精品解析：山东省潍坊市寿光市第一中学2024-2025学年高二下学期期末模拟三数学试题

高二数学期末模拟三 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. 15 B. 9 C. D. 2. 某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示. 4 5 6 7 8 9 10 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 0.23 则（ ） A. 0.72 B. 0.75 C. 0.85 D. 0.90 3. 一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 126 B. 125 C. 96 D. 83 5. 若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 7. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B相互独立 D. 记C的对立事件为，则 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（ ） A. 若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法 B. 若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案 C. 若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D. 若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“美好成长”.将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3，…；设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，…，，3，并记，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则__________. 13. 在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有__________种. 14. 2025年春晚，魔术师表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.魔术师让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. （1）求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； （2）求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 16. 设，，已知 （1）求实数的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； （2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 18. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和.若对任意的恒成立，求的最小值. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（，简称）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称开启了我国新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 报名情况 性别 合计 男生 女生 报名 未报名 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为. （i）求证：是等比数列；（ⅱ）求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末模拟三 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. 15 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，利用已知条件求出的值，进而求出所要求的式子的值. 【详解】在等差数列中，已知，所以，即，那么.  同样根据等差数列性质，所以. 则. 把代入可得. 故选 ：B 2. 某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示. 4 5 6 7 8 9 10 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 0.23 则（ ） A. 0.72 B. 0.75 C. 0.85 D. 0.90 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列中所有概率和为1，计算得a，再计算即可求解. 【详解】由题意，解得. ∴＝ ． 故选：C 3. 一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”， 则，， 则． 故选：A． 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 126 B. 125 C. 96 D. 83 【答案】B 【解析】 【分析】运用二项式定理求解. 【详解】由题意原式中的系数； 故选：B. 5. 若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，，再利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】因为一组样本数据的平均数为2，方差为4， 则，可得，方差为，可得， 因此，对于数据， 平均数为， 方差为 ． 故选：A． 6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B. 考点：排列与组合 7. 将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列与的项找到它们公共项的规律，即得数列的各项的规律，确定其通项公式，再用裂项求和的方法即可求得答案. 【详解】数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即， 故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为，公差为的等差数列，即， . 故选：A. 8. 我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第n-1次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的事件，由互斥事件及独立事件同时发生的概率公式计算，得出递推关系，利用构造等比数列求出通项公式，再由单调性求最值即可. 【详解】由题意知，第n次推送时不购买此商品的概率， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 显然单调递减，所以当时，， 所以即M的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B相互独立 D. 记C的对立事件为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用列举法将三人抛掷硬币的结果一一列举，再结合古典概型、独立事件、互斥事件、对立事件及条件概率公式一一判定选项即可. 【详解】由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）八种 情况，显然事件A为中间六种情况，事件B为后四种情况，事件C为最后一种情况. 对于A选项，易知，故A错误； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，易知，故C正确； 对于D选项，易知，故D正确. 故选：CD 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（ ） A. 若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法 B. 若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案 C. 若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D. 若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 【答案】CD 【解析】 【分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项 【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人可任选一项工作，每人有4种安排方式，则有种安排方法，故A不正确； 对于B，安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，则有1种方法， 其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有种方法， 则共有：种方法，则B错误； 对于C，若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有种不同的方案，故C正确； 对于D，①从剩下的三人选一个人从事翻译工作，则有种方法， 则甲、乙和三人中剩下的2人从事其余的三个工作共有：种方法， 则共有种方法. ②从剩下的三人选2个人从事翻译工作，则有种方法， 则甲、乙和三人中剩下的1人从事其余的三个工作共有：种方法， 则共有种方法， 所以若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作， 则有种不同的方案，故D正确. 故选：CD. 11. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“美好成长”.将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3，…；设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，…，，3，并记，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算得到通项公式计算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,3，此时 第2次得到数列1,3,3,9,3，此时 第3次得到数列1,3,3,9,3,27,9,27,3，此时 第4次得到数列1,3,3,9,3,27,9,27,3,81,27,243,9,243,27,81,3，此时 第次得到数列1，，3，此时，故B正确. 所以 所以，故A错误， 因为 所以 所以，故C正确. 所以，所以是以3为公比，以为首项的等比数列，所以，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，得到通项公式即可求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求. 【详解】因为， 所以，，，，…， 所以数列是周期为3的数列，. 故答案为：. 13. 在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有__________种. 【答案】90 【解析】 【分析】根据题意，前3次有两次是不合格品，一次是合格品，由分步计数原理得到所求结果. 【详解】有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，第4次抽到不合格品， 前3次有两次是不合格品，一次是合格品共有种可能， 前3次测试中的顺序有种可能， 由分步计数原理即得共有种可能. 故答案为：90 14. 2025年春晚，魔术师表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.魔术师让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率知识即可求解. 【详解】我们不妨把勺子、筷子和杯子的第一个字的拼音的第一个小写英文字母来代替这三个东西， 例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位， 一开始的状态有六种情况，我们用表示一次调换， 那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：， 第二种初始状态下的变换过程为：， 第三种初始状态下的变换过程为：， 第四种初始状态下的变换过程为：， 第五种初始状态下的变换过程为：，（本质上没有调换）， 第六种初始状态下的变换过程为：， 从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状态共5种情况， 在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是（对应的初始状态是第二种初始状态）， 故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. （1）求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； （2）求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据公式求出可得答案； （2）根据已知求出线性回归方程，由解不等式可得答案 【小问1详解】 因， 故 . 即绿化覆盖率与浓度的样本相关系数约为； 【小问2详解】 因为， 所以，故， 依题意由，可得， 即使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为. 16. 设，，已知 （1）求实数的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）-2； （2）-2； （3）128. 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理得到方程，求出； （2）赋值得到，，计算出答案； （3）令得到答案. 【小问1详解】 根据二项式定理可得， ，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，令得 再令得 所以； 【小问3详解】 在式子中， 令可得 17. 某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （1）若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； （2）若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 【答案】（1）的分布列为 X 0 10 30 60 P （2）当时累计得分的期望最大.【解析】 【分析】（1）由题设写出随机变量的取值并求出相应取值的概率即可得解； （2）先求出累计得分的期望表达式，再根据函数性质求最大值. 【小问1详解】 由题可得， 且，，，， 所以的分布列为 X 0 10 30 60 P 【小问2详解】 设累计得分为Y，则, 且，，，， 所以累计得分的期望为 ， 因为，， 所以当时，累计得分的期望最大为. 18. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前项和.若对任意的恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，即可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得的前n项和，再利用不等式恒成立，即可解得k的最小值. 【小问1详解】 ①； 当时，代入①得. 当时，②； ①-②得， 整理得， 因为，所以， 所以数列为等差数列，公差为1， 所以. 【小问2详解】 ， ③； ④， ③-④得 ， 所以， 所以，化简得， 令，. 所以， 所以的最大值为， 所以. 所以的最小值为. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（，简称）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称开启了我国新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 报名情况 性别 合计 男生 女生 报名 未报名 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为. （i）求证：是等比数列；（ⅱ）求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 【答案】（1）列联表见解析，能 （2）①；②（i）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件完成列联表，零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关，求出，与参考数据比较可得答案； （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为1，2，3，…，m，求出相对应的概率，利用期望公式求出期望，再利用错位相减求和求出；②求出， 根据递推式求出数列是等比数列，求出. 分n为奇数、n为偶数讨论可得答案. 【小问1详解】 因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为，女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50，得到列联表为： 报名情况 性别 合计 男生 女生 报名 20 35 55 未报名 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 ①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值 为1，2，3，…，m， 其中， 所以. . 所以， 所以 . 即甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望为； ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得， 当时，由全概率公式，， 因为，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，故时， ， 因为也符合上式，所以. 当n为奇数时，，当n为偶数时，， 所以的最大值在n为偶数时产生，又当n为偶数时， 随着n的增大而减小， 所以当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $