3），（5，4），（5，6），共15个，在这15个情形 中，乙抽到的数比甲抽到的数大的情形有（1，2），（1，3）， （1，4），（1，5），（1，6），（3，4），（3，5），（3，6）， （5，6），共9个，所以所求概率为 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. （变设问）本例条件不变，求乙抽到偶数的概率. 解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有（1，2），（1， 4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2）， （5，4），（5，6），共9个，所以所求概率为 ＝ . 【母题探究】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. （变条件，变设问）若甲先取（放回），乙后取，若事件 A 表示“甲 抽到的数大于4”；事件 B 表示“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求 P （ B ｜ A ）. 解：甲抽到的数大于4的情形有（5，1），（5，2），（5，3）， （5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6， 3），（6，4），（6，5），（6，6），共12个，其中甲、 乙抽到 的两数之和等于7的情形有（5，2），（6，1），共2个.所以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 利用缩小样本空间范围计算条件概率的方法 　　将原来的样本空间Ω缩小为已知事件 A 的样本空间Ω A ，原来的事 件 B 缩小为 AB . 而Ω A 中仅包含有限个样本点，每个样本点发生的概率 相等，从而可以在缩小的样本空间上利用古典概型公式计算条件概 率，即 P （ B ｜ A ）＝ ，这里 n （ A ）和 n （ AB ）的计数是基 于缩小的样本空间范围的. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽 出的题不再放回，求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； 【跟踪训练】 解：设事件 A 表示“第1次抽到代数题”，事件 B 表示“第2次抽到 几何题”. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） “第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件 AB . 从5道 试题中不放回地依次随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个 等可能的样本点，即 n （Ω）＝ ＝5×4＝20.因为 n （ AB ）＝ · ＝3×2＝6，所以 P （ AB ）＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 解：“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率 就是事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，显然 P （ A ）＝ .利用条件概率公式，得 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 利用条件概率的性质求概率 【例3】　在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至 少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优 秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中 已经通过，求他获得优秀的概率. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设事件 A 表示“该考生6道题全答对”，事件 B 表示“该考生答对了 其中5道题，另一道答错”，事件 C 表示“该考生答对了其中4道题，而 另2道题答错”，事件 D 表示“该考生在这次考试中通过”，事件 E 表示 “该考生在考试中获得优秀”，则 A ， B ， C 两两互斥，且 D ＝ A ∪ B ∪ C ， E ＝ A ∪ B ，由古典概型的概率计算公式及概率的加法公式可知 P （ D ）＝ P （ A ∪ B ∪ C ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （　 C 　）＝ ＋ ＋ ＝ ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） P （ AD ）＝ P （ A ）， P （ BD ）＝ P （　 B 　）， P （ E ｜ D ）＝ P [（ A ∪ B ）｜ D ]＝ P （ A ｜ D ）＋ P （ B ｜ D ）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 故所求的概率为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 利用条件概率性质解题的策略 （1）分析条件，选择公式：首先看事件 B ， C 是否互斥，若互斥，则 选择公式 P [（ B ∪ C ）｜ A ]＝ P （ B ｜ A ）＋ P （ C ｜ A ）； （2）分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把 它分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求 出这些简单事件的概率，再利用概率的加法公式即得所求复杂 事件的概率. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中 随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红 色或黑色的概率为 ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：设事件 A 为“其中一瓶是蓝色”，事件 B 为“另一瓶是红 色”，事件 C 为“另一瓶是黑色”，事件 D 为“另一瓶是红色或黑 色”，则 D ＝ B ∪ C 且 B 与 C 互斥.又 P （ A ）＝ ＝ ， P （ AB ）＝ ＝ ， P （ AC ）＝ ＝ ，故 P （ D ｜ A ）＝ P [（ B ∪ C ）｜ A ]＝ P （ B ｜ A ）＋ P （ C ｜ A ）＝ ＋ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知 第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是 （　　） D. 1 解析：　因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题条件变 为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质 量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（　　） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 解析：　根据条件概率公式 P （ B ｜ A ）＝ ，得所求概率 为 ＝0.8. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （多选）设 P （ A ｜ B ）＝ P （ B ｜ A ）＝ ， P （ A ）＝ ，则 （　　） 解析：　 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＝ × ＝ ，由 P （ A ｜ B ）＝ ，得 P （ B ）＝ ＝ ×2＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道甲 市一年中下雨天的比例占20%，乙市占18%，两地同时下雨占 12%，记 P （ A ）＝0.2， P （ B ）＝0.18， P （ AB ）＝0.12，则 P （ A ｜ B ）＝ 　 　， P （ B ｜ A ）＝ 　 　. 解析：由条件概率的计算公式知 P （ A ｜ B ）＝ ＝ ， P （ B ｜ A ）＝ ＝ . 　 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD）   解析：设事件 A 为“周日值班”，事件 B 为“周六值班”，则 P （ A ）＝ ， P （ AB ）＝ ，故 P （ B ｜ A ）＝ ＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $