精品解析：山东省青岛市实验高级中学(青岛十五中)2025-2026学年第二学期第四学段质量检测高二数学试卷

青岛实验高中2025—2026学年度第二学期 第四学段质量检测 高二 数学试卷 2026年7月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 2. 已知的定义域为，若为奇函数，且周期为2，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 若复数的实部与虚部分别为，则数列的前100项和为（ ） A. 4900 B. 5000 C. 4950 D. 5050 4. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 设是两个相互独立的随机事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 已知抛物线：（）的准线与圆：相切，为与圆的一个交点，过圆心作直线与交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 的最小值为8 D. 以线段为直径的圆与轴相切 11. 若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列满足：，点在函数的图象上.设，则（ ） A. 为平方递推数列 B. C. D. 使得成立的的最小值为2026 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______． 13. 设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_______. 14. 对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）若，求a； （2）若，求的面积的最大值． 16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 17. 如图，四边形为菱形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值． 18. 已知函数，对于，恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）证明：当时，. 19. 已知是椭圆上的两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛实验高中2025—2026学年度第二学期 第四学段质量检测 高二 数学试卷 2026年7月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合一元二次不等式求，即可得结果. 【详解】因为集合， 可得， 所以集合的元素个数为4. 故选：B. 2. 已知的定义域为，若为奇函数，且周期为2，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设可得，即可求解. 【详解】由题意，，则. 故选：C 3. 若复数的实部与虚部分别为，则数列的前100项和为（ ） A. 4900 B. 5000 C. 4950 D. 5050 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以数列的前100项的和为. 故选：C. 4. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 5. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出的对称中心为，的对称中心为，由题意得到，求解即可. 【详解】令，得， 所以函数的对称中心为， 又函数的对称中心为， 函数的对称中心与函数的对称中心重合， 所以，即， 故选：D 6. 设是两个相互独立的随机事件，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及相互独立事件的概率公式求解. 【详解】由是两个相互独立，得，而 则，所以. 故选：D 7. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“圆上到直线距离为1的点有且仅有4个”的几何意义列式求解即可. 【详解】，即 设与直线平行且距离为1的直线方程为， 所以，解得或， 所以两条平行线的方程为，， 圆心到的距离为， 圆心到的距离为， 由题意得圆与，均相交， 则，，即且， 所以. 故选：. 8. 已知，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一，结合图象排除；法二，构造函数，由函数零点分段讨论各函数值的符号，比较大小. 【详解】由题意得，，令， 法一：则由的图象与直线的交点用排除法得不成立. 法二：则. 令， ， 所以在区间上单调递增. 令，同理在区间上都单调递增， 因为， 所以存在，使得， 时，时，； 显然，时，；时，； 因为，， 所以存在， ；时，. 综上，时，；时，，时，； 时，；时，；时，；时，，所以C不可能成立. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 已知抛物线：（）的准线与圆：相切，为与圆的一个交点，过圆心作直线与交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 的最小值为8 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的切线求得，结合抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆：的圆心为，半径， 抛物线：（）的准线方程为， 由于是圆的切线，所以，A选项错误. 所以抛物线方程为， 由消去并化简得， 解得或（舍去），则，不妨设， 由于，所以，B选项正确. 依题意可知，是抛物线的焦点， 设直线的方程为，设, 由消去并化简得， ，所以，则， 所以，当时等号成立，所以C选项正确. 过作准线，垂足为；过作准线，垂足为； 设的中点为，过作准线，垂足为， 根据抛物线的定义可知， 所以以为直径的圆与准线相切，D选项错误. 故选：BC 11. 若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知数列满足：，点在函数的图象上.设，则（ ） A. 为平方递推数列 B. C. D. 使得成立的的最小值为2026 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得，可得，结合“平方递推数列”的定义，可判断A；由等比数列的定义和通项公式，可判断B；由等比数列的求和公式和对数的运算性质，可判断C；由等比数列的求和公式和不等式的解法，可判断D. 【详解】对于A，由题意得，所以，所以为平方递推数列，故A正确； 对于B，得，其中， 所以是以2为首项2为公比的等比数列，所以，所以，即，故B错误； 对于C，因为 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 由得，故D错误， 故选：AC. 【点睛】思路点睛：先根据已知条件找到数列相邻两项的关系，再通过变形和相关定义进行证明.求对数形式的数列前项积的对数，先将其转化为对数的和，再结合数列通项和求和公式计算.对于由等差数列和等比数列组成的数列求和，采用分组求和法，求解不等式时结合数列特点和取值范围确定的值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】由题设， 所以. 13. 设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_______. 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析： 当时，，，又，，注意到，所以只有2组：,满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组：,，故共有4组. 【考点】三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 14. 对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得：，所以是函数的一个“准奇点”，其余还有两对，函数 关于原点对称的图象恰好与有两个交点，即 有两个正根，即有两个正根，构造函数求导判断单调性即可求解. 【详解】因为，所以是函数的一个“准奇点”． 若函数存在5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对， 即函数关于原点对称的图象恰好与有两个交点， 而函数关于原点对称的函数为， 即有两个正根，即有两个正根， 令，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当无穷大时，无穷大， 所以，所以 实数的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）若，求a； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【小问1详解】 由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 16. 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【答案】（Ⅰ） 0 1 2 3 . （Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可； (Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 17. 如图，四边形为菱形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值． 【答案】（1） ∵平面且平面 ∴， 在菱形中，，且平面， ∴平面 又∵平面 ∴平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过线面垂直得出线线垂直，再证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）由二面角定义得到平面角的大小，由菱形和直角三角形的边角关系得出线段长度，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面且平面，平面， ∴，，即二面角是， ∴， 取与交点为，设， 则， ∴，∴， 以为坐标原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ∴. 所以所成角的余弦值为. 18. 已知函数，对于，恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）证明：当时，. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用参数分离法可知，构造函数，即，利用导数研究函数的最小值即可得解； （2）由（1）得恒成立，将不等式的证明转化为证，构造函数，即证，利用导数研究函数的单调性及最值即可. 【详解】（1）由恒成立，得对恒成立. 令，，令，得 当，，单调递增；当，，单调减， 所以. 故所求实数a的取值范围为. （2）证明：由（1）得恒成立， 要证，只需证即可. 令， 令，易知在单调递增，且，， 故存在，使得. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，，. 故当时，. 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 19. 已知是椭圆上的两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 【答案】（1）； （2），且. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上两点代入方程求解的值即可得椭圆方程； （2）设，线段的中点，分别讨论直线的斜率是否存在，当斜率存在时确定直线的方程与直线联立得横坐标与的关系，结合函数得的取值范围，结合圆的定义从而得的轨迹方程. 【小问1详解】 由题意解得，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，线段的中点，则，， ①当时，的中垂线为轴，过点向中垂线作垂线，垂足为点，此时AM重合，不合题意； ②当时，直线的斜率，则， 所以，将代入椭圆方程得， 所以，从而或， 线段的中垂线方程为，即． 故线段的中垂线过定点 故垂足轨迹是在以为圆心，半径为的圆弧，其方程为 过点与垂直的直线为， 联立方程组消去得，因为， 所以，综上， 所以垂足轨迹方程是，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $