2.1 等式性质与不等式性质（基础版）同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练（新授课），聚焦等式与不等式性质，分层清晰，从基础应用到综合证明，适配新授课知识巩固，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一性质判断|选择/填空题考查性质变形（如高一阶段检测题），强化概念辨析| |技能应用|比较大小运算|填空题直接应用性质比大小，提升运算能力| |综合拓展|证明与实际应用|解答题结合糖水情境（题12），构建模型解决问题，发展模型意识|

2.1 等式性质与不等式性质 解析版（基础版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：45分钟 一、单项选择题 1．（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. 2．（2026高三·全国·专题练习）若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，则，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确； 对于选项D：可得，故D错误. 3．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 4．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 6．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由，所以，，所以，故B错误； 对于C，若，由，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 2、 填空题 7．（25-26高一上·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 【答案】> 【分析】根据不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 故答案为： 8．（24-25高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 9．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 三、解答题 10．已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 11．已知是实数， (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)求证：如果，那么. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用配方法即可得证； （2）利用作差法，结合（1）中结论即可得证. 【详解】（1）因为， 当且仅当，即时，等号成立； （2）因为，则，又（等号不成立）， 所以，故. 12．（25-26高一上·广东阳江·阶段检测）已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)住宅的采光效果变好了 【分析】（1）由题意列出两种糖水的含糖率，然后得到不等式； （2）由作差法即可证明这个不等式； （3）设窗户面积为，地板面积为，同时增加的窗户和地板面积为，由（1）可知，所以公寓的采光效果变好了. 【详解】（1）由题可得. （2）因为， ∵， 所以，从而， 即. （3）住宅的采光效果变好了. 理由：设窗户面积为，地板面积为，同时增加的窗户和地板面积为，由（1）可知， 所以住宅采光效果变好了. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质 试卷版（基础版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：45分钟 一、单项选择题 1．（2026高三·全国·专题练习）如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 4．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 6．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2、 填空题 7．（25-26高一上·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 8．（24-25高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 9．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 三、解答题 10．已知均为正实数，且，求证：． 11．已知是实数， (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)求证：如果，那么. 12．（25-26高一上·广东阳江·阶段检测）已知糖水中有糖，往糖水中加入糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式； (2)证明这个不等式； (3)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $