5.4 培优课 二项式定理的综合应用 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦二项式定理的综合应用，通过典型例题导入，先复习二项式定理基础，再延伸到多项式积的特定项、三项式展开及整除、近似计算等应用，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点是题型分类清晰，通性通法总结系统，如“双通法”解多项式积特定项，多种方法解决三项式展开，培养数学思维和推理能力。例题解析详细，跟踪训练及时，助力学生提升解题能力，也为教师提供高效教学资源。

培优课　 二项式定理的综合应用 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求两个多项式积的特定项 【例1】　（1）已知（1＋ ax ）（1＋ x ）5的展开式中，含 x2的项的系 数为5，则 a ＝（　　） A. －4 B. －3 C. －2 D. －1 解析：由二项式定理得（1＋ x ）5的展开式的通项为 Tk＋1 ＝ · xk ，所以（1＋ ax ）（1＋ x ）5的展开式中含 x2的项的系数 为 ＋ · a ＝5，所以 a ＝－1，故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）（1＋2 x ）3（1－ x ）4的展开式中，含 x 项的系数为（　　） A. 10 B. －10 C. 2 D. －2 解析： 1＋2 x ）3（1－ x ）4的展开式中含 x 项的系数是由两个因 式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二 个因式的一次项与常数项，为 ·（2 x ）0· ·（－ x ）1＋ ·（2 x ）1· ·14·（－ x ）0，其系数为 × ×（－1）＋ ×2× ＝－4＋6＝2.故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求多项式积的特定项的方法——“双通法” 　　所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到（ a ＋ bx ） n （ s ＋ tx ） m 的展开式中一般项为： Tk＋1· Tr＋1＝ an－ k （ bx ） k · sm－ r （ tx ） r ＝ an－ kbksm－ r · trxk＋ r （ k ＝0，1，2，…， n ； r ＝0，1，2，…， m ），再依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求出 r ， k 的取值情况. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 （ x － y ）（ x ＋ y ）8的展开式中 x2 y7的系数为 .（用数字作答） 解析：由二项展开式的通项公式可知，含 x2 y7的项可表示为 x · xy7－ y · x2 y6，故（ x － y ）（ x ＋ y ）8的展开式中 x2 y7的系数为 － ＝8－28＝－20. －20　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 三项式的展开问题 【例2】　（ ＋ ＋ ）5的展开式中的常数项为 　 　（用数字作 答）. 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：法一　（ ＋ ＋ ）5在 x ＞0时可化为（ ＋ ）10，因而 展开式的通项 Tr＋1＝ （ ）10－ r ·（ ）10－2 r ，则 r ＝5时为常数 项，即 ·（ ）5＝ . （ ＋ ＋ ）5在 x ＜0时可化为－（ － ）10，所以展开式的 通项T' k＋1＝－ （ ）10－ k （－1） k ·（ ）10－2 k ，令10－2 k ＝ 0，得 k ＝5，则展开式的常数项为－ （ ）5（－1）5＝ . 综上，（ ＋ ＋ ）5的展开式的常数项为 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　原式＝（ ）5＝ ·[（ x ＋ ）2]5＝ ·（ x ＋ ）10. 求原展开式中的常数项，转化为求（ x ＋ ）10的展开式中含 x5的项 的系数，即 ·（ ）5. 所以原展开式中的常数项为 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法三　（ ＋ ＋ ）5是5个三项式（ ＋ ＋ ）相乘.常数项的产 生有三种情况： （1）在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）中，从其中1个三项式中取 ，从另外4个三项式中选一个取 ，从剩余的3个三项式中取常数项相 乘，可得 · · · ·（ ）3＝20 . （2）在5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）中，从其中2个三项式中取 ，从另外3个三项式中选2个取 ，从剩余的1个三项式中取常数项相 乘，可得 ·（ ）2· · ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）从5个相乘的三项式（ ＋ ＋ ）中都取常数项相乘，可得 ·（ ）5＝4 . 综上，（ ＋ ＋ ）5的展开式中的常数项为20 ＋ ＋4 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法四　（ ＋ ＋ ）5＝［（ ＋ ）＋ ］5的通项为 Tk＋1＝ （ ＋ ）5－ k ，（ ＋ ）5－ k 的通项为T' r＋1＝ x－ rx5－ k－ r 2－（5－ k－ r）＝ · x5－2 r－ k 2 k＋ r－5（0≤ r ≤5－ k ）. 令5－2 r － k ＝0，则 k ＋2 r ＝5，可得 k ＝1， r ＝2或 k ＝3， r ＝1或 k ＝5， r ＝0. 当 k ＝1， r ＝2时，展开式中的项为 2－2＝ ； 当 k ＝3， r ＝1时，展开式中的项为 2 ·2－1＝20 ； 当 k ＝5， r ＝0时，展开式中的项为 4 ＝4 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 综上，（ ＋ ＋ ）5的展开式中的常数项为 ＋20 ＋4 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 三项式求特定项的常规方法 （1）因式分解法：通过分解因式将三项式变成两个二项式的积，然 后用二项式定理分别展开； （2）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其 中含两项的一组展开； （3）利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识 分析项的构成，注意最后应把各个同类项合并. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） A. －210 B. 210 C. 30 D. －30 解析：　利用展开式中项的特征求解.展开式中含有 x3的项，可 能有一个因式 x2－ x ＋1取含有 x2的项，另一个因式取含有 x 的 项，其余因式均取常数项1，也可能有三个因式取含有 x 的项， 其余因式均取常数项1，所以含有 x3的项的系数是 （－1） ＋ （－1）3＝－90－120＝－210. 【跟踪训练】 （ x2－ x ＋1）10的展开式中含 x3项的系数为（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 二项式定理的应用 角度1　利用二项式定理证明整除问题或求余数 【例3】　（1）用二项式定理证明：32 n＋3－24 n ＋37能被64整除； 解：证明：32 n＋3－24 n ＋37＝3×9 n＋1－24 n ＋37＝3（8＋ 1） n＋1－24 n ＋37＝3（ 8 n＋1＋ 8 n ＋…＋ 8＋1）－ 24 n ＋37＝3×64（ 8 n－1＋ 8 n－2＋…＋ ）＋24 －24 n ＋40＝64×3（ 8 n－1＋ 8 n－2＋…＋ ） ＋64， 显然上式是64的倍数，故原式能被64整除. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求9192除以100的余数. 解：法一　9192＝（100－9）92＝ ·10092－ ·10091·9＋ ·10090·92－…－ ·100·991＋ 992，显然展开式中前92项 均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数. 992＝（10－1）92＝ ·1092－ ·1091＋…＋ ·102－ ·10＋ 1，显然展开式中前91项均能被100整除，后两项的和为－919， 所以992除以100的余数为81. 故9192除以100的余数为81. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　9192＝（90＋1）92＝ ·9092＋ ·9091＋…＋ ·902＋ ·90 ＋ ，前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显 然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 利用二项式定理解决整除问题的基本思路 　　利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基 本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子 按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除.因此，一般先将被 除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去 法”，结合整除的有关知识来处理. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度2　利用二项式定理近似计算 【例4】　求1.9975精确到0.001的近似值. 解：1.9975＝（2－0.003）5≈25－ ×0.003×24＋ ×0.0032×23＝32 －0.24＋0.000 72≈31.761. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 （1＋ a ） n 的近似计算的处理方法 　　当 a 的绝对值与1相比很小且 n 不大时，常用近似公式（1＋ a ） n ≈1＋ na ，因为这时展开式的后面部分 a2＋ a3＋…＋ an 很小， 所以可以忽略不计.但是使用这个公式时应注意 a 的条件，以及对精确 度的要求.若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式（1＋ a ） n ≈1＋ na ＋ a2等. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 （1）求1.003 55精确到0.001的近似值； 解：1.003 55＝（1＋0.003 5）5≈1＋5×0.003 5＝1.017 5≈1.018. （2）求证：32 n＋2－8 n －9（ n ∈N＋）能被64整除. 解：证明：32 n＋2－8 n －9＝（8＋1） n＋1－8 n －9 ＝ 8 n＋1＋ 8 n ＋…＋ －8 n －9 ＝ 8 n＋1＋ 8 n ＋…＋ 82＋（ n ＋1）×8＋1－8 n －9 ＝ 8 n＋1＋ 8 n ＋…＋ 82.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $